Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Proste równoległe  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
§ 17. Kąty przy równoległych. Postulat Euklidesa. Wnioski
§ 18. Ćwiczenia
§ 19. Suma kątów trójkąta i wielokąta
§ 20. Ćwiczenia
§ 21. Równoległoboki i ich własności. Trapez
§ 22. Ćwiczenia
§ 23. Punkty szczególne w trójkącie
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 19. Suma kątów trójkąta i wielokąta

131. Twierdzenie. W każdym trójkącie suma kątów jest równa dwóm kątom prostym.

Rys. 89

Rys. 89

Dowód. Niech będzie dany Rozmiar: 51 bajtów ABC (rys. 89). Jeżeli przez którykolwiek wierzchołek, np. przez C, przeprowadzimy prostą DD' równolegle do przeciwległego boku AB, to przy tym wierzchołku otrzymamy kąty Rozmiar: 50 bajtów 1, Rozmiar: 50 bajtów C i Rozmiar: 50 bajtów 2, które w sumie tworzą kąt półpełny:

Rozmiar: 50 bajtów 1 + Rozmiar: 50 bajtów C + Rozmiar: 50 bajtów 2 = 2d.

Ale z równoległości DD˘ do AB mamy:

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów B; Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów A,

a zatem

Rozmiar: 50 bajtów A + Rozmiar: 50 bajtów B + Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów 2d, cbdd.

Wniosek 1. W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych jest równa kątowi prostemu.

Wniosek 2. W trójkącie równobocznym każdy z kątów jest równy 2/3 kąta prostego.

Wniosek 3. Jeżeli dwa trójkąty mają po dwa kąty odpowiednio równe, to i pozostałe kąty mają równe.

Wniosek 4. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, do niego nieprzyległych.

Rzeczywiście, w trójkącie ABC (rys. 90) kąt ACB jest dopełnieniem sumy kątów A i B, ten sam kąt jest również dopełnieniem kąta zewnętrznego BCD, a zatem

Rozmiar: 50 bajtów BCD = Rozmiar: 50 bajtów A + Rozmiar: 50 bajtów B.

132. Twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych w wielokącie wypukłym jest równa dwóm kątom prostym wziętym tyle razy, ile wielokąt ma boków mniej dwa.

Jeżeli w danym wielokącie (rys. 91) z jednego wierzchołka wyprowadzimy wszystkie przekątne, to podzielimy go na trójkąty, których będzie o dwa mniej, niż boków w wielokącie.

Ponieważ w każdym trójkącie suma kątów jest równa dwóm kątom prostym, więc w danym wielokącie suma wszystkich kątów będzie wynosiła dwa kąty proste, powtórzone tyle razy, ile było trójkątów.

Jeżeli liczba boków wielokąta wynosi n, to suma kątów jest równa 2d(n - 2).

Więc np. w czworokącie suma kątów jest równa 4d, w pięciokącie 6d itd.

Rys. 90 Rys. 91
Rys. 90 Rys. 91

Wniosek. Jeżeli przy każdym z wierzchołków wielokąta utworzymy po jednym kącie zewnętrznym (rys. 91), to łatwo zauważyć, że będzie on wraz z kątem wewnętrznym przy tym wierzchołku dawać w sumie kąt półpełny, czyli kąt 2d. Suma wszystkich tych kątów będzie równa n × 2d. W tej sumie zawierać się będą kąty zewnętrzne i wewnętrzne, a zatem sumę kątów zewnętrznych otrzymamy jako różnicę:

n × 2d - (n - 2) × 2d = 4d,

tj. suma kątów zewnętrznych w każdym wielokącie wypukłym jest równa czterem kątom prostym.



 [  1]  [  2]  [  3 [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach