Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Koło  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
§ 24. Położenie prostej względem koła
§ 25. Własności średnicy. Odległość punktu od okręgu
§ 26. Własności łuków i cięciw
§ 27. Położenie dwóch kół względem siebie
§ 28. O zadaniach konstrukcyjnych
§ 29. Ćwiczenia
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 27. Położenie dwóch kół względem siebie

165. Określenia. Dwa koła, które mają wspólny środek, nazywamy kołami współśrodkowymi, inaczej koncentrycznymi (rys. 118), w przeciwnym razie nazywamy je kołami niewspółśrodkowymi (rys. 119) lub ekscentrycznymi.

Prostą, która przechodzi przez środki dwóch kół niewspółśrodkowych, nazywamy linią środków tych kół.

.
Rys. 118 Rys. 119
Rys. 118 Rys. 119

166. Dwa koła niewspółśrodkowe mogą być względem siebie różnie położone zależnie od tego, w jakiej odległości od siebie leżą ich środki.

Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest mniejsza od różnicy ich promieni, to okręgi nie mają żadnego punktu wspólnego i jeden z nich leży całkowicie wewnątrz drugiego.

Dowód. Środkiem większego okręgu niech będzie O1, a promieniem r1 (rys. 120), środkiem mniejszego O2, a promieniem r2.

Rys. 120 Rys. 121
Rys. 120 Rys. 121

Poprowadźmy linię środków do przecięcia mniejszego okręgu w punkcie B (więc O2B = r2).

Zakładamy, że

O1O2 < r1 - r2,

czyli O1O2 < r1 - O2B,

skąd mamy O1O2 + O2B < r1,

czyli O1B < r1.

A zatem punkt B leży wewnątrz większego koła, a że odcinek O1B jest największy z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O1 do okręgu mniejszego (patrz punkt 157), więc tym bardziej inne punkty tego okręgu leżały wewnątrz koła pierwszego.

167. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa różnicy ich promieni, to okręgi mają tylko jeden punkt wspólny.

Dowód. Jeżeli O1O2 = r1 - r2 (rys. 121), to wykreśliwszy linię środków O1O2 do przecięcia się z większym okręgiem w punkcie A, będziemy mieli r1 = O1A, a więc będzie r2 = O2A (jako różnica między r1 = O1A i O1O2). Odcinek O2A będzie promieniem mniejszego koła. Stąd widzimy, że punkt A jest punktem wspólnym dla danych okręgów. Ponieważ zaś odcinek O1A jest największy z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O1 do okręgu O2, więc wszystkie inne punkty tego okręgu będą leżały wewnątrz pierwszego koła.

168. Dwa okręgi, które mają tylko jeden punkt wspólny, nazywamy okręgami stycznymi do siebie i jeżeli są tak położone, że wszystkie pozostałe punkty jednego z nich leżą wewnątrz drugiego, powiadamy, że są styczne wewnętrznie.

Wniosek. Punkt wspólny dwóch wewnętrznie stycznych do siebie okręgów leży na linii środków.

169. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od różnicy ich promieni, ale mniejsza od ich sumy, to okręgi mają dwa punkty wspólne.

Rys. 122

Rys. 122

Dowód. Jeżeli O1O2 > r1 - r2 (rys. 122), to oznaczając punkty przecięcia linii środków z mniejszym okręgiem przez B i C, mamy r2 = O2C, więc

O1O2 > r1 - O2C,

stąd

O1O2 + O2C > r1,

czyli

O1C > r1,

a to dowodzi, że punkt C leży na zewnątrz większego okręgu.

Z założenia mamy również

O1O2 < r1 + r2,

skąd zakładając, że O1O2 > r2,

otrzymujemy

O1O2 - r2 < r1,

a zatem

O1B < r1,

co dowodzi, że punkt B leży wewnątrz większego okręgu.

Widzimy więc, że mniejszy okrąg, na którym leżą punkty B i C, należące do różnych części okręgu większego, musi go przecinać w dwóch punktach, położonych z różnych stron linii środków.

W dowodzie tym założyliśmy, że O1O2 > r2; gdyby zaś O1O2 = r2, to wtedy punkt B musiałby być środkiem większego okręgu, a więc leżałby wewnątrz niego.

Rys. 123

Rys. 123

Jeżeli wreszcie O1O2< r2, (rys. 123) to wtedy

O1B = O2B - O1O2,

a więc

O1B < O2B,

czyli

O1B < r2

i tym bardziej

O1B < r1,

a to dowodzić będzie, że punkt B leży wewnątrz większego okręgu.

Wniosek. Wspólne punkty dwóch przecinających się okręgów są symetrycznie do siebie położone względem linii środków.

Rys. 124

Rys. 124

170. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni, to okręgi mają tylko jeden punkt wspólny.

Dowód. Mamy teraz O1O2 = r1 + r2 (rys. 124).

Jeżeli punkt przecięcia linii środków z pierwszym okręgiem nazwiemy A, to r1 = O1A, a zatem r2 = AO2.

Okręgi mają więc jeden punkt wspólny A.

Ponieważ odcinek O1A = r1 jest najmniejszym z odcinkiem, jaki można poprowadzić z punktu O1 do drugiego okręgu, więc wszystkie inne punkty drugiego okręgu leżą od O1 w odległości większej niż r1, czyli leżą na zewnątrz drugiego okręgu.

Okręgi są wtedy styczne do siebie i mówimy, że są styczne zewnętrznie.

Wniosek. Punkt wspólny dwóch zewnętrznie stycznych okręgów leży na linii środków.

171. Twierdzenie. Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od sumy ich promieni, to okręgi nie mają punktów wspólnych i jeden leży całkowicie na zewnątrz drugiego.

Rys. 125

Rys. 125

Jeżeli O1O2 > r1 + r2, to łącząc środki tych kół, otrzymamy w przecięciu z pierwszym okręgiem punkt A, czyli będzie O1A = r1 (rys. 125).

Ponieważ O1O2 > r1 + r2, czyli O1O2 > O1A + r2, więc będzie AO2 > r2 (po odjęciu O1A), a stąd wynika, że punkt A leży na zewnątrz drugiego koła. A że odcinek O2A jest najmniejszym z odcinków, jakie można poprowadzić z punktu O2 do pierwszego okręgu i O2A > r2, więc wszystkie punkty drugiego okręgu leżą na zewnątrz pierwszego.

172. Z poprzednich twierdzeń widzimy, że dwa niewspółśrodkowe okręgi mogą być względem siebie w pięciu różnych położeniach zależnie od tego jakie są odległości ich środków:

1) O1O2 < r1 - r2;

2) O1O2 = r1 - r2;

3) r1 - r2 < O1O2 < r1 + r2;

4) O1O2 = r1 + r2;

5) O1O2 > r1 + r2.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4 [  5]  [  6] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach