§ 31. Czworokąty wpisane i opisane

191. Jeżeli na danym okręgu obierzemy cztery dowolne punkty A, B, C i D (rys. 146) i połączymy je kolejno, to otrzymamy czworokąt (wypukły) ABCD wpisany w okrąg.

Twierdzenie. W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe są kątami dopełniającymi się.

Niech będzie dany czworokąt ABCD (rys. 146) wpisany w okrąg. Zauważmy, że kąty A i C są wpisane oparte na tej samej cięciwie, ale położone z różnych jej stron, więc się dopełniają (patrz punkt 184, wniosek 2).

Oczywiście to samo dotyczyć będzie kątów B i D.

192. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli w czworokącie wypukłym kąty przeciwległe są kątami dopełniającymi się, to można na tym czworokącie opisać okrąg.

Dany jest czworokąt ABCD (rys. 147), w którym

B + D = 2d;

wtedy oczywiście i suma dwóch pozostałych kątów będzie równa sumie dwóch kątów prostych.

Przez trzy punkty A, B i C możemy poprowadzić okrąg, interesuje nas, czy okrąg ten przejdzie przez czwarty wierzchołek D.

Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. że okrąg minie punkt D. Jeśliby punkt D znalazł się wewnątrz tego okręgu, to kąt D nie mógłby być dopełnieniem kąta B (patrz punkt 184, wniosek 2), co przeczyłoby założeniu.

Jeśliby punkt D znalazł się na zewnątrz okręgu, przechodzącego przez wierzchołki A, B i C, to kąt D byłby mniejszy od dopełnienia kąta B, co znowu przeczyłoby założeniu.

A więc okrąg, poprowadzony przez trzy wierzchołki A, B, C, musi przejść i przez czwarty wierzchołek D.

Z dowiedzionych twierdzeń wnioskujemy, że

aby na czworokącie można było opisać okrąg, potrzeba i wystarcza, żeby jego przeciwległe kąty były kątami dopełniającymi się.

193. Jeżeli na okręgu obierzemy cztery punkty i poprowadzimy przez nie styczne, to punkty przecięcia kolejnych stycznych będą wierzchołkami czworokąta opisanego na okręgu (rys. 148).

Twierdzenie. W czworokącie opisanym na okręgu sumy boków przeciwległych są sobie równe.

Pamiętając, że odcinki dwu stycznych okręgu wyprowadzonych z danego punktu są sobie równe, AE = AH, BE = BF itd., możemy napisać:

AB + DC = AE + EB + + DG + GC = AH + BF + + DH + FC = AD + BC,

cbdd.

194. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli w czworokącie sumy przeciwległych boków są sobie równe, to w czworokąt ten można wpisać okrąg.

Niech będzie dany czworokąt ABCD (rys. 149), w którym

AB + DC = AD + BC.

Zawsze możemy zakreślić okrąg styczny do trzech danych prostych: AD, AB i BC (jak to zrobić?). Interesuje nas, czy okrąg ten będzie również styczny do czwartego boku.

Przypuśćmy, że tak nie jest, a mianowicie, że bok DC znajdzie się na zewnątrz skonstruowanego okręgu. Wtedy moglibyśmy z punktu D poprowadzić znanym sposobem styczną do tego okręgu. Niech styczna ta przetnie się z bokiem BC w pewnym punkcie C'. Otrzymalibyśmy wówczas czworokąt ABC˘D opisany na okręgu, a więc musiałoby być

AB + DC' = AD + BC'.

Jeżeli otrzymaną równość porównamy z daną w założeniu:

AB + DC = AD + BC,

to otrzymamy

DC - DC' = BC - BC',

tj.

DC - DC' = CC'.

Doszliśmy do niedorzeczności, bo w trójkącie różnica dwóch boków nie może być równa trzeciemu bokowi.

Widzimy więc, że nasze przypuszczenie upada.

W taki sam sposób możemy się przekonać, że przypuszczenie, że bok DC miałby punkty wewnątrz okręgu, również okaże się niemożliwe. Zatem skonstruowany okrąg będzie styczny i do czwartego boku.

195. Z dowiedzionych ostatnich dwóch twierdzeń wnioskujemy:

aby w czworokąt można było wpisać okrąg, potrzeba i wystarcza, żeby sumy jego przeciwległych boków były sobie równe.