§ 19. Suma kątów trójkąta i wielokąta

131. Twierdzenie. W każdym trójkącie suma kątów jest równa dwóm kątom prostym.

Dowód. Niech będzie dany ABC (rys. 89). Jeżeli przez którykolwiek wierzchołek, np. przez C, przeprowadzimy prostą DD' równolegle do przeciwległego boku AB, to przy tym wierzchołku otrzymamy kąty 1, C i 2, które w sumie tworzą kąt półpełny:

1 + C + 2 = 2d.

Ale z równoległości DD˘ do AB mamy:

1 = B; 2 = A,

a zatem

A + B + C = 2d, cbdd.

Wniosek 1. W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych jest równa kątowi prostemu.

Wniosek 2. W trójkącie równobocznym każdy z kątów jest równy 2/3 kąta prostego.

Wniosek 3. Jeżeli dwa trójkąty mają po dwa kąty odpowiednio równe, to i pozostałe kąty mają równe.

Wniosek 4. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, do niego nieprzyległych.

Rzeczywiście, w trójkącie ABC (rys. 90) kąt ACB jest dopełnieniem sumy kątów A i B, ten sam kąt jest również dopełnieniem kąta zewnętrznego BCD, a zatem

BCD = A + B.

132. Twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych w wielokącie wypukłym jest równa dwóm kątom prostym wziętym tyle razy, ile wielokąt ma boków mniej dwa.

Jeżeli w danym wielokącie (rys. 91) z jednego wierzchołka wyprowadzimy wszystkie przekątne, to podzielimy go na trójkąty, których będzie o dwa mniej, niż boków w wielokącie.

Ponieważ w każdym trójkącie suma kątów jest równa dwóm kątom prostym, więc w danym wielokącie suma wszystkich kątów będzie wynosiła dwa kąty proste, powtórzone tyle razy, ile było trójkątów.

Jeżeli liczba boków wielokąta wynosi n, to suma kątów jest równa 2d(n - 2).

Więc np. w czworokącie suma kątów jest równa 4d, w pięciokącie 6d itd.

Wniosek. Jeżeli przy każdym z wierzchołków wielokąta utworzymy po jednym kącie zewnętrznym (rys. 91), to łatwo zauważyć, że będzie on wraz z kątem wewnętrznym przy tym wierzchołku dawać w sumie kąt półpełny, czyli kąt 2d. Suma wszystkich tych kątów będzie równa n × 2d. W tej sumie zawierać się będą kąty zewnętrzne i wewnętrzne, a zatem sumę kątów zewnętrznych otrzymamy jako różnicę:

n × 2d - (n - 2) × 2d = 4d,

tj. suma kątów zewnętrznych w każdym wielokącie wypukłym jest równa czterem kątom prostym.