Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni

§ 38. Prosta i płaszczyzna do siebie prostopadłe

217. Poznaliśmy już wcześniej (patrz § 3) zasadnicze własności płaszczyzny, przytoczymy je tu dla przypomnienia.

Przede wszystkim wiemy, że płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:

1^o trzy punkty nie leżące na jednej prostej, albo

2^o prosta i punkt poza nią leżący, albo

3^o dwie przecinające się proste, albo wreszcie

4^o dwie równoległe proste. Wynika to z określenia równoległości dwu prostych.

Wiemy dalej, że:

a) prosta, która ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną, leży całkowicie na tej płaszczyźnie;

b) jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć i drugi, czyli linią przecięcia się dwóch płaszczyzn jest linia prosta;

c) płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, czyli dwa obszary, to znaczy, że odcinek, łączący dwa punkty w przestrzeni, położone w różnych jej częściach, przecina płaszczyznę.

Zastanawiając się następnie nad położeniem dwóch prostych w przestrzeni, stwierdzamy, że albo one mają jeden punkt wspólny, albo nie mają żadnego.

W pierwszym przypadku proste przecinają się ze sobą i wyznaczają płaszczyznę, co jednak będzie w drugim przypadku?

Jeżeli dwie proste, nie mające żadnego punktu wspólnego, leżą na jednej płaszczyźnie, to są do siebie równoległe. Może się jednak zdarzyć tak, że mamy prostą AB (rys. 180) położoną na płaszczyźnie P i prostą CD, przecinającą(tj. mającą z płaszczyzną tylko jeden punkt wspólny) tę płaszczyznę w pewnym punkcie E nie leżącym na prostej AB.

Wtedy proste AB i CD nie mają punktu wspólnego i nie ma takiej płaszczyzny, która zawierałaby obie te proste.

Takie proste nazywamy skośnymi albo wichrowatymi.

218. Mając daną w przestrzeni prostą AB (rys. 181), możemy zawsze z pewnego jej punktu C wystawić prostopadłą. Należy wtedy przez tę prostą przesunąć jakąkolwiek płaszczyznę, np. P i wystawić prostopadłą CD, położoną na tej płaszczyźnie.

Ale, jak wiemy, przez daną prostą możemy przesunąć jeszcze inną płaszczyznę, np. Q, i znowu poprowadzić CE prostopadłą do AB. Możemy tych płaszczyzn poprowadzić przez AB nieskończoną ilość, a więc i prostopadłych do AB, wystawionych z punktu C, będzie w przestrzeni nieskończona ilość. Równocześnie prosta AB będzie wtedy prostopadła do nieskończonej ilości prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na tej prostej.

219. Twierdzenie. Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na niej to jest ona prostopadła do każdej prostej poprowadzonej przez ten punkt i położonej na płaszczyźnie wyznaczonej przez pierwsze dwie proste.

Rys. 182

Niech prosta AA' (rys. 182) będzie prostopadła do dwu prostych BC i BD wychodzących z punktu B. Przez te dwie proste przesuńmy płaszczyznę P i poprowadźmy na niej przez punkt B dowolną prostą BE. Należy dowieść, że AA' BE.

Przetnijmy trzy proste na płaszczyźnie: BD, BC i BE jakąkolwiek prostą w punktach: F, G i H. Odłóżmy następnie na prostej AA' dwa równe odcinki BK = BK' i połączmy każdy z punktów F, G i H z punktami K i K'. Wtedy będziemy mieli KF = K'F i KG = K'G, dlatego że każda z prostych BC i BG jest osią symetrii odcinka KK'.

Stąd wynika, że

KGF = K'GF, a więc

KGH = K'GH,

a zatem będzie:

KGH = K'GH,

a stąd:

KH = K'H,

stąd zaś wynikać będzie, że

KBH = K'BH, a więc

KBH = K'BH,

a że to są kąty przyległe, więc muszą być proste, czyli KK' BE albo równoważnie AA' BE, o co właśnie chodziło.

220. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli z punktu danej prostej są wystawione dwie prostopadłe do niej, to każda prosta prostopadła do danej prostej wystawiona z tego samego punktu leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez pierwsze dwie proste.

Dana jest prosta AA' (rys. 183), na niej punkt B, z którego wyprowadzono prostopadłe do niej: BC i BD. Te dwie proste wyznaczają płaszczyznę P.

Z punktu B wystawiono jeszcze trzecią prostą prostopadłą do AA', mianowicie BE. Mamy dowieść, że BE leży na płaszczyźnie P. Przypuśćmy, że tak nie jest i przez dwie przecinające się proste AA' i BE przesuńmy płaszczyznę Q, która niech przetnie płaszczyznę P (przeciąć musi, bo ma z nią punkt wspólny B) wzdłuż pewnej prostej, np. BF. Wtedy na mocy poprzedniego twierdzenia prosta AA' będzie prostopadła do prostej BF, leżącej na płaszczyźnie P, ale wtedy wypadałoby, że na tej samej płaszczyźnie Q z punktu B wystawiono dwie prostopadłe do AA', co jest niemożliwe.

A zatem prosta BE leży na płaszczyźnie P.

221. Wnioski.

1. Płaszczyznę, na której są położone wszystkie proste prostopadłe do danej prostej w pewnym jej punkcie, nazywamy płaszczyzną prostopadłą do prostej. Odwrotnie prostą, która jest prostopadła do dowolnej prostej, położonej na płaszczyźnie, poprowadzonej przez punkt przecięcia, nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny.

Na podstawie poprzednich dwóch twierdzeń możemy powiedzieć:

miejscem geometrycznym wszystkich prostych w przestrzeni prostopadłych do danej prostej w pewnym jej punkcie jest płaszczyzna prostopadła do tej prostej przez ten punkt poprowadzona.

2. Z tych twierdzeń widzimy również, że koniecznym i wystarczającym warunkiem prostopadłości danej prostej do płaszczyzny jest ten, aby była ona prostopadła do dwóch prostych położonych na tej płaszczyźnie i przechodzących przez ich punkt przecięcia.

3. Ponieważ każda z prostych BC, BD i BE (rys. 182) jest prostopadła do odcinka KK' i przechodzi przez jego środek B, więc

miejscem geometrycznym punktów w przestrzeni, jednakowo oddalonych od dwóch punktów danych, jest płaszczyzna prostopadła do odcinka, łączącego dane punkty i przechodząca przez jego środek.

Ta płaszczyzna nazywa się płaszczyzną symetrii danego odcinka.

222. Zadanie. Przez dany punkt poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do danej prostej.

Rys. 184

Rozróżniamy tu dwa możliwe przypadki:

1. Dany punkt C leży na prostej AB (rys. 184). Przez daną prostą przesuńmy dwie dowolne płaszczyzny i z punktu C wystawmy dwie prostopadłe do AB: CD i CE położone na tych płaszczyznach. Wtedy płaszczyzna, wyznaczona przed CD i CE, będzie płaszczyzną szukaną.

2. Dany punkt D leży poza prostą AB (rys. 184). Prosta AB i punkt D poza nią położony, wyznaczają płaszczyznę P. Poprowadźmy na niej DCAB. Następnie przez prostą AB przesuńmy dowolną płaszczyznę Q i poprowadźmy na niej CE AB, wtedy szukaną płaszczyzną jest płaszczyzna R wyznaczona przez CD i CE.

Wniosek. Przez dany punkt zawsze można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę prostopadłą do danej prostej.

223. Twierdzenie. Dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny, są do siebie równoległe.

Rys. 185

Zakładamy, że AB P i CD P (rys. 185). Punkty przecięcia tych prostych z płaszczyzną P połączmy odcinkiem EF i przez F poprowadźmy na tej płaszczyźnie prostą GH  EF.

Odłóżmy następnie odcinki FK = FL i końce ich połączmy z punktem E oraz z dowolnym punktem I na prostej AB.

Wtedy EK = EL, następnie wobec przystawania trójkątów prostokątnych IEK i IEL mamy IK = IL. Zatem trójkąty IKF i ILF są przystające, jako mające po trzy boki odpowiednio równe. Stąd IFK = IFL, a więc GH IF.

I cóż widzimy? Proste: FE, FI i FC są prostopadłe do GH, a więc te trzy proste leżą na jednej płaszczyźnie prostopadłej w punkcie F do GH (patrz punkt 220), ale na tej samej płaszczyźnie leży także prosta AB, bo ma z nią dwa punkty wspólne. Stąd wynika, że proste AB i CD leżą na jednej płaszczyźnie, a ponieważ obie są prostopadłe do EF, więc są do siebie równoległe.

224. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli jedna z dwóch równoległych prostych jest prostopadła do płaszczyzny, to i druga jest do niej prostopadła.

Dowód polega na sprowadzeniu do sprzeczności.

225. Twierdzenie. Dwie proste w przestrzeni równoległe do trzeciej są do siebie równoległe.

Dane są trzy proste w przestrzeni (rys. 186). Zakładamy, że AB II EF i CD II EF, mamy dowieść, że AB II CD.

Przez dowolny punkt E' prostej EF poprowadźmy płaszczyznę P EF. Wtedy będą również do tej płaszczyzny prostopadłe proste AB i CD, a stąd już AB II CD (patrz punkt 223).

226. Zadanie. Przez dany punkt poprowadzić prostą prostopadłą do danej płaszczyzny.

1. Dany punkt A leży na płaszczyźnie P (rys. 187).

Poprowadźmy przez ten punkt na płaszczyźnie P dowolną prostą AB, następnie przez punkt A poprowadźmy płaszczyznę Q prostopadłą do AB (patrz punkt 222). Przetnie się ona z płaszczyzną P (dlaczego?) wzdłuż pewnej prostej EF. Jeżeli teraz na płaszczyźnie Q przez punkt A poprowadzimy CD EF, to prosta CD będzie szukaną prostą (dlaczego?).

Wniosek. Z danego punktu na płaszczyźnie można wystawić tylko jedną prostą prostopadłą do tej płaszczyzny.

Rys. 188

Gdyby bowiem oprócz AC można było wystawić AC' P (rys. 188), to te dwie proste wyznaczyłyby płaszczyznę, która przecinałaby się z P wzdłuż pewnej prostej AB i byłoby wtedy AC AB i AC' AB, co jest niemożliwe.

2. Dany punkt A leży poza płaszczyzną P (rys. 189).

Na płaszczyźnie P wyobraźmy sobie dowolną prostą BC i przez punkt A przesuńmy płaszczyznę Q prostopadłą do tej prostej (punkt 222) w punkcie F. Niech DE będzie linią przecięcia płaszczyzn Q i P.

Jeżeli teraz na płaszczyźnie Q z punktu A poprowadzimy AG ^ DE, to prosta AD będzie szukaną prostą.

Istotnie, poprowadźmy na płaszczyźnie Q prostą FK¨AG. Będziemy mieli wtedy FK DE, a że oprócz tego będzie FK BC, więc FK ^ P, a zatem i AG P.

Wniosek. Z danego punktu można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do danej płaszczyzny.

Gdyby bowiem oprócz AE (rys. 190) można było wyprowadzić jeszcze AE' P, to przesuwając przez AE i AE' płaszczyznę, otrzymalibyśmy w przecięciu z P prostą EE' i byłoby na tej płaszczyźnie AE EE' i AE' EE', co jest niemożliwe.

227. Określenia. Rzutem punktu na płaszczyznę nazywamy spodek prostopadłej, opuszczonej z danego punktu na płaszczyznę, np. rzutem punktu A na płaszczyznę P będzie punkt B (rys. 191), w którym prostopadła przecina się z tą płaszczyzną.

Jeżeli ze wszystkich punktów danej linii lub figury poprowadzimy prostopadłe do danej płaszczyzny, to zbiór spodków tych prostopadłych, czyli miejsce geometryczne rzutów wszystkich punktów linii lub figury, nazywamy rzutem tej linii lub figury na płaszczyznę.

Aby otrzymać rzut prostej AB (rys. 192) na płaszczyznę P, powinniśmy znaleźć rzut każdego jej punktu, łatwo jednak zrozumieć na podstawie poprzednich twierdzeń (patrz punkt 223), że wszystkie prostopadłe, wyprowadzone z punktów danej prostej do płaszczyzny będą leżały w jednej płaszczyźnie i rzut prostej AB otrzymamy, łącząc rzuty A' i B' dwóch punktów tej prostej.

Jeżeli dana prosta jest prostopadła do płaszczyzny rzutów, to jej rzutem będzie punkt. Jeżeli prosta przecina płaszczyznę rzutów, to dla wykreślenia jej rzutu wystarczy znaleźć rzut jednego jej punktu poza punktem przecięcia z płaszczyzną.

228. Niech będzie dana płaszczyzna P (rys. 193) i punkt A. Poprowadźmy AB P i odcinek, łączący jakikolwiek punkt C płaszczyzny z punktem A, tj. pochyłą AC, której rzutem będzie odcinek BC, oraz pochyłą AD, której rzutem będzie BD.

Możemy z łatwością udowodnić, że:

1. Prostopadła jest krótsza od wszelkiej pochyłej wyprowadzonej z tego samego punktu i odwrotnie, najkrótszy odcinek łączący dany punkt z płaszczyzną jest odcinkiem prostopadłej.

2. Dwie pochyłe są równe, jeżeli ich rzuty są równe, i odwrotnie z równości rzutów wnosimy o równości pochyłych.

3. Z dwóch pochyłych ta jest większa, która ma rzut większy, i odwrotnie, jeśli rzut jest większy, to większa jest pochyła.

Widzimy zatem, że najmniejszą odległością punktu od płaszczyzny jest odcinek prostopadłej poprowadzonej z tego punktu do płaszczyzny. Tym właśnie odcinkiem mierzy się odległość punktu od płaszczyzny.

229. Powracając do twierdzenia z punktu 223, widzimy na rys. 185 poprowadzoną z punktu I prostopadłą IE do płaszczyzny P oraz pochyłą IF, której rzutem na płaszczyznę P jest odcinek EF. Dowiedliśmy wtedy, że jeżeli GH EF, to również jest GH IF, co możemy obecnie wypowiedzieć w sposób następujący:

Prosta położona na płaszczyźnie i prostopadła do rzutu pochyłej jest prostopadła do tej pochyłej.

Tę własność nazywamy twierdzeniem o trzech prostopadłych.

230. Niech będzie jeszcze dana płaszczyzna P (rys. 194), z punktu A wyprowadzono do niej prostopadłą AB oraz pochyłą AC. Rzutem AC na płaszczyznę P jest BC.

Kąt ostry, który pochyła tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, nazywamy kątem nachylenia tej prostej do płaszczyzny. Np. kątem nachylenia prostej AC do płaszczyzny P (rys. 194) jest kąt ACB. O kącie tym możemy dowieść, że jest najmniejszy z kątów, jakie dana prosta tworzy z prostymi, poprowadzonymi na płaszczyźnie przez jej spodek.

Istotnie, poprowadźmy na płaszczyźnie P przez punkt C dowolną prostą, odłóżmy na niej CD = CB i połączmy punkty D i A. Wtedy otrzymamy dwa trójkąty ABC i ADC, które mają bok wspólny AC, BC = DC, ale w których AB < AD, będzie zatem ACB < ACD, o co właśnie chodziło.