§ 18. Ćwiczenia

1. Korzystając z własności kątów naprzemianległych wewnętrznych, przez dany punkt poprowadzić prostą równoległą do danej prostej.

2. Przez dany punkt poprowadzić równoległą do danej prostej, wykorzystując twierdzenia o dwóch prostych prostopadłych do trzeciej prostej.

3. Dwie proste równolegle przecięto jakąkolwiek sieczną. Dowieść, że:

a) dwusieczne kątów odpowiadających są do siebie równoległe.

b) dwusieczne kątów jednostronnych są do siebie prostopadłe.

4. Dwie równoległe proste przecięto dowolną sieczną. Jeden z otrzymanych kątów jest równy . Obliczyć wszystkie pozostałe kąty.

5. Znaleźć miejsce geometryczne punktów jednakowo oddalonych od dwóch równoległych prostych.

6. Dowieść, że rzut odcinka na prostą jest na ogół mniejszy od tego odcinka (w jednym przypadku jest mu równy, w jakim?).

7. Znaleźć obraz symetryczny odcinka równoległego do osi symetrii.

8. Wykreślić miejsce geometryczne punktów równo oddalonych od dwóch nierównoległych prostych bez przedłużania ich do przecięcia się z sobą.

9. Dowieść, że prosta równoległa do podstawy trójkąta równoramiennego odcina od niego trójkąt równoramienny.

10. Dowieść, że dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego tworzą z tą podstawą nowy trójkąt równoramienny.

11. Wykreślić trójkąt równoramienny, mając dane:

a) podstawę i kąt przy podstawie,

b) wysokość i kąt przy wierzchołku.

12. Podzielić odcinek na 5 równych części.

13. W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość. Dowieść, że ta wysokość podzieliła kąt prosty na dwa kąty, odpowiednio równe kątom ostrym danego trójkąta.

14. Na przedłużeniach równych boków trójkąta równoramiennego odmierzono dwa równe sobie odcinki i końce ich połączono nowym odcinkiem. Dowieść, że odcinek ten jest równoległy do podstawy trójkąta.

15. W trójkącie równoramiennym jeden z kątów przy podstawie podzielono na połowy i przez koniec dwusiecznej poprowadzono równoległą do podstawy. Dowieść, że odcinek tej równoległej, zawarty między bokami trójkąta i odcinki tych boków, przylegające do podstawy, są sobie równe.

16. Dlaczego w trójkącie dwusieczne dwóch kątów muszą się z sobą przecinać?

17. Dlaczego w trójkącie osie symetrii dwóch boków muszą się ze sobą przecinać?

18. Dwa odcinki AB i CD dzielą się na połowy w punkcie O. Dowieść, że AC II BD.

19. Jakie jest miejsce geometryczne wierzchołków trójkątów o wspólnej podstawie, mających równe wysokości?