Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Koło  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
§ 24. Położenie prostej względem koła
§ 25. Własności średnicy. Odległość punktu od okręgu
§ 26. Własności łuków i cięciw
§ 27. Położenie dwóch kół względem siebie
§ 28. O zadaniach konstrukcyjnych
§ 29. Ćwiczenia
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 25. Własności średnicy. Odległość punktu od okręgu

154. Twierdzenie. Średnica koła jest większa od każdej cięciwy nie będącej średnicą.

Dowód. Dany jest okrąg (rys. 110), poprowadźmy dowolną jego średnicę AB i dowolną cięciwę CD. Jeżeli końce tej cięciwy połączymy ze środkiem O okręgu, to otrzymamy trójkąt COD, w którym mamy

CO + OD > CD,

stąd AB = AO + OB > CD.

.
Rys. 110 Rys. 111
Rys. 110 Rys. 111

155. Twierdzenie. Średnica prostopadła do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy.

Dany jest okrąg (rys. 111), a w nim cięciwa AB i średnica CD Rozmiar: 53 bajtów AB. Jeżeli końce cięciwy połączymy ze środkiem okręgu, otrzymamy trójkąt równoramienny AOB, w którym OE jest wysokością, a zatem AE = EB.

156. Twierdzenie odwrotne. Średnica, która dzieli cięciwę na połowy, jest do niej prostopadła.

Jest to oczywisty wniosek z faktu, że trójkąt AOB (rys. 111) jest trójkątem równoramiennym.

Wniosek 1. Okrąg jest figurą symetryczną względem każdej średnicy.

Wniosek 2. Miejscem geometrycznym środków wszystkich cięciw do siebie równoległych jest średnica koła, prostopadła do jednej z tych cięciw.

157. Niech będzie dane koło o środku w punkcie O z promieniem r i pewien punkt A wewnętrzny (rys. 112) lub zewnętrzny (rys. 113).

Rys. 112 Rys. 113
Rys. 112 Rys. 113

Jeżeli ten punkt połączymy z jakimkolwiek punktem C leżącym na okręgu, to odcinek AC będzie odległością danego punktu od punktu C okręgu. Oczywiście odległość ta będzie różna dla różnych punktów okręgu. Można zadać pytanie, który z punktów połączonych na okręgu jest najbliższy, a który najdalszy punktowi A?

Twierdzenie. Najmniejszą odległością danego punktu od okręgu jest odcinek, którego przedłużenie przechodzi przez środek koła; największą zaś jest odcinek, który przechodzi przez środek koła.

Poprowadźmy przez dany punkt A i przez środek koła sieczną, przecinającą okrąg w punktach B i B1. Połączmy dowolny punkt C okręgu ze środkiem koła. Jeżeli punkt A jest punktem wewnętrznym koła, to

AB = OB - OA = OC - OA,

ale z trójkąta OCA mamy

OC - OA < AC,

więc AB < AC.

Dla punktu A, który jest punktem zewnętrznym, otrzymamy taką samą nierówność.

Z drugiej strony

AB1 = OA + OB1 = OA + OC > AC.

Tak samo będzie AB1 > AC1 (z trójkąta OC1A).

Tym właśnie najmniejszym odcinkiem AB mierzymy odległość punktu od okręgu.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4]  [  5]  [  6] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach