Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Równoważność wielokątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
§ 33. Określenie wielokątów równoważnych. Zasadnicze własności związku równoważności. Postulat de Zolta
§ 34. Równoważność równoległoboków, trójkątów i trapezów
§ 35. Zadania konstrukcyjne
§ 36. Twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie
§ 37. Ćwiczenia
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 34. Równoważność równoległoboków, trójkątów i trapezów

200. Twierdzenie. Dwa równoległoboki o równych podstawach i wysokościach są równoważne.

Dla ułatwienia umieśćmy obydwa równoległoboki na wspólnej podstawie AB (rys. 156), ich przeciwległe boki będą leżały na prostej równoległej do podstawy.

Rys. 156

Rys. 156

Przez punkt E przecięcia się boków BD i AC' poprowadźmy w każdym równoległoboku równoległe do podstawy, a następnie z punktów przecięcia poprowadźmy w każdym z nich odcinki równoległe do odpowiednich boków drugiego równoległoboku. W ten sposób zgodnie z pewnikiem Archimedesa (patrz punkt 32) odcinkami BE i AE wyczerpiemy boki BD i AC', a więc siecią otrzymanych wielokątów wyczerpiemy obydwa równoległoboki.

Można z łatwością przekonać się, że dane równoległoboki składać się będą z jednakowej liczby części odpowiednio do siebie przystających, a zatem są równoważne (w naszym przykładzie z rys. 156 każdy równoległobok został podzielony na osiem części).

Inny dowód.

Niech dane równoległoboki mają podstawy na dwu prostych równoległych i niech tymi podstawami będą odcinki: AB = A'B' = CD = C'D' (rys. 157).

Zauważmy, że trapezy ACC' i BDD'B', są przystające ponieważ

AA' = BB' (= AB + BA' = BA' + A'B'),

i CC' = DD' z podobnej przyczyny,

AC = DB i A'C' = D'B',

Rozmiar: 50 bajtów CAB = Rozmiar: 50 bajtów DBA' ; Rozmiar: 50 bajtów AA'C' = Rozmiar: 50 bajtów BB'D'.

Jeżeli teraz od tych przystających trapezów odejmiemy trapez BDC'A', to otrzymamy figury równoważne, okazują się nimi dane równoległoboki

ABCD ~ A'B'C'D', cbdd.

Rys. 157

Rys. 157

Uwaga. Przytoczony tu drugi sposób rozumowania jest sprawdzeniem równoważności przez odejmowanie, poprzedni zaś przez dodawanie. Widzimy na tym przykładzie, że obie metody są równoznaczne (punkt 197).

Wniosek. Równoległobok jest równoważny prostokątowi o takiej samej podstawie i wysokości.

201. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli dwa równoważne równoległoboki mają równe podstawy, to i wysokości mają równe.

Dowód. Niech dane będą dwa równoległoboki: ABCD i ABFE (rys. 158) o wspólnej podstawie AB.

Rys. 158

.Rys. 158

Przypuśćmy, że ich wysokości nie są sobie równe, mianowicie pierwszy z nich ma wysokość większą. W takim razie, przedłużając bok EF, przetniemy AC i BD odpowiednio w punktach G i H, dlatego że punkty C i D będą leżały po przeciwnej stronie prostej EF niż punkty A i B. Otrzymamy równoległobok ABHG równoważny ABFE, ale równoległobok ABHG jest częścią ABDC, a zatem dwa dane równoległoboki nie mogłyby być sobie równoważne (zgodnie z postulatem de Zolta), a to przeczy założeniu.

Udowodniwszy powyższe twierdzenie, możemy powiedzieć, że będzie prawdziwe następujące twierdzenie:

dwa równoległoboki o równych podstawach, ale o wysokościach różnych, nie mogą być sobie równoważne.

202. Twierdzenie. Trójkąt jest równoważny równoległobokowi o takiej samej podstawie, a wysokości dwa razy mniejszej.

Rys. 159

Rys. 159

Istotnie: w trójkącie ABC (rys. 159) przez środek E wysokości poprowadźmy FG II AB, a następnie BG II AC. Trójkąty CFH i HBG są przystające, dlatego że mają CH = HB (dlaczego?) i po dwa kąty przyległe do tych boków, odpowiednio równe.

Widzimy wprost z rysunku, że trójkąt ACB jest sumą trapezu AFHB i trójkąta FCH, a równoległobok ABGF jest sumą trapezu AFHB i trójkąta HGB, a ponieważ trójkąty FCH i HGB są przystające, więc trójkąt ACB i równoległobok ABGF są równoważne, jako złożone z części odpowiednio do siebie przystających.

Uwaga. Łatwo przytoczyć dowód przez odejmowanie: jeżeli od figury ACHGB odejmiemy trójkąt HGB, otrzymamy ABC, jeżeli zaś od tej samej figury odejmiemy FCH, otrzymamy równoległobok AFGB, więc różnice będą równoważne.

W taki sam sposób można dowieść, że trójkąt jest równoważny równoległobokowi o takiej samej wysokości, a podstawie dwa razy mniejszej.

203. Wnioski. 1) Trójkąt jest równoważny prostokątowi o takiej samej podstawie, a wysokości dwa razy mniejszej.

2) Dwa trójkąty o równych podstawach i wysokościach są równoważne.

3) Dwa równoważne trójkąty o równej podstawie mają wysokości równe, dwa równoważne trójkąty o równej wysokości mają równe podstawy.

4) Miejscem geometrycznym wierzchołków trójkątów równoważnych o wspólnej podstawie jest prosta równoległa do podstawy, poprowadzona przez wierzchołek trójkąta.

204. Twierdzenie. Trapez jest równoważny równoległobokowi, który za wysokość ma wysokość trapezu, a za podstawę linię środkową trapezu.

Dany jest trapez ABCD (rys. 160), poprowadźmy w nim linię środkową EF, następnie GH II AD. Otrzymamy równoległobok ADGH, którego podstawa AH = EF, a wysokość jest równa wysokości trapezu.

Zauważmy naprzód, że trójkąty CGF i HFB są trójkątami przystającymi. Jeżeli teraz do figury ADCFH dodamy trójkąt HFB, otrzymamy trapez ABCD, jeżeli zaś dodamy trójkąt CGF, otrzymamy równoległobok AHGD. Ponieważ wspomniane trójkąty są przystające, więc otrzymane sumy (trapez i równoległobok) będą równoważne.

Uwaga. Dowód przez odejmowanie jest oczywisty.

Rys. 160 Rys. 161
Rys. 160 Rys. 161

205. Twierdzenie. Jeżeli przez dowolny punkt przekątnej równoległoboku poprowadzimy proste równoległe do jego boków, to otrzymamy dwa równoważne równoległoboki, położone z przeciwnych stron przekątnej.

Na przekątnej AC danego równoległoboku (rys. 161) obierzmy dowolny punkt M i poprowadźmy GH II AB i EF II AD, otrzymamy dwa równoległoboki MEBG i MFDH, które powinny być równoważne.

Istotnie: poprowadźmy GI¨FK¨AC, wtedy

równoległobok (MB) ~ równoległobok (MI)

równoległobok (MD) ~ równoległobok (MK).

Ale równoległoboki (MI) i (MK) mają wspólną podstawę AM, wysokości zaś równe: GL = FN (co wynika z przystawania trójkątów prostokątnych GCL i MNF), a więc są równoważne, a zatem równoważne są także równoległoboki (MB) i (MD), o co właśnie chodziło.

Inny dowód. Trójkąty ABC i ACD (rys. 162) są przystające: odejmując od jednego z nich trójkąty 1' i 2', odpowiednio przystające do 1 i 2, otrzymamy różnice równoważne, czyli 3 równoważne 3'.

Równoległoboki, o których mówiliśmy w twierdzeniu, noszą nazwę dopełniających.

206. Jeżeli punkt, przez który w poprzednim twierdzeniu prowadziliśmy równoległe do boków równoległoboku, nie jest położony na przekątnej, np. punkt P na rys. 163, to wtedy równoległoboki (PB) i (PD) nie będą równoważne, dlatego że pierwszy z nich będzie mniejszy od (MB), drugi zaś większy od (MD).

Rys. 162 Rys. 163
Rys. 162 Rys. 163

Uwaga. Jeżeli na rysunku 161 usuniemy równoległobok MGCF, to otrzymamy figurę sześciokątną ABGMFD, która od czasów Euklidesa nosi nazwę gnomonu i ostatnie twierdzenie nazywamy niekiedy twierdzeniem o gnomonie.

Ściślej mówiąc, gnomonem nazywano w starożytności przyrząd do wykreślania kąta prostego: kształt jego otrzymamy, biorąc na poprzednim rysunku zamiast równoległoboku ABCD prostokąt i usuwając część MGCF.

Rys. 164 Rys. 165
Rys. 164 Rys. 165

Jeżeli dany równoległobok jest prostokątem, to i dopełniające równoległoboki będą prostokątami (rys. 164). Można ponadto znaleźć takie położenie punktu M na przekątnej, że jeden z dopełniających równoległoboków będzie kwadratem. Jak tego dokonać?

207. Niech będzie dany prostokąt ABCD (rys. 165). Dobierzmy na jego przekątnej taki punkt M, aby otrzymać jako dopełniające równoległoboki: kwadrat AEMF i prostokąt MGCJ.

Poprowadźmy MK Rozmiar: 53 bajtów BD, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny KMD, w którym KF jest rzutem przyprostokątnej KM na przeciwprostokątną KD. Zauważmy, że trójkąty prostokątne EBM i KMF są przystające (dlaczego?), a więc

KF = EB = GM = CJ.

Z twierdzenia o gnomonie wiemy, że kwadrat AEMF jest równoważny prostokątowi MGCJ. Kwadrat ten ma bok równy MF, czyli równy wysokości trójkąta KMD, a prostokąt ma za podstawę MJ = FD, czyli rzut boku MD na KD, za wysokość zaś MG = EB = KF, czyli rzut boku KM na KD. Stąd mamy następujące twierdzenie:

w trójkącie prostokątnym kwadrat, zbudowany na wysokości spuszczonej z wierzchołka kąta prostego, jest równoważny prostokątowi zbudowanemu z odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.

Twierdzenie to znane jest pod nazwą twierdzenia Euklidesa o wysokości trójkąta prostokątnego.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4]  [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach