Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Koło  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
§ 24. Położenie prostej względem koła
§ 25. Własności średnicy. Odległość punktu od okręgu
§ 26. Własności łuków i cięciw
§ 27. Położenie dwóch kół względem siebie
§ 28. O zadaniach konstrukcyjnych
§ 29. Ćwiczenia
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Koło

§ 24. Położenie prostej względem koła

148. Wiemy już, że punkt położony na płaszczyźnie danego koła leży albo na zewnątrz koła, albo wewnątrz niego, albo wreszcie na okręgu. Podobnie każda prosta może przyjmować także trzy położenia względem koła i właśnie te trzy przypadki położeń rozważymy kolejno.

Twierdzenie. Prosta poprowadzona w odległości od środka koła większej od jego promienia nie ma żadnego punktu wspólnego z kołem, tj. leży całkowicie na zewnątrz koła.

Rys. 105

Rys. 105

Dane jest koło O i prosta MN (rys. 105), której odległością od środka O jest odcinek OA Rozmiar: 53 bajtów MN. Zakładamy, że odległość OA jest większa od promienia, który oznaczać będziemy r, więc OA > r.

Jeżeli na prostej MN obierzemy dowolny punkt B, to jego odległość OB od środka koła będzie większa od promienia, a zatem punkt B leży na zewnątrz koła. Widzimy więc, że wszystkie punkty prostej MN leżą poza kołem.

149. Twierdzenie. Prosta poprowadzona w odległości od środka koła mniejszej niż jego promień ma z okręgiem dwa punkty wspólne.

Rys. 106

Rys. 106

Dane jest koło o środku w punkcie O i promieniu r oraz prosta MN (rys. 106), której odległość od środka O jest mniejsza od promienia; zakładamy więc, że

OA < r.

Odłóżmy na prostej MN z obydwu stron punktu A odcinki AB i AB1 równe promieniowi r i połączmy ich końce ze środkiem koła.

Ponieważ AB = AB1 = r, więc OB = = OB1 > r (dlaczego?), a to dowodzi, że punkty B i B1 leżą na zewnątrz koła. Ponieważ punkt A leży wewnątrz koła, więc na mocy znanego pewnika (patrz punkt 57) możemy powiedzieć, że każdy z odcinków AB i AB1 ma z okręgiem po jednym punkcie wspólnym, a to dowodzi twierdzenia.

Określenie. Prostą, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne, nazywamy sieczną względem koła.

150. Twierdzenie. Prosta poprowadzona w odległości od środka koła równej jego promieniowi ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny.

Rys. 107

Rys. 107

Dane jest znowu koło o środku w punkcie O i promieniu r oraz prosta MN, poprowadzona w odległości od środka równej promieniowi, tj. prosta przechodząca przez punkt A (rys. 107) i oczywiście prostopadła do AO. Każdy punkt tej prostej, oprócz punktu A, będzie leżał od środka koła w odległości większej od promienia, np. będzie OB > OA, a więc każdy inny punkt tej prostej, oprócz A, będzie leżał na zewnątrz koła, cbdd.

Określenie. Prostą, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną do koła. Punkt wspólny okręgu i prostej nazywamy ich punktem styczności.

151. Z drugiego z twierdzeń niniejszego rozdziału wnosimy, że

styczna do koła leży od jego środka w odległości równej promieniowi, inaczej mówiąc:

styczna jest prostopadła do promienia przechodzącego przez punkt styczności.

Wniosek. Przez dany punkt okręgu można poprowadzić tylko jedną styczną.

152. Z tego, co było powiedziane, widoczny jest sposób wykreślenia stycznej w punkcie położonym na danym okręgu. Jak poprowadzić styczną z punktu zewnętrznego?

Zadanie. Z punktu leżącego na zewnątrz koła poprowadzić do niego styczną.

Rys. 108

Rys. 108

Dane jest koło o środku w punkcie O i promieniu r oraz punkt zewnętrzny A (rys. 108). Poprowadźmy odcinek OA i przez jego punkt przecięcia B z okręgiem poprowadźmy prostą prostopadłą do niego. Jeżeli teraz ze środka O promieniem OA opiszemy okrąg, to przetnie się on z tą prostopadłą w punkcie C. Łącząc punkt C ze środkiem O odcinkiem OC, przetniemy okrąg danego koła w punkcie D. Punkty A i D wyznaczają prostą AD, która będzie żądaną styczną.

Istotnie, trójkąty ODA i OCB są przystające, dlatego że OD = OB, OA = OC i kąt DOA mają wspólny. Z przystawania tych trójkątów wynika, że kąt ODA jest prosty, jako kąt równy kątowi OBC, a więc prosta AD jest styczną.

Widzimy dalej, że okrąg, opisany promieniem OA, przetnie się z prostą prostopadłą BC jeszcze w drugim punkcie C1, który będzie symetrycznie położony do C względem OA, a zatem z drugiej strony odcinka OA otrzymamy jeszcze jedną styczną AD1. Zadanie ma zatem dwa rozwiązania.

Wniosek. Z przystawania trójkątów prostokątnych ODA i OD1A wynika, że AD = AD1, czyli styczne do koła, wyprowadzone z danego punktu zewnętrznego, są sobie równe.

Pamiętać należy, że mówiąc o równości stycznych, mamy na myśli odcinki stycznych, liczone od punktu, z którego zostały wyprowadzone, do punktów styczności.

Rys. 109

Rys. 109

153. Określenie. Mówimy, że okrąg jest okręgiem wpisanym w trójkąt, jeżeli jest styczne do wszystkich boków trójkąta. O trójkącie mówimy wówczas, że jest trójkątem opisanym na okręgu.

Zadanie. W dany trójkąt wpisać okrąg.

Z określenia okręgu wpisanego w trójkąt wynika, że odległości jego środka od boków trójkąta są promieniami tego okręgu, a zatem są równe. Dlatego środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt, w którym przecinają się dwusieczne kątów trójkąta (drugi punkt szczególny trójkąta, patrz punkt 145). Stąd już oczywisty jest sposób rozwiązania naszego problemu:

Należy podzielić dwa kąty trójkąta na połowy. Punkt przecięcia się dwusiecznych będzie środkiem okręgu wpisanego, a promieniem odcinek prostopadły do boku poprowadzony z O (rys. 109). Zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli w każdy trójkąt można zawsze wpisać okrąg, i to tylko jeden.

Zadanie można rozszerzyć, poszukując okręgu stycznego niekoniecznie do boków trójkąta, lecz do ich przedłużeń, tj. poszukując okręgu stycznego do trzech danych prostych, parami przecinających się.

W tym celu podzielmy na połowy dwa kąty zewnętrzne Rozmiar: 51 bajtów ABC przy wierzchołkach A i B (rys. 109). Punkt przecięcia się tych dwusiecznych O1 będzie środkiem okręgu stycznego do boku AB trójkąta ABC i do przedłużeń dwóch pozostałych boków. (Łatwo się przekonać, że przez punkt O1 przechodzić będzie również dwusieczna kąta wewnętrznego ACB w trójkącie ABC).

Promieniem tego okręgu jest odcinek, poprowadzony z O1 i prostopadły do boku AB albo, co na to samo wychodzi, odcinek prostopadły do przedłużenia boku AC lub boku BC.

W taki sposób otrzymamy trzy okręgi, których środkami będą punkty: O1, O2, O3. Okręgi te noszą nazwę okręgów dopisanych do trójkąta ABC.

Tak więc zadanie o okręgu stycznym do trzech prostych ma cztery rozwiązania.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach