Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Równoważność wielokątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
§ 33. Określenie wielokątów równoważnych. Zasadnicze własności związku równoważności. Postulat de Zolta
§ 34. Równoważność równoległoboków, trójkątów i trapezów
§ 35. Zadania konstrukcyjne
§ 36. Twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie
§ 37. Ćwiczenia
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 35. Zadania konstrukcyjne

208. Twierdzenia, które poznaliśmy w poprzednim paragrafie, łącznie z twierdzeniem o gnomonie, mają częste zastosowania w zadaniach konstrukcyjnych, dotyczących zamiany figur oraz podziału ich na równoważne części.

Zamiana figury polega na wykreśleniu figury innego kształtu, ale równoważnej danej. Niektóre z tych zadań rozwiązuje się łatwo na mocy twierdzeń o równoważności równoległoboków i trójkątów, inne w oparciu o twierdzenie o gnomonie.

Zadanie 1. Dany równoległobok zamienić na inny równoważny mu o tej samej podstawie i wysokości oraz o danym kącie przy podstawie.

Rozwiązanie widoczne jest z twierdzenia punktu 200.

Zadanie 2. Równoległobok zamienić na równoważny mu prostokąt o takiej samej podstawie i wysokości.

Zadanie 3. Dany równoległobok zamienić na inny równoważny mu równoległobok, który za jeden z boków miałby dany odcinek, a kąty te same.

Rozwiązuje się łatwo przez zastosowanie gnomonu.

Rys. 166

Rys. 166

Dany jest równoległobok ABCD (rys. 166), niech danym odcinkiem będzie AE, wtedy żądanym równoległobokiem będzie AEFG. Konstrukcja gnomonu jest widoczna na rysunku.

W podobny sposób rozwiązuje się zadanie przypadku, kiedy podstawa żądanego równoległoboku jest większa niż podstawa danego równoległoboku.

Zadanie 4. Równoległobok zamienić na równoważny mu romb o tej samej podstawie i wysokości.

Zadanie 5. Równoległobok zamienić na równoważny mu romb o danym boku.

Zadanie 6. Równoległobok zamienić na równoważny mu prostokąt o danej podstawie.

Rozwiązuje się w oparciu o zadanie 3.

Zadanie 7. Kwadrat zamienić na równoważny mu równoległobok o boku równym danemu odcinkowi: a) większemu od boku kwadratu, b) mniejszemu od boku kwadratu.

Zadanie 8. Trójkąt zamienić na równoważny mu trójkąt równoramienny o tej samej podstawie.

Zadanie 9. Trójkąt zamienić na równoważny mu trójkąt o tej samej wysokości, ale który miałby:

a) dany kąt przy podstawie,

b) dany bok.

Zadanie 10. Trójkąt zamienić na równoważny mu równoległobok:

a) o tej samej wysokości i danym kącie przy podstawie,

b) o tej samej podstawie i kącie przy tej podstawie.

Zadanie 11. Trójkąt zamienić na równoważny mu inny trójkąt, który za podstawę miałby dany odcinek.

Rozróżniamy tu (na rysunku) dwa przypadki, kiedy dany odcinek jest: a) większy od podstawy trójkąta, b) mniejszy od niej.

Dany jest Rozmiar: 51 bajtów ABC (rys. 167), podstawą żądanego trójkąta ma być AB'. Jeżeli punkt B' połączymy z C, a przez B poprowadzimy prostą równoległą do B'C, to w przecięciu z AC otrzymamy punkt C'. Trójkąt AB'C' jest jednym z żądanych.

Rys. 167

Rys. 167

Istotnie: trójkąty BC'B' i BC'C są równoważne, dlatego że mają podstawę BC' wspólną i B'C II BC', więc jeżeli do ABC' dodamy jeden z trójkątów, otrzymamy trójkąt dany ABC, dodając drugi, otrzymamy AB'C', więc Rozmiar: 51 bajtów ABC jest równoważny AB'C', który będzie jednym z żądanych.

Zadanie będzie nieoznaczone dopóty, dopóki nie dano jeszcze jednego warunku, wyznaczającego trójkąt żądany. Miejscem geometrycznym wierzchołków tych trójkątów będzie równoległa do podstawy AB poprowadzona przez punkt C'.

Uwaga. Zadania można było rozwiązać przez zastosowanie gnomonu, uzupełniając dany trójkąt do równoległoboku.

Zadanie 12. Trójkąt zamienić na równoważny mu inny trójkąt, który za wysokość miałby dany odcinek.

Znowu na rysunku rozróżniono dwa przypadki: a) dany odcinek jest mniejszy od wysokości danego trójkąta, b) jest od niej większy.

Rys. 168

Rys. 168

Konstrukcja, jak w poprzednim zadaniu, widoczna jest na rysunku 168.

Tę samą uwagę należy zrobić i tu: zadanie jest nieoznaczone i żądanym trójkątem będzie każdy, który ma za podstawę AB', a wierzchołek na prostej równoległej do podstawy poprowadzonej przez C'.

Zadanie 13. Wielokąt zamienić na równoważny mu trójkąt.

1. Weźmy najpierw wielokąt wypukły ABCDE (rys. 169). Poprowadźmy przekątną CA, następnie przez wierzchołek B przeprowadźmy równoległą do tej przekątnej. Wówczas zamiast trójkąta ABC będziemy mieli równoważny mu trójkąt FCA.

.
Rys. 169 Rys. 170
Rys. 169 Rys. 170

Po dokonaniu analogicznej konstrukcji względem przekątnej CE otrzymamy trójkąt FCG równoważny danemu pięciokątowi.

2. Niech teraz dany będzie wielokąt wklęsły ABCDEF (rys. 170). Łącząc wierzchołek F z D, możemy dany sześciokąt przekształcić na równoważny mu pięciokąt ABCGF. Łączymy potem wierzchołek F z C i otrzymujemy równoważny mu czworokąt ABHF, a następnie trójkąt HFI.

Wniosek. Ponieważ trójkąt umiemy przekształcić na równoległobok o danej podstawie, więc mając dane dwa wielokąty M i N, możemy je przekształcić na równoległoboki o równej podstawie.

Wtedy musi zajść jeden z trzech następujących przypadków:

albo 1) wysokości równoległoboków będą sobie równe, więc równoległoboki będą sobie równoważne (patrz punkt 200), a co za tym idzie, będzie

M ~ N,

albo 2) wysokość pierwszego równoległoboku będzie większa niż drugiego, wtedy będzie (patrz punkt 201):

M > N,

albo 3) wysokość pierwszego równoległoboku będzie mniejsza niż drugiego, wtedy

M < N.

Ponieważ pomiędzy wysokościami omawianych równoległoboków jako odcinkami zajść może tylko jedna z trzech nawzajem wykluczających się zależności: są sobie równe albo jedna z nich jest większa od drugiej, albo jest mniejsza od drugiej, więc i między danymi wielokątami M i N zachodzić musi tylko jeden związek wyrażony przez jeden z trzech nawzajem wyłączających się znaków: ~, > i <.

Widzimy, że znak równoważności ~ między wielokątami odgrywa taką samą rolę jak znak równości między odcinkami. Niekiedy nawet używany bywa i dla równoważności figur znak =, pamiętać jednak należy, że taka równość figur nie jest jednoznaczna z ich przystawaniem (dla którego, w celu odróżnienia, używa się znaku Rozmiar: 59 bajtów lub Rozmiar: 55 bajtów).

Tak więc wielokąty, podobnie do odcinków, kątów i łuków, mogą być do siebie dodawane, odejmowane, dzielone na części, czyli wielokąty stanowią nowy rodzaj wielkości geometrycznych i działania na nich podlegać będą ogólnym prawom, rządzącym działaniami na liczbach, odcinkach, kątach i łukach.

Zadanie 14. Prostokąt zamienić na równoważny mu kwadrat.

.Rys. 171

Rys. 171

Zadanie możemy rozwiązać na mocy twierdzenia Euklidesa o wysokości trójkąta prostokątnego. Niech będzie dany prostokąt, którego podstawa jest równa a, wysokość b. Budujemy trójkąt prostokątny ABC (rys. 171), którego przeciwprostokątna jest równa a + b, a rzuty na nią przyprostokątnych są odpowiednio równe a i b. Wtedy, jak wiemy, kwadrat zbudowany na wysokości CD będzie równoważny prostokątowi o bokach a i b.

Wniosek. Ponieważ prostokąt możemy przekształcić na trójkąt i odwrotnie, a każdy wielokąt na trójkąt, widzimy, że potrafimy każdy wielokąt zamienić na równoważny mu kwadrat.

Zadanie 15. Trójkąt podzielić na równoważne części prostymi wychodzącymi z wierzchołka.

Trzeba podstawę podzielić na daną liczbę równych części i punkty podziału połączyć z wierzchołkiem danego trójkąta.

Zadanie 16. Trójkąt podzielić na dwie części równoważne prostą, przechodzącą przez dany punkt na boku trójkąta.

.Rys. 172

Rys. 172

Niech będzie dany trójkąt ABC (rys. 172), który trzeba podzielić na dwie części równoważne prostą, przechodzącą przez punkt D położony na boku AB. Podzielmy AB na połowy w punkcie E, wtedy CE dzieli dany trójkąt na dwie części równoważne, trójkąt ACE i trójkąt ECB. Będzie teraz chodzić o to, żeby zamiast trójkąta EBC o podstawie EB mieć równoważny trójkąt o podstawie DB. Wykonawszy konstrukcję jak w zadaniu 11, otrzymujemy żądany odcinek DF.

Uwaga. W podobny sposób dokonuje się podziału trójkąta na więcej części równoważnych.

Zadanie 17. Podzielić równoległobok na części równoważne prostymi równoległymi do jego boków.

Rozwiązuje się łatwo, dzieląc podstawę równoległoboku na równe części i prowadząc proste równoległe do boków.

Zadanie 18. Podzielić równoległobok na równoważne części prostymi wychodzącymi z jego wierzchołka.

Jeśli liczba części jest parzysta, to zadanie rozwiązuje się, dzieląc każdy z boków, nie zawierających danego wierzchołka, na połowę danej liczby i łącząc ten wierzchołek z punktami podziału.

Jeżeli liczba części jest nieparzysta, to dzielimy najpierw na podwójną liczbę części, a potem punkty podziału łączymy z wierzchołkiem co drugi.

Zadanie 19. Zbudować trójkąt równy sumie dwóch lub więcej danych trójkątów.

Budujemy najpierw trójkąty równoważne danym, ale mające wspólną wysokość, następnie wystawiamy trójkąt o tej samej wysokości, o podstawie zaś równej sumie podstaw otrzymanych poprzednio trójkątów.

Zadanie 20. Zbudować trójkąt dwa lub więcej razy większy od danego.

Rozwiązuje się na podstawie poprzedniego zadania.

Zadanie 21. Zbudować równoległobok dwa lub więcej razy większy od danego.

Zadanie 22. Zbudować kwadrat dwa razy większy od danego.

Można zestawić dwa równe kwadraty, otrzymamy prostokąt, który potem należy zamienić na równoważny kwadrat. Łatwiej można to zadanie rozwiązać, budując kwadrat na przekątnej danego kwadratu.

Uwaga. Jeżeli trzeba wykreślić kwadrat 3, 4... razy większy od danego, wykreślamy najpierw prostokąt 3, 4... razy większy od danego kwadratu, a potem zamieniamy go na kwadrat.



 [  1]  [  2]  [  3 [  4]  [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach