Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty w kole Czworokąty wpisane i opisane  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
§ 30. Kąty w kole
§ 31. Czworokąty wpisane i opisane
§ 32. Ćwiczenia
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 32. Ćwiczenia

1. Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkątach prostokątnym, ostrokątnym, rozwartokątnym?

2. Czy są prawdziwe twierdzenia:

a) Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na zewnątrz trójkąta, to trójkąt jest rozwartokątny?

b) Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz, to trójkąt jest ostrokątny?

c) Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży w środku jednego z boków, to trójkąt jest prostokątny?

3. Dowieść, że kąt, którego wierzchołek leży wewnątrz koła, jest równy sumie dwóch kątów wpisanych, z których jeden jest oparty na łuku zawartym między ramionami danego kąta, a drugi na łuku zawartym między ich przedłużeniami.

4. Dowieść, że kąt, którego wierzchołek leży poza kołem, ramionami zaś są dwie sieczne, jest równy różnicy dwóch kątów wpisanych, z których każdy jest oparty na łuku, zawartym między ramionami danego kąta.

5. Jakie jest miejsce geometryczne wierzchołków trójkątów prostokątnych, wystawionych na tej samej przeciwprostokątnej?

6. Jakie jest miejsce geometryczne wierzchołków trójkątów o wspólnej podstawie i równym kącie przeciwległym?

(7-13). Zbudować trójkąt mając dane:

7. dwa boki i wysokość względem trzeciego boku;

8. bok, kąt do niego przyległy i środkową względem danego boku;

9. podstawę i dwie wysokości względem pozostałych boków;

10. wysokość i dwa kąty przy podstawie;

11. podstawę, wysokość i jeden z kątów przy podstawie;

12. dwa boki i wysokość względem jednego z nich;

13. podstawę, wysokość i środkową względem podstawy.

14. Udowodnić twierdzenie: jeżeli przez wspólny punkt dwóch stycznych do siebie okręgów poprowadzimy dwie proste przecinające jeden okrąg w punktach A i B, a drugi w punktach A1 i B1, to cięciwy AB i A1B1 będą do siebie równoległe.

Wziąć pod uwagę dwojaką styczność okręgów.

Wskazówka. Przez wspólny punkt poprowadzić styczną do danych okręgów.

15. Dane są dwa odcinki a i b. Znaleźć na płaszczyźnie taki punkt, z którego odcinki te widać pod tym samym danym kątem.

16. Dane są na płaszczyźnie trzy punkty: A, B i C. Znaleźć na tej płaszczyźnie czwarty punkt D taki, z którego odcinki AB i BC widać pod danymi kątami.

17. Zbudować trójkąt, mając dany promień okręgu wpisanego i dwa kąty.

18. Zbudować trójkąt, mając dany promień okręgu na nim opisanego i dwa kąty.

19. Znaleźć punkt, z którego boki trójkąta widać pod takim samym kątem.

20. Czy na każdym równoległoboku można opisać okrąg?

21. Czy na każdym trapezie można opisać okrąg?

22. Czy w każdy równoległobok można wpisać okrąg?

23. Czy w trapez można wpisać okrąg?

24. W dany romb wpisać okrąg.

25. Na danym trójkącie opisano okrąg i z dowolnego punktu tego okręgu poprowadzono prostopadłe do boków trójkąta. Dowieść, że spodki wszystkich trzech prostopadłych leżą na jednej prostej.

Wskazówka. Znaleźć czworokąty, na których można opisać okrąg.

26. Dowieść, że dwusieczne kątów jakiegokolwiek czworokąta, przecinając się ze sobą, tworzą nowy czworokąt, na którym można opisać koło.

27. Na dwóch bokach trójkąta zbudowano okręgi. Dowieść, że przecinają się one w punkcie leżącym na prostej zawierającej trzeci bok trójkąta.



 [  1]  [  2]  [  3

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach