§ 28. O zadaniach konstrukcyjnych

173. Uwagi ogólne. Poznane przez nas dotychczas podstawowe konstrukcje, do których zaliczamy zadania o podziale odcinka lub kąta na połowy, o budowie kąta równego danemu, o budowie trójkątów z trzech danych elementów, o prowadzeniu równoległej i prostopadłej itp., pozwalają przy pomocy zdobytych już wiadomości na zastosowanie ich do konstrukcji o charakterze nieco bardziej skomplikowanym.

Ogólnego sposobu rozwiązywania takich zadań oczywiście podać nie można. Wiele znaczy tu wprawa, nabyta przez praktykę i własną spostrzegawczość.

Najczęściej w zadaniach takich chodzi o znalezienie pewnego punktu, o wykreślenie prostej, okręgu. Jeżeli więc chodzić będzie o punkt (jak to bywa bardzo często w zadaniach o budowie trójkąta), pamiętać należy, że będzie on wyznaczony, o ile potrafimy wykreślić dwie linie, czyli dwa miejsca geometryczne, których przecięciem ma być poszukiwany punkt. Jeżeli chodzi o prostą, musimy znaleźć dwa punkty, przez które ona ma przechodzić. Koło będzie wyznaczone, o ile znajdziemy jego środek i promień itp.

W ogóle w rozwiązywaniu zadania konstrukcyjnego należy wyróżnić cztery następujące etapy:

1) Przypuszczając, że zadanie zostało rozwiązane, rozważamy figurę, która odpowiada postawionym warunkom. Następnie, zestawiając uważnie dane elementy tej figury z poszukiwanymi, staramy się wykryć sposób jej zbudowania, najczęściej posługujemy się konstrukcjami, które jako bardziej podstawowe są już nam znane i nie nastręczają trudności.

Takie postępowanie prowadzi do wykrycia sposobu rozwiązania. Jest to tzw. analiza, polegająca na rozkładaniu zadania na pomocnicze części, czyli na zastępowaniu go innymi zadaniami, tak długo, dopóki nie dojdzie się do konstrukcji podstawowej.

2) Dokonawszy analizy, która stanowi najważniejszą część rozwiązania, przechodzimy już do konstrukcji, odwracając kolejność czynności pośrednich i dochodząc w końcu do konstrukcji żądanej.

3) Następnie należy jeszcze sprawdzić, czyli udowodnić, że otrzymana figura jest istotnie tą, o którą chodziło w zadaniu.

4) Wreszcie przeprowadzamy dyskusję zadania, rozważając dokładnie, jaki jest warunek możliwości rozwiązania i ile może być rozwiązań danego zadania.

W zadaniach mało skomplikowanych sposób konstrukcji sam rzuca się w oczy, wtedy analizę pomijamy.

Dowód najczęściej wynika wprost z warunków, które spełnia konstrukcja, natomiast dyskusji nigdy pomijać nie należy.

Weźmy dla przykładu znane już zadanie o budowie trójkąta z trzech odcinków danych a, b i c.

Postępując według wskazówek dopiero co podanych, wykreślamy odręcznie trójkąt ABC (rys. 126), w którym podstawa AB ma być równa odcinkowi c, bok AC = b i bok BC = a. Widzimy, że odmierzając na dowolnej prostej odcinek AB = c, mamy już dwa wierzchołki trójkąta żądanego, chodzi więc o położenie trzeciego wierzchołka.

Z naszkicowanej figury widać, że odległość punktu C od A jest znana, równa odcinkowi b, a zatem ten punkt musi leżeć na miejscu geometrycznym punktów, znajdujących się od A w odległości b, więc będzie leżał na okręgu zakreślonym z punktu A promieniem b.

Z drugiej strony punkt C leży na miejscu geometrycznym punktów, znajdujących się w odległości a od B, a więc na okręgu, zakreślonym z punktu B promienia a.

Stąd już wynika, że położenie punktu C jest wyznaczone przez przecięcie się dwóch okręgów.

W ten sposób przeprowadziliśmy analizę zadania.

Konstrukcja wynika już wprost z analizy.

Dowód, że ABC jest żądanym trójkątem, wynika stąd, że jego boki są (na mocy konstrukcji) równe odpowiednio odcinkom: a, b i c.

Dyskusja. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do możliwości rozwiązania będzie ten, żeby dwa okręgi, o których mówiliśmy, przecięły się ze sobą, a więc

a - b < c < a + b.

Okręgi przecinają się ze sobą na ogół w dwóch punktach, więc powinny być dwa rozwiązania, widzimy jednak, że są one do siebie symetryczne, mianowicie są to dwa trójkąty położone z obu stron odcinka AB. Zwykle, jeżeli mowa o trójkącie, chodzi o figurę położoną z jednej - z góry umówionej - strony prostej, mówimy więc, że jest tu jedno rozwiązanie.

174. Ogólnie, rozwiązanie zadania geometrycznego polega na wykreśleniu pewnej skończonej liczby prostych i okręgów Konstrukcja nosi nazwę platońskiej na cześć znakomitego starożytnego myśliciela Platona (427-348 r. przed nar. Chr.).

W praktyce do wykonania najprostszych konstrukcji posługujemy się linijką, cyrklem i czasami ekierką. Należy jednak pamiętać, że konstrukcja praktyczna jest rozwiązaniem, które polega na przeprowadzeniu rozumowania. Ekierka służy zwykle do praktycznego wykreślania prostopadłej. Np. chcąc wykreślić prostopadłą do MN (rys. 127) w punkcie A, przystawiamy ekierkę do prostej danej bokiem BA, wtedy drugi bok AC da kierunek prostopadły do MN.

Rys. 127

Jeżeli pragniemy przez punkt K (rys. 128) poprowadzić równoległą do MN, przystawiamy ekierkę ABC bokiem AB do prostej MN, a do boku AC (albo CB) przykładamy linijkę DE. Posuwając ekierkę po brzegu nieruchomej linijki, aż bok AB spotka punkt K, otrzymamy takie położenie ekierki A'B'C', iż A'B' będzie równoległe do AB.

Jako przykłady na zastosowanie podanych poprzednio ogólnych uwag, rozwiążemy następujące zadania:

175. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając podstawę, kąt do niej przyległy i sumę pozostałych dwóch boków.

Dane są dwa odcinki: c, jako podstawa, s równy sumie boków a + b, oraz kąt przyległy do podstawy (rys. 129).

Analiza. Przypuśćmy, że zadanie rozwiązano i żądanym trójkątem jest ABC, w którym podstawa AB = c, kąt A przyległy do niej jest równy . Badając tę figurę, widzimy, że wprost nie będzie można zauważyć zależności między danymi elementami c, s, i , dopóki nie mamy na rysunku odcinka s.

Przedłużmy zatem bok AC i odmierzmy CD = BC. Wtedy AD = AC + CB = s. Jeżeli teraz połączymy ze sobą punkty D i B, otrzymamy trójkąt ADB, w którym będą znane dwa boki i kąt między nimi zawarty, a więc wykreślić go potrafimy.

Jakże teraz przejść do trójkąta żądanego?

Chodzić tu będzie o znalezienie położenia wierzchołka C, który będzie zadość czynił dwóm warunkom:

1) będzie leżał na miejscu geometrycznym punktów równo oddalonych od punktów B i D,

2) będzie leżał na prostej AD.

A zatem wierzchołek C jest wyznaczony. Dzięki analizie zadanie sprowadziliśmy do dwóch konstrukcji podstawowych:

a) zbudować trójkąt, mając dwa boki i kąt między nimi,

b) wykreślić miejsce geometryczne punktów równo oddalonych od dwóch punktów danych.

Konstrukcja jest już widoczna z analizy.

Przeprowadzić dowód i dyskusję!

176. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając jego obwód i dwa kąty.

Rys. 130.

Analiza. Przypuśćmy, że ABC (rys. 130) jest żądanym trójkątem. Przedłużmy podstawę AB i odetnijmy AD = AC i BE = BC. Łącząc punkty D i E z punktem C, otrzymujemy trójkąt pomocniczy DCE, który wykreślić możemy, dlatego że jego podstawą jest DE = AB + AC + BC, czyli dany obwód trójkąta, D = ¹/₂a (dlaczego?) i E = ¹/₂b. Mając zaś trójkąt DCE, łatwo już otrzymać wierzchołki A i B, wiedząc, że każdy z nich czyni zadość dwóm warunkom:

a) leży na prostej DE,

b) leży na osi symetrii boków DC i CE.

Stąd już konstrukcja jest oczywista. Podać dowód i przeprowadzić dyskusję.

177. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając dane jego dwa boki i wysokość względem jednego z nich.

 

Analiza. Żądanym trójkątem niech będzie trójkąt ABC (rys. 131), dane są boki AB i AC oraz wysokość h względem AB.

Rys. 131

Wierzchołek C będzie czynił zadość dwóm warunkom:

a) będzie leżał w odległości h od podstawy,

b) w odległości b od punktu A.

A zatem będzie punktem przecięcia dwóch miejsc geometrycznych (jakich?).

Przeprowadzić dyskusję!

178. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając dane jego dwa boki i środkową względem trzeciego boku.

Analiza. Przedłużyć środkową i odłożyć odcinek równy jej długości. Łącząc koniec tej podwojonej i środkowej z jednym z końców podstawy, widzimy, że zadanie sprowadza się do konstrukcji podstawowej: wykreślić trójkąt, mając dane jego trzy boki. Dalsza konstrukcja nie nastręcza trudności.

Jaki będzie warunek możliwości rozwiązania i ile będzie rozwiązań?

179. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając jego trzy środkowe.

Pamiętając, że środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który odcina od każdej z nich trzecią część (patrz punkt 147), zadanie sprowadzamy do poprzedniego.

180. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając środki jego trzech boków.

Rozwiązanie oparte jest na twierdzeniu o odcinku, łączącym środki dwóch boków trójkąta.

181. Zadanie. Danym promieniem opisać koło styczne do ramion danego kąta.

Środek koła będzie punktem przecięcia dwóch miejsc geometrycznych (jakich?).

182. Zadanie. Do dwóch kół poprowadzić wspólną styczną.

Analiza. Przypuśćmy, że żądaną styczną jest prosta AB (rys. 132). Jeżeli punkty styczności A i B połączymy z odpowiednimi

Rys. 132

środkami kół, to otrzymamy promienie O₁A i O₂B do siebie równoległe. Na promieniu O₁A odłóżmy odcinek AC = O₂B i poprowadźmy prostą CO₂. Prosta ta będzie prostą styczną do koła współśrodkowego z kołem o środku w punkcie O₁ i promieniu O₁A, wyprowadzoną z punktu O₂, a takie zadanie już rozwiązać potrafimy. Oczywiście otrzymamy jeszcze styczną A₁B₁ symetryczną do AB.

Oprócz tych dwóch stycznych możemy otrzymać jeszcze dwie styczne (wewnętrzne), prowadząc naprzód styczną pomocniczą z punktu O₁ do koła współśrodkowego z danym kołem o środku w punkcie O₂, opisane promieniem równym sumie promieni kół danych.

Wykonać konstrukcję i wykazać, że zadanie może mieć cztery rozwiązania, trzy, dwa, jedno i wreszcie, że może być nierozwiązalne.