§ 25. Własności średnicy. Odległość punktu od okręgu

154. Twierdzenie. Średnica koła jest większa od każdej cięciwy nie będącej średnicą.

Dowód. Dany jest okrąg (rys. 110), poprowadźmy dowolną jego średnicę AB i dowolną cięciwę CD. Jeżeli końce tej cięciwy połączymy ze środkiem O okręgu, to otrzymamy trójkąt COD, w którym mamy

CO + OD > CD,

stąd AB = AO + OB > CD.

155. Twierdzenie. Średnica prostopadła do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy.

Dany jest okrąg (rys. 111), a w nim cięciwa AB i średnica CD AB. Jeżeli końce cięciwy połączymy ze środkiem okręgu, otrzymamy trójkąt równoramienny AOB, w którym OE jest wysokością, a zatem AE = EB.

156. Twierdzenie odwrotne. Średnica, która dzieli cięciwę na połowy, jest do niej prostopadła.

Jest to oczywisty wniosek z faktu, że trójkąt AOB (rys. 111) jest trójkątem równoramiennym.

Wniosek 1. Okrąg jest figurą symetryczną względem każdej średnicy.

Wniosek 2. Miejscem geometrycznym środków wszystkich cięciw do siebie równoległych jest średnica koła, prostopadła do jednej z tych cięciw.

157. Niech będzie dane koło o środku w punkcie O z promieniem r i pewien punkt A wewnętrzny (rys. 112) lub zewnętrzny (rys. 113).

Jeżeli ten punkt połączymy z jakimkolwiek punktem C leżącym na okręgu, to odcinek AC będzie odległością danego punktu od punktu C okręgu. Oczywiście odległość ta będzie różna dla różnych punktów okręgu. Można zadać pytanie, który z punktów połączonych na okręgu jest najbliższy, a który najdalszy punktowi A?

Twierdzenie. Najmniejszą odległością danego punktu od okręgu jest odcinek, którego przedłużenie przechodzi przez środek koła; największą zaś jest odcinek, który przechodzi przez środek koła.

Poprowadźmy przez dany punkt A i przez środek koła sieczną, przecinającą okrąg w punktach B i B₁. Połączmy dowolny punkt C okręgu ze środkiem koła. Jeżeli punkt A jest punktem wewnętrznym koła, to

AB = OB - OA = OC - OA,

ale z trójkąta OCA mamy

OC - OA < AC,

więc AB < AC.

Dla punktu A, który jest punktem zewnętrznym, otrzymamy taką samą nierówność.

Z drugiej strony

AB₁ = OA + OB₁ = OA + OC > AC.

Tak samo będzie AB₁ > AC₁ (z trójkąta OC₁A).

Tym właśnie najmniejszym odcinkiem AB mierzymy odległość punktu od okręgu.