§ 26. Własności łuków i cięciw

158. Określenia. Jeżeli końce łuku AB (rys. 114) połączymy ze środkiem koła, to otrzymamy kąt AOB, który nazywamy kątem środkowym; a więc kąt środkowy jest utworzony przez dwa promienie koła. Dwa łuki w danym kole będziemy nazywali równymi, jeżeli odpowiadające im kąty środkowe są równe. Jeżeli kąty środkowe nie są równe, to za łuk większy uznamy ten, który odpowiada kątowi większemu.

Punkt wewnętrzny łuku, np. punkt B na łuku AC, dzieli go na dwie części: na łuk AB i łuk BC. Mówimy wtedy, że łuk AC jest sumą łuków AB i BC, zaś łuk BC jest różnicą łuków AC i AB.

Widzimy zatem, że dwa łuki tego samego koła możemy łączyć znakami równości, nierówności oraz znakami działań arytmetycznych. Zatem łuki należą do wielkości geometrycznych i do nich, podobnie jak do odcinków i kątów, możemy stosować pewniki ogólne (patrz punkt 32).

Zobaczymy zaraz, jaka istnieje zależność między łukami tego samego koła a odpowiadającymi im cięciwami. Należy jednak zauważyć, że każdej cięciwie odpowiadają w kole dwa łuki i dwa kąty środkowe, z których jeden jest wypukły, drugi wklęsły. Jeżeli więc będziemy mówili o cięciwie odpowiadającej łukowi, to będziemy mieli na myśli jeden z tych kątów, a zatem i jeden z łuków, mianowicie ten łuk, który odpowiada kątowi środkowemu wypukłemu, tj. łuk mniejszy od półokręgu.

159. Twierdzenie. W każdym kole równym łukom odpowiadają równe cięciwy.

Dane jest koło o środku w punkcie O (rys. 115) i dwa równe łuki AB i CD.

Jeżeli końce tych łuków połączymy ze środkiem koła, to otrzymamy dwa trójkąty OAB i COD, które są przystające, ponieważ mają po dwa boki równe i po odpowiednim kącie między nimi zawartym równym. Stąd wnosimy, że cięciwy AB i CD są równe.

160. Twierdzenie odwrotne. W każdym kole równym cięciwom odpowiadają równe łuki.

Fakt ten wynika z przystawania trójkątów AOB i COD (rys. 115).

161. Mając poprzednie dwa twierdzenia, łatwo wnioskujemy, że:

1) w każdym kole większemu łukowi odpowiada większa cięciwa,

2) w każdym kole większej cięciwie odpowiada większy łuk.

162. Twierdzenie. W każdym kole równe cięciwy są równo oddalone od środka koła.

Dane jest koło o środku w punkcie O (rys. 116) i dwie cięciwy AB i CD. Odległością pierwszej z nich od środka koła jest odcinek OE prostopadły do AB, drugiej odcinek OF prostopadły do CD.

Zakładamy, że AB = CD,

mamy dowieść, że OE = OF.

Dowód. Połączmy punkty A i C ze środkiem koła. Otrzymamy wówczas dwa trójkąty prostokątne: AOE i COF, które są przystające, dlatego że

OA = OC i AE = CF, gdyż AE jest połową cięciwy AB (patrz punkt 155), a CF połową cięciwy CD; będzie więc OE = OF.

163. Twierdzenie. W każdym kole większa z dwóch cięciw położona jest bliżej środka koła.

Rys. 117

W kole o środku w punkcie O (rys. 117) dane są dwie cięciwy AB i CD, których odległościami od środka koła są odcinki OE i OF,

OE AB i OF CD.

Zakładamy, że

AB > CD,

mamy dowieść, że

OE < OF.

Dowód. Odmierzmy na okręgu łuk AG równy CD, wtedy cięciwy AG i CD będą równe i ich odległości od środka koła będą równe, tzn.:

OH = OF, gdzie OH AG.

Odcinek OH przetnie się z cięciwą AB (dlaczego?) w pewnym punkcie K i

OE < OK jako prostopadła i pochyła,

ale oczywiście

OK < OH,

więc OE < OH,

czyli OE < OF.

164. Ostatnie dwa twierdzenia możemy odwrócić i wypowiedzieć jeszcze dwa twierdzenia:

1) W każdym kole cięciwy równo oddalone od środka koła są sobie równe.

2) W każdym kole ta z dwóch cięciw jest większa, która leży bliżej środka koła.

Stąd wynika, że średnica koła jest największą z cięciw, o czym już wiemy skądinąd.

Uwaga. W twierdzeniach poprzednich mówiliśmy o cięciwach tego samego koła, możemy to samo oczywiście powiedzieć o cięciwach w dwóch kołach przystających.