§ 36. Twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie

209. Twierdzenie (pomocnicze). Kwadrat, zbudowany na przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, jest równoważny prostokątowi, zbudowanemu z przeciwprostokątnej i rzutu na nią tej przyprostokątnej.

Rys. 173

Dany jest trójkąt prostokątny ABC (rys. 173). Na przyprostokątnej AC budujemy kwadrat AEFC. Rzutem boku AC na przeciwprostokątną jest AD, na tym odcinku budujemy prostokąt o wysokości AG = AB. Mamy dowieść, że figury AEFC i ADHG są równoważne.

Dowód. Połączmy punkty E z B i G z C, otrzymamy trójkąty AEB i ACG, które są przystające, bo

AE = AC,

AB = AG.

EAB = CAG.

Ale trójkąt AEB ma z kwadratem AEFC wspólną podstawę AE i wysokość równą wysokości kwadratu (FB II AE), stąd wnioskujemy, że trójkąt AEB jest równoważny połowie kwadratu AEFC:

AEB ~ ¹/₂ AEFC.

Dalej trójkąt AGC z prostokątem AGHD ma tak samo wspólną podstawę AG i wysokość GH, a zatem

§ ACG ~ ¹/₂ ADHG, a że trójkąty te były przystające, więc

AEB ~ ¹/₂ ADHG.

To samo można dowieść o kwadracie zbudowanym na przyprostokątnej CB i prostokącie zbudowanym z AB i DB.

210. Twierdzenie Pitagorasa. Kwadrat, zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jest równoważny sumie kwadratów zbudowanych na obu przeciwprostokątnych.

Na bokach danego trójkąta prostokątnego ABC (rys. 174) zbudujmy kwadraty K, K₁, K₂. Jeżeli z wierzchołka C kąta prostego poprowadzimy prostopadłą CF, to podzielimy kwadrat K na dwa prostokąty P₁ i P₂. Na mocy poprzedniego twierdzenia wiemy, że każdy z tych prostokątów jest równoważny kwadratowi, zbudowanemu na odpowiedniej przyprostokątnej, a mianowicie:

P₁ ~ K₁, P₂ ~ K₂,

a ponieważ P₁ + P₂ = K, więc K ~ K₁ + K₂, cbdd.

211. Uwaga 1. Przytoczone twierdzenie znane jest w geometrii pod nazwą twierdzenia Pitagorasa, znakomitego filozofa i matematyka starożytnej Grecji.

Pitagoras był rodem z wyspy Samos (580-500 przed Chr.), a około 540 r. zamieszkał w Krotonie, w starożytnej Italii, gdzie założył słynną szkołę, która rozsławiła jego imię.

Twierdzenie, które właśnie poznaliśmy, jest niewątpliwie odkryciem Pitagorasa, ale nieznany jest sposób dowodzenia samego odkrywcy. Dowód, który podaliśmy, łącznie z poprzednim twierdzeniem pomocniczym, spotykamy w Elementach Euklidesa.

Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 znany był już Egipcjanom i prawdopodobnie Pitagoras, opierając się na własności boków trójkąta "egipskiego" (3² + 4² = 5²), powziął myśl uogólnienia i doszedł do swego słynnego twierdzenia.

Twierdzenie Pitagorasa nabrało wielkiego i zasłużonego rozgłosu w świecie starożytnym i znane było między innymi pod nazwą Inventum hecatombae dignum, dlatego że, jak niesie podanie, Pitagoras przez wdzięczność za odkrycie miał złożyć muzom hekatombę (ofiarę ze stu wołów).

212. Uwaga 2. Jak bardzo twierdzenie Pitagorasa interesowało dawniej uczonych, świadczy fakt, że znanych jest z górą czterdzieści sposobów jego dowodzenia.

Podajemy tu jeden z dowodów, którego, przypuszczalnie, użył sam Pitagoras.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b i przeciwprostokątnej c (rys. 175). Zbudujmy kwadrat o boku a + b i na każdym z jego boków odmierzmy odcinki a i b, jak wskazuje rysunek pierwszy. Połączmy punkty podziału, otrzymamy cztery przystające trójkąty. Jeżeli teraz te trójkąty zgrupujemy parami, jak wskazuje rysunek drugi, i umieścimy je w tym samym kwadracie, to zobaczymy, że:

1) jeżeli od całego kwadratu (o boku a + b) odejmiemy cztery trójkąty, otrzymamy kwadrat o boku c;

2) jeżeli od tego samego całego kwadratu odejmiemy te same 4 trójkąty, ale zgrupowane po dwa, otrzymamy dwa kwadraty: jeden o boku a, drugi o boku b.

Stąd wniosek, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej c jest równoważny sumie kwadratów zbudowanych na bokach a i b.

Rys. 175

213. Łatwo się przekonać o prawdziwości następującego twierdzenia.

Jeżeli dany jest trójkąt ABC, o bokach AC i CB takich samych jak poprzednio, ale o kącie C ostrym, to oczywiście bok AB będzie mniejszy, a więc i kwadrat na nim zbudowany jest mniejszy od sumy kwadratów wystawionych na dwóch pozostałych bokach.

Rozumując tak samo, wnioskujemy, że kwadrat zbudowany na boku trójkąta, położonym naprzeciw kąta rozwartego, będzie większy od sumy zbudowanych kwadratów na dwóch pozostałych bokach.

214. Na podstawie powyższego rozumowania twierdzimy, że prawdziwe są następujące twierdzenia, z których pierwsze jest odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

1. Jeżeli kwadrat zbudowany na jednym z boków trójkąta jest równoważny sumie kwadratów zbudowanych na dwóch pozostałych bokach, to kąt przeciwległy pierwszemu bokowi jest prosty.

2. Jeżeli kwadrat zbudowany na jednym z boków trójkąta nie jest równoważny sumie kwadratów, zbudowanych na dwóch pozostałych bokach, to kąt przeciwległy pierwszemu bokowi nie jest prosty, a mianowicie: jest ostry, jeżeli pierwszy kwadrat jest mniejszy od sumy dwóch innych - jest rozwarty, jeżeli ten kwadrat jest większy od sumy dwóch innych kwadratów.

215. Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia dotyczącego dowolnego trójkąta. Zaczniemy od następującego twierdzenia pomocniczego (uogólnienia twierdzenia z punktu 209):

W każdym trójkącie prostokąt zbudowany z jednego boku i rzutu na niego drugiego boku, jest równoważny prostokątowi zbudowanemu z drugiego boku i rzutu na niego boku pierwszego.

W trójkącie ABC (rys. 176) poprowadźmy dwie wysokości CE i BD, rzutem boku AC na AB jest AE, rzutem zaś boku AB na AC jest AD. Zbudujmy prostokąty AEGF o bokach AF = AB i AE oraz ADIH o bokach AH = AC i AD.

Aby udowodnić, że te prostokąty są równoważne, rozumujemy jak w twierdzeniu poprzednim. Utwórzmy dwa przystające trójkąty ACF i AHB. Pierwszy z nich jest równoważny połowie prostokąta AEGF, drugi połowie prostokąta ADIH, a że te trójkąty są przystające, więc prostokąty AEGF i ADIH są równoważne.

Na rysunku 177 uwzględniono przypadek, kiedy Đ C jest rozwarty.

216. Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa.

Niech będzie dany trójkąt ABC o kącie ostrym C (rys. 178). Zbudujmy na jego bokach kwadraty i poprowadźmy wszystkie trzy wysokości, przedłużając je do przecięcia się z odpowiednimi bokami kwadratów. Wtedy każdy z tych kwadratów podzieli się na dwa prostokąty. Na mocy poprzednich twierdzeń mamy:

prostokąt 1 ~ prostokąt 1',

prostokąt 2 ~ prostokąt 2',

prostokąt 3 ~ prostokąt 3'.

Ale

kwadrat (AB) = prostokąt 1 + prostokąt 2,

kwadrat (AC) = prostokąt 1' + prostokąt 3,

kwadrat (CB) = prostokąt 2' + prostokąt 3'.

A więc

kwadrat (AB)~ kwadrat (AC) + kwadrat (CB) - 2 prostokąt 3.

Zatem, w trójkącie kwadrat zbudowany na boku przeciwległym kątowi ostremu jest równoważny sumie kwadratów, zbudowanych na dwu pozostałych bokach pomniejszonej o podwójny prostokąt zbudowany na jednym z tych dwóch boków oraz na rzucie na niego boku drugiego.

Niech teraz będzie dany trójkąt ABC o kącie rozwartym C (rys. 179). Zbudujmy znowu na jego bokach kwadraty i poprowadźmy w trójkącie wszystkie trzy wysokości CDAB, AE CB i BF AC. Na mocy poprzednich twierdzeń widzimy, że prostokąt AG ~ prostokąt AH, prostokąt BG ~ prostokąt BI, więc:

kwadrat (AB) ~ prostokąt AH + prostokąt BI.

Dalej,

prost. AH = kw. (AC) + prost. CH,

prost. BI = kw. (CB) + prost. CI,

zatem

kw. (AB) ~ kw. (AC) + kw. (CB) + prost. CH + prost. CI.

A ponieważ

prostokąt CH ~ prostokąt CI,

więc

kw. (AB) ~ kw. (AC) + kw. (CB) + 2 prost. CH,

czyli: w trójkącie kwadrat zbudowany na boku przeciwległym kątowi rozwartemu jest równoważny sumie kwadratów zbudowanych na dwóch pozostałych bokach powiększony o podwójny prostokąt zbudowany na jednym z tych dwu boków oraz na rzucie na niego boku drugiego.