Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Równoważność wielokątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
§ 33. Określenie wielokątów równoważnych. Zasadnicze własności związku równoważności. Postulat de Zolta
§ 34. Równoważność równoległoboków, trójkątów i trapezów
§ 35. Zadania konstrukcyjne
§ 36. Twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie
§ 37. Ćwiczenia
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Równoważność wielokątów

§ 33. Określenie wielokątów równoważnych. Zasadnicze własności związku równoważności. Postulat de Zolta

196. Określenia. Dwa wielokąty, które mają nieprzerwaną wspólną część konturu i żadnego punktu wewnętrznego wspólnego, nazywamy przyległymi, np. wielokąty I i II (rys. 150).

Usuwając wspólną część konturu, otrzymujemy jeden wielokąt, który nazywa się sumą wielokątów I i II.

Rys. 150 Rys. 151
Rys. 150 Rys. 151

Wielokąt II mogliśmy również inaczej "dodać" do wielokąta I, czyli inaczej mogliśmy uczynić go przyległym do wielokąta I, budując na innym jego boku wielokąt przystający do wielokąta II (rys. 151) i w ten sposób otrzymamy "inną" sumę danych wielokątów.

Widzimy więc, że istnieją wielokąty, które chociaż nie są przystające (może się zdarzyć, że jeden będzie miał więcej boków niż drugi), to jednak są złożone z części odpowiednio do siebie przystających.

Takie wielokąty, w odróżnieniu od wielokątów przystających, nazywać będziemy wielokątami równoważnymi.

Oczywiście możemy do jednego wielokąta dodać drugi, potem dodać trzeci itd. i w ten sposób otrzymać wielokąt równy sumie kilku danych wielokątów.

W ogóle możemy wprowadzić następujące określenie:

dwa wielokąty nazywamy wielokątami równoważnymi, jeżeli składają się z części odpowiednio do siebie przystających.

Jako znaku równoważności używać będziemy ~. Jeżeli więc pragniemy wyrazić, że wielokąty M i N są równoważne, pisać będziemy M ~ N.

Z tego, co było powiedziane, widzimy, że pojęcie równoważności jest szersze niż pojęcie przystawania. Zatem dwa trójkąty przystające są równoważne, ale odwrotnie powiedzieć nie możemy.

197. Można określić odejmowanie wielokątów, tj. ich różnicę.

Różnica wielokątów I i II (rys. 152) jest wielokątem, który po dodaniu do II daje wielokąt przystający do I.

Rys. 152

Rys. 152

Z odejmowaniem związane jest następujące pojęcie równoważności:

dwa wielokąty nazywamy równoważnymi metodą różnic, jeżeli są różnicami wielokątów równoważnych - w poprzednim sensie, tj. metodą sum, w szczególności jeżeli są różnicami wielokątów przystających jak wielokąty III i IV na rys. 152, które są różnicami wielokątów II i I. Oczywiście, wielokąty równoważne metodą sum, są równoważne metodą różnic*. Zrodzić się może pytanie, czy - na odwrót - wielokąty równoważne metodą różnic są równoważne metodą sum?

Otóż można udowodnić, że tak jest. Obie definicje są równoznaczne, to znaczy, że dwa wielokąty są równoważne jako sumy, wtedy i tylko wtedy, gdy są równoważne jako różnice. Dowód ten jednak przekracza ramy naszego wykładu, więc go pomijamy, poprzestając na potwierdzeniach równoznaczności obu definicji w poszczególnych przypadkach, które niebawem rozpatrzymy.

198. Wnioski.

1) nasuwa się przede wszystkim pytanie, jak rozpoznać, czy dane wielokąty są równoważne.

Z określenia równoważności, jako sumy, wynika odpowiedź: należy dane wielokąty rozłożyć na części składowe parami do siebie przystające.

Tak np. aby się przekonać, czy wielokąty I, II i III (rys. 153) są równoważne, wystarczy w trójkącie I poprowadzić wysokość, wtedy widzimy, że każda z trzech danych figur składa się z części 1 i 2 odpowiednio do siebie przystających (trójkąt I był trójkątem równoramiennym).

Rys. 153

Rys. 153

Oczywiście, nie zawsze wystarczać będzie poprowadzenie jednego odcinka dla podzielenia wielokąta na odpowiednie części, niekiedy wypadnie poprowadzić całą ich sieć, aby otrzymać części takie, które będą do siebie w obydwu danych wielokątach parami przystawały.

Wkrótce poznamy twierdzenia, które dają możność rozpoznawania równoważności niektórych specjalnych wielokątów.

Uwaga. Należy tu zauważyć, że mamy jeszcze inną drogę postępowania, którą wskazuje nam również określenie równoważności: np. potraktować dane wielokąty jako różnice dwóch wielokątów przystających*, to znaczy odnaleźć taki wielokąt, który po dodaniu do każdego z danych utworzy wielokąty przystające. W pewnych przypadkach będziemy i ten sposób stosować. Na ogół jednak będziemy stwierdzać równoważność figur przez dodawanie, czyli przez rozkład na części odpowiednio przystające.

2) Z poprzednich rozważań wynika:

dwa wielokąty są równoważne, jeżeli się składają z jednakowej liczby części odpowiednio równoważnych.

3) Dzieląc dany wielokąt M (rys. 154) odcinkami na części, możemy tworzyć z nich przez odpowiednie przegrupowania wielokąty, np. N i P, równoważne z M. Z łatwością przekonujemy się, że powstałe w ten sposób wielokąty są sobie równoważne.

Rys. 154

Rys. 154

Dla wykazania równoważności wielokątów M i N (rys. 154) wystarczy każdy z nich podzielić odcinkami na trzy części: (1) + (2), (3) i (4). Dla wykazania równoważności M i P wystarczy również podzielić każdy z nich na 3 części: (3) + (4), (1) i (2).

Jeżeli teraz chcemy sprawdzić równoważność N i P, należy każdy wielokąt podzielić na 4 części: (1), (2), (3) i (4), na które można było od razu podzielić wielokąt M.

Na rys. 155 podano trzy wielokąty M, N i P, które, jak łatwo wykazać, są równoważne.

Rys. 155

Rys. 155

Ogólnie możemy powiedzieć, że dwa wielokąty, z których każdy z osobna jest równoważny trzeciemu, są sobie równoważne*.

A więc, jeżeli

M ~ P

i M ~ N,

to N ~ P.

199. Pojęcie sumy pozwala na wprowadzenie pojęcia nierówności: jeżeli mamy dwa wielokąty M i N, takie że pierwszy z nich jest sumą wielokąta N i jeszcze pewnego innego wielokąta, to wielokąt M nazywamy wielokątem większym od N i piszemy:

M > N,

przeciwnie: wielokąt N będzie mniejszy i piszemy:

N < M.

Tu jednak może zrodzić się pewna wątpliwość. Chodzi mianowicie o to, że dla sprawdzenia równoważności dwóch figur dzielimy je na pewną skończoną liczbę takich części, które by do siebie parami przystawały. Innymi słowy, poprowadziwszy sieć odcinków w danym wielokącie, możemy przez odpowiednie pogrupowanie utworzyć wielokąt równoważny danemu. Czy nie można pomyśleć takiego pogrupowania, żeby odrzucając jedną z części, utworzyć figurę równoważną temu samemu wielokątowi?

Wątpliwość tę usuniemy, przyjmując za oczywistą następującą prawdę:

wielokąt nigdy nie może okazać się równoważny swojej części.

Ta prawda nosi nazwę postulatu de Zolta, matematyka włoskiego z końca XIX wieku.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach