§ 21. Równoległoboki i ich własności. Trapez

133. Określenie. Spośród czworokątów wypukłych wyróżniamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Taki czworokąt nazywa się równoległobokiem.

Równoległobok otrzymujemy, jeżeli dwie proste równoległe przetniemy dwiema innymi prostymi równoległymi, np. ABCD (rys. 92). Jeśli któryś z boków, np. AD, uznamy za podstawę równoległoboku, odległość między bokami równoległymi nazwiemy jego wysokością.

134. Własności równoległoboku. W oparciu o posiadane dotychczas wiadomości możemy sformułować następujące twierdzenia:

1. Przeciwległe boki równoległoboku są sobie równe.

2. Przeciwległe kąty równoległoboku są sobie równe, położone zaś przy jednym boku są kątami dopełniającymi się.

3. Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające.

Wynika to z I cechy przystawania trójkątów.

4. Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.

Dowód. Dany jest równoległobok ABCD (rys. 93), jego przekątne niech się przecinają w punkcie O. Otrzymujemy dwa trójkąty BOC i AOD, w których BC = AD jako boki przeciwległe; 1 = 2, 3 = 4 jako kąty naprzemianległe wewnętrzne. Zatem

BOC = AOD.

Stąd:

AO = OC i BO = OD

jako boki położone naprzeciw równych kątów .

135. Wnioski. Na mocy pierwszego i drugiego z przytoczonych powyżej twierdzeń możemy powiedzieć, że:

1) równoległobok, który ma dwa boki wychodzące z jednego wierzchołka równe, ma wszystkie cztery boki równe.

Taki równoległobok nazywamy rombem (rys. 94).

2) Równoległobok, który ma jeden kąt prosty, ma wszystkie kąty proste.

Taki równoległobok nazywamy prostokątem (rys. 95).

3) Równoległobok, który ma dwa przyległe boki równe, a kąt między nimi prosty, ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.

Taki równoległobok nazywamy kwadratem (rys. 96). Widzimy, że kwadrat jest to romb o kątach prostych albo prostokąt o równych bokach.

Jasne jest, że własności równoległoboku, które były zawarte w poprzednich twierdzeniach, dotyczyć będą rombu, prostokąta i kwadratu jako szczególnych równoległoboków. Oprócz tych własności ogólnych każda z tych trzech figur będzie miała własności swoiste, które poznamy z następujących twierdzeń.

136. Twierdzenie. Przekątne rombu są do siebie prostopadłe i dzielą odpowiednie kąty rombu na połowy.

Dowód. Dany jest romb ABCD (rys. 97), to znaczy taki równoległobok, w którym AB i AD są równe. Niech O będzie punktem przecięcia przekątnych tego rombu.

Otrzymaliśmy trójkąt równoramienny ABD, w którym AO jest środkową względem podstawy BD (dlaczego?). Stąd wynika już, że ta środkowa będzie wysokością trójkąta i dwusieczną kąta przy wierzchołku, czyli

AC BD i BAO = OAD.

To, że druga przekątna dzieli na połowy kąty B i D, jest już oczywiste.

137. Twierdzenie. Przekątne prostokąta są sobie równe.

Dowód wynika z tego, że trójkąty ABD i ACD są przystające (rys. 98).

138. Z łatwością można wywnioskować, że kwadrat będzie łączył w sobie własności rombu i prostokąta, a zatem jego przekątne są do siebie prostopadłe, są sobie równe i dzielą kąty kwadratu na połowy.

139. Symetria równoległoboków. Do poznanych już ogólnych własności równoległoboków oraz własności ich szczególnych przypadków prostokątów, rombów i kwadratów dołączyć możemy jeszcze własności następujące:

1) Równoległobok jest figurą symetryczną względem punktu przecięcia się jego przekątnych.

Wynikać będzie stąd, że jakikolwiek odcinek, zawarty między równoległymi bokami i przechodzący przez punkt przecięcia się przekątnych podzieli się w tym punkcie na połowy (dlaczego?).

Ten punkt nazywa się środkiem równoległoboku.

2) Romb ma dwie osie symetrii.

Są nimi oczywiście przekątne.

3) Prostokąt ma dwie osie symetrii (jakie?).

4) Kwadrat ma cztery osie symetrii (jakie?).

140. Określenia. Czworokąt, który ma jedną parę boków do siebie równoległych, nazywamy trapezem, np. ABCD (rys. 99).

Boki równoległe nazywamy podstawami trapezu, a odległość między nimi wysokością.

Trapez nosi nazwę trapezu równoramiennego, jeżeli ma boki nierównoległe równe sobie.

Odcinek EF, który łączy środki boków nierównoległych, nazywamy linią środkową trapezu.

141. Twierdzenie. Linia środkowa trapezu jest równoległa do obu podstaw i równa połowie ich sumy.

Rys. 99

Dowód. Dany jest trapez ABCD (rys. 99). Niech E będzie środkiem boku AB, F środkiem boku CD, a odcinek EF linią środkową. Przez punkty B i F poprowadźmy prostą, która przetnie przedłużenie podstawy AD trapezu w punkcie M. Wówczas trójkąty BCF i DFM są przystające dlatego, że

CF = FD z założenia,

1 = 2, jako kąty wierzchołkowe,

3 = 4, jako kąty naprzemianległe.

Z przystawania tych trójkątów wynika, że

BF = FM.

W takim razie w trójkącie ABM odcinek EF łączy środki dwóch boków. Mamy zatem

EF II AM,

a więc EF II AD.

Oprócz tego będzie

EF=AM/2 ,

ale AM = AD + DM = AD + BC, bo DM = BC, wobec przystawania trójkątów BCF i DFM.

Będzie więc ostatecznie

EF=(AD+BC)/2.

142. Określenie. Jeżeli na danym odcinku wykreślimy z obydwu jego stron 2 trójkąty równoramienne, które nie są przystające, to otrzymamy czworokąt, który nosi nazwę deltoidu (rys. 100).

Przekątne deltoidu są do siebie prostopadłe, ale tylko jedna z nich dzieli się na połowy przy przecięciu z drugą. Widzimy, że deltoid jest figurą symetryczną względem tylko jednej ze swoich przekątnych.