§ 40. Płaszczyzny do siebie równoległe

235. Określenie. Dwie płaszczyzny, które nie mają żadnego punktu wspólnego, nazywamy równoległymi.

O istnieniu takich płaszczyzn oraz o sposobie ich wykreślania mówi następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Dwie płaszczyzny, prostopadłe do tej samej prostej, są do siebie równoległe.

Rys. 197

Przez punkt A (rys. 197) danej prostej poprowadźmy płaszczyznę P do niej prostopadłą, również przez punkt B - płaszczyznę Q.

Gdyby te płaszczyzny miały punkt wspólny, to z tego punktu można by było poprowadzić dwie płaszczyzny prostopadłe do tej samej prostej, co jest niemożliwe (patrz punkt 222), a więc P II Q.

Wniosek. Przez dany punkt można poprowadzić płaszczyznę równoległą do danej płaszczyzny, i to tylko jedną.

Wynika to wprost z twierdzenia.

236. Twierdzenie. Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny są przecięte jakąkolwiek trzecią, to linie przecięcia tych płaszczyzn są do siebie równoległe.

Rys. 198

Dane są dwie równoległe płaszczyzny P i Q (rys. 198), przecięte płaszczyzną R. Mamy dowieść, że proste przecięcia AB i CD są do siebie równoległe.

Zauważmy najpierw, że proste AB i CD nie mają punktu wspólnego, bo gdyby miały, to z tego wynikałoby, że płaszczyzny P i Q, na których te proste są położone, mają punkt wspólny, co jest niemożliwe. Jeżeli proste AB i CD nie mają punktu wspólnego, to jeszcze nie wynika stąd, żeby miały być równoległe: może są skośne? Ale leżą one na jednej płaszczyźnie R, więc to przypuszczenie jest niemożliwe. Jest zatem AB¨CD.

237. Twierdzenie. Prosta, która jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych płaszczyzn, jest prostopadła i do drugiej.

Rys. 199

Dane są dwie równoległe płaszczyzny P i Q (rys. 199). Z dowolnego punktu A pierwszej z nich wykreślamy AB Q (patrz punkt 226). Skoro AB Q, to AB jest prostopadła do prostych BC i BD, poprowadzonych na płaszczyźnie Q przez punkt B. Jeżeli teraz przez proste AB i BC oraz AB i BD poprowadzimy płaszczyzny, to ich linie przecięcia AC' i AD' z płaszczyzną P będą równoległe odpowiednio do BC i BD, a więc będzie AB AC' i AB AD', a więc AB P.

238. Twierdzenie. Jeżeli dwie równoległe proste są przecięte dwiema płaszczyznami równoległymi, to odcinki zawarte między tymi płaszczyznami są sobie równe.

Rys. 200

Dwie równoległe proste AB i CD (rys. 200) przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami P i Q. Mamy dowieść, że AB = CD.

Jeżeli przez dwie równoległe proste przesuniemy płaszczyznę, to dalsze rozumowanie jest już oczywiste.

Wnioski. 1) Jeżeli z dowolnych punktów płaszczyzny P poprowadzimy prostopadłe do płaszczyzny Q, to odcinki tych prostopadłych będą sobie równe i każdy z nich nazywamy odległością dwóch płaszczyzn równoległych.

A więc:

dwie płaszczyzny równoległe znajdują się wszędzie w jednakowej od siebie odległości.

2) Miejscem geometrycznym punktów jednakowo odległych od danej płaszczyzny, jest płaszczyzna równoległa do danej.

239. Twierdzenie. Dwa kąty w przestrzeni o ramionach odpowiednio równoległych i zwrotach zgodnych są sobie równe, a płaszczyzny ich są do siebie równoległe.

Rys. 201

Dane są dwa kąty: ABC i A'B'C' (rys. 201), dla których BA¨B'A' i BC¨B'C'.

1. Na ramionach kąta ABC odłóżmy dowolne odcinki BD i BE, a na ramionach kąta A'B'C' równe im odcinki B'D' i B'E'; poprowadźmy odcinki BB', DD' i EE'. Zauważmy, że czworokąt BDD'B' jest równoległobokiem, ma bowiem boki BD i B'D' równe i równoległe. Z tej samej przyczyny BB' i EE' są równe i równoległe, a więc znowu czworokąt EDD'E' jest równoległobokiem, a stąd ED = E'D'.

Otrzymaliśmy dwa trójkąty BDE i B'D'E', które mają po trzy boki odpowiednio równe, a zatem ABC = A'B'C'.

2. Fakt, że płaszczyzny danych kątów są do siebie równoległe, wynika stąd, że proste BA i BC są równoległe do płaszczyzny kąta B', jako równoległe do odpowiednich prostych B'A' i B'C'. Gdyby więc płaszczyzny kątów B i B' przecinały się ze sobą, to ich linia przecięcia musiałaby być równoległa do BA i do BC (patrz punkt 232), co jest niemożliwe.

240. Jeżeli mamy dane dwie nieprzecinające się proste, to możemy wziąć dowolny punkt i poprowadzić dwie proste odpowiednio równoległe do danych i za kąt między danymi prostymi uznajemy kąt między tymi równoległymi. A więc, kątem między dwiema prostymi skośnymi nazywa się kąt, który tworzą z sobą równoległe do tych prostych wyprowadzone z dowolnego punktu.

241. Zadanie. Wykreślić odcinek prostopadły do dwóch prostych skośnych.

Rys. 202

Dane są dwie proste skośne AB i CD (rys. 202). Przez dowolny punkt K prostej CD poprowadźmy A'B' II AB i przez dwie przecinające się proste CD i A'B' przesuńmy płaszczyznę P.

Jeżeli teraz z dowolnego punktu E prostej AB poprowadzimy EF P, a przez punkt F na tej płaszczyźnie równoległą do A'B', która przetnie CD w punkcie G, to odcinek GH równoległy do EF będzie żądanym odcinkiem.

Istotnie, odcinek HG jako prostopadły do płaszczyzny P jest prostopadły do prostej CD położonej na tej płaszczyźnie. Z drugiej strony odcinek GH = FE jest prostopadły również do AB, a więc jest prostopadły do obu danych prostych.

Wniosek. Jeżeli dowolny punkt jednej z danych prostych, np. I na CD, połączymy z punktem H, to łatwo się przekonać, że będzie on większy od GH, co znaczy, że odcinek prostopadły do prostych skośnych jest najkrótszym z odcinków łączących punkty tych prostych.

Odcinek ten uważa się za odległość dwóch prostych skośnych.