§ 20. Ćwiczenia

1. Dane są dwa kąty trójkąta i . Wykreślić kąt trzeci.

2. Dany jest jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego równy . Wykreślić drugi kąt.

3. Kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego jest równy a. Wykreślić kąty przy podstawie.

4. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego jest równy a. Wykreślić kąt przy wierzchołku.

5. Kąt prosty podzielić na trzy równe cześci.

6. Jaki kształt będzie miał trójkąt, jeżeli a) jeden z jego kątów jest równy sumie dwóch pozostałych, b) jeden z kątów jest większy od sumy dwóch pozostałych, c) jeden z kątów jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych?

7. Dowieść, że w trójkącie prostokątnym środkowa wyprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Wskazówka. Przedłużyć środkową na równą jej odległość; otrzymamy dwa przystające trójkąty prostokątne.

8. Sformułować i udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia z zadania 7.

9. Dowieść, że w każdym trójkącie kąt, zawarty między wysokością a dwusieczną wyprowadzoną z tego samego wierzchołka jest równy połowie różnicy kątów położonych przy boku przeciwległym.

10. Na odcinku AB wystawiono trójkąt równoramienny ABC, następnie na przedłużeniu boku BC odłożono odcinek CD równy odcinkowi CB i połączono punkt D z punktem A.

Dowieść, że AD AB. Jest to sposób wystawiania prostopadłej z końca danego odcinka bez jego przedłużania.

11. Dowieść, że jeżeli w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest połową drugiego, to bok naprzeciwko niego położony jest równy połowie przeciwprostokątnej.

12. Sformułować i udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia z zadania 11.

13. Przez wierzchołki danego trójkąta poprowadzono proste równoległe do przeciwległych boków. Dowieść, że w otrzymanym w ten sposób nowym trójkącie kąty będą odpowiednio równe kątom danego trójkąta, a jego boki będą dwa razy większe.

14. Dowieść, że suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa czterem kątom prostym niezależnie od sumy kątów wewnętrznych.

Wskazówka. Przez jeden z wierzchołków poprowadzić proste równoległe do przedłużeń boków wielokąta.