§ 27. Położenie dwóch kół względem siebie
165.
Określenia. Dwa koła, które mają wspólny środek, nazywamy kołami
współśrodkowymi, inaczej
koncentrycznymi (rys. 118), w przeciwnym razie nazywamy je kołami
niewspółśrodkowymi (rys. 119) lub
ekscentrycznymi.
Prostą, która przechodzi przez środki dwóch kół niewspółśrodkowych, nazywamy linią środków tych kół.
 | | . |
| Rys. 118 | | Rys. 119 |
166. Dwa koła niewspółśrodkowe mogą być względem siebie różnie położone zależnie od tego, w jakiej odległości od siebie leżą ich środki.
Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest mniejsza od różnicy ich promieni, to okręgi nie mają żadnego punktu wspólnego i jeden z nich leży całkowicie wewnątrz drugiego.
Dowód. Środkiem większego okręgu niech będzie O1, a promieniem r1 (rys. 120), środkiem mniejszego O2, a promieniem r2.
 | |  |
| Rys. 120 | | Rys. 121 |
Poprowadźmy linię środków do przecięcia mniejszego okręgu w punkcie B (więc O2B = r2).
Zakładamy, że
O1O2 < r1 - r2,
czyli O1O2 < r1 - O2B,
skąd mamy O1O2 + O2B < r1,
czyli O1B < r1.
A zatem punkt B leży wewnątrz większego koła, a że odcinek O1B jest największy z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O1 do okręgu mniejszego (patrz punkt 157), więc tym bardziej inne punkty tego okręgu leżały wewnątrz koła pierwszego.
167. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa różnicy ich promieni, to okręgi mają tylko jeden punkt wspólny.
Dowód. Jeżeli O1O2 = r1 - r2 (rys. 121), to wykreśliwszy linię środków O1O2 do przecięcia się z większym okręgiem w punkcie A, będziemy mieli r1 = O1A, a więc będzie r2 = O2A (jako różnica między r1 = O1A i O1O2). Odcinek O2A będzie promieniem mniejszego koła. Stąd widzimy, że punkt A jest punktem wspólnym dla danych okręgów. Ponieważ zaś odcinek O1A jest największy z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O1 do okręgu O2, więc wszystkie inne punkty tego okręgu będą leżały wewnątrz pierwszego koła.
168. Dwa okręgi, które mają tylko jeden punkt wspólny, nazywamy okręgami
stycznymi do siebie i jeżeli są tak położone, że wszystkie pozostałe punkty jednego z nich leżą wewnątrz drugiego, powiadamy, że są
styczne wewnętrznie.
Wniosek. Punkt wspólny dwóch wewnętrznie stycznych do siebie okręgów leży na linii środków.
169. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od różnicy ich promieni, ale mniejsza od ich sumy, to okręgi mają dwa punkty wspólne.
Rys. 122
Dowód. Jeżeli O1O2 > r1 - r2 (rys. 122), to oznaczając punkty przecięcia linii środków z mniejszym okręgiem przez B i C, mamy r2 = O2C, więc
O1O2 > r1 - O2C,
stąd
O1O2 + O2C > r1,
czyli
O1C > r1,
a to dowodzi, że punkt C leży na zewnątrz większego okręgu.
Z założenia mamy również
O1O2 < r1 + r2,
skąd zakładając, że O1O2 > r2,
otrzymujemy
O1O2 - r2 < r1,
a zatem
O1B < r1,
co dowodzi, że punkt B leży wewnątrz większego okręgu.
Widzimy więc, że mniejszy okrąg, na którym leżą punkty B i C, należące do różnych części okręgu większego, musi go przecinać w dwóch punktach, położonych z różnych stron linii środków.
W dowodzie tym założyliśmy, że O1O2 > r2; gdyby zaś O1O2 = r2, to wtedy punkt B musiałby być środkiem większego okręgu, a więc leżałby wewnątrz niego.
Rys. 123
Jeżeli wreszcie O1O2< r2, (rys. 123) to wtedy
O1B = O2B - O1O2,
a więc
O1B < O2B,
czyli
O1B < r2
i tym bardziej
O1B < r1,
a to dowodzić będzie, że punkt B leży wewnątrz większego okręgu.
Wniosek. Wspólne punkty dwóch przecinających się okręgów są symetrycznie do siebie położone względem linii środków.
Rys. 124
170. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni, to okręgi mają tylko jeden punkt wspólny.
Dowód. Mamy teraz O1O2 = r1 + r2 (rys. 124).
Jeżeli punkt przecięcia linii środków z pierwszym okręgiem nazwiemy A, to r1 = O1A, a zatem r2 = AO2.
Okręgi mają więc jeden punkt wspólny A.
Ponieważ odcinek O1A = r1 jest najmniejszym z odcinkiem, jaki można poprowadzić z punktu O1 do drugiego okręgu, więc wszystkie inne punkty drugiego okręgu leżą od O1 w odległości większej niż r1, czyli leżą na zewnątrz drugiego okręgu.
Okręgi są wtedy styczne do siebie i mówimy, że są styczne zewnętrznie.
Wniosek. Punkt wspólny dwóch zewnętrznie stycznych okręgów leży na linii środków.
171. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od sumy ich promieni, to okręgi nie mają punktów wspólnych i jeden leży całkowicie na zewnątrz drugiego.
Rys. 125
Jeżeli O1O2 > r1 + r2, to łącząc środki tych kół, otrzymamy w przecięciu z pierwszym okręgiem punkt A, czyli będzie O1A = r1 (rys. 125).
Ponieważ O1O2 > r1 + r2, czyli O1O2 > O1A + r2, więc będzie AO2 > r2 (po odjęciu O1A), a stąd wynika, że punkt A leży na zewnątrz drugiego koła. A że odcinek O2A jest najmniejszym z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O2 do pierwszego okręgu i O2A > r2, więc wszystkie punkty drugiego okręgu leżą na zewnątrz pierwszego.
172. Z poprzednich twierdzeń widzimy, że dwa niewspółśrodkowe okręgi mogą być względem siebie w pięciu różnych położeniach zależnie od tego jakie są odległości ich środków:
1) O1O2 < r1 - r2;
2) O1O2 = r1 - r2;
3) r1 - r2 < O1O2 < r1 + r2;
4) O1O2 = r1 + r2;
5) O1O2 > r1 + r2.
