§ 41. Płaszczyzny do siebie prostopadłe

242. Określenia. Jeżeli przez prostą AB (rys. 203) poprowadzimy dwie półpłaszczyzny P i Q, to utworzy się figura, którą nazywamy kątem dwuściennym albo krócej - dwuścianem.

Półpłaszczyzny, tworzące kąt dwuścienny nazywamy jego ścianami, a prostą, wzdłuż której one się przecinają, nazywamy krawędzią. Kąt dwuścienny można oznaczać albo czterema literami, np. PABQ, tak aby nazwa krawędzi przypadała pośrodku, albo symbolem (AB), który oznacza kąt dwuścienny o krawędzi AB, albo wreszcie symbolem (P, Q), który oznacza kąt między płaszczyznami P i Q.

Jeżeli z dowolnego punktu K krawędzi wystawimy dwie prostopadłe do niej, KI położoną na płaszczyźnie P i drugą KL na płaszczyźnie Q, to otrzymamy kąt IKL, który nazywamy kątem liniowym danego dwuścianu.

Punkt K, z którego wystawiliśmy prostopadle KI i KL, może być dowolnie obrany na krawędzi i wielkość kąta liniowego nie zależy od położenia punktu K (patrz punkt 239). Inaczej mówiąc, jeżeli kąt dwuścienny jest dany, to odpowiadający mu kąt liniowy jest jednoznacznie wyznaczony.

Łatwo zauważyć, że danemu kątowi liniowemu odpowiada jeden jednoznacznie wyznaczony kąt dwuścienny.

Kąty dwuścienne nazywać będziemy równymi, jeżeli odpowiadające im kąty liniowe są równe. Większym z dwóch kątów dwuściennych nazywamy ten, któremu odpowiada większy kąt liniowy. Kąt dwuścienny nazywamy prostym, jeżeli mu odpowiada kąt liniowy prosty.

Dwie płaszczyzny, które tworzą ze sobą kąt prosty, nazywamy prostopadłymi.

243. Twierdzenie. Dowolna płaszczyzna przesunięta przez prostą prostopadłą do danej płaszczyzny jest prostopadła do tej płaszczyzny.

Dana jest płaszczyzna P i punkt A poza nią (rys. 204). Z tego punktu spuśćmy AB P i przez prostą AB poprowadźmy jakąkolwiek płaszczyznę Q, która przetnie płaszczyznę P wzdłuż prostej CD.

Płaszczyzny P i Q tworzą kąt dwuścienny PCDQ, którego krawędzią jest CD. Jeżeli teraz na płaszczyźnie P poprowadzimy BE CD, to otrzymamy kąt ABE, który będzie kątem liniowym dwuścianu PCDQ. Ponieważ prosta AB jest prostopadła do BE (wobec AB P), więc kąt ABE jest prosty, a zatem i kąt dwuścienny PCDQ jest prosty, czyli P Q.

244. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi jest prostopadła do drugiej.

Dane są dwie płaszczyzny: P i Q prostopadłe do siebie (rys. 205). Z dowolnego punktu D krawędzi AB wystawmy dwie prostopadłe do AB, mianowicie DC położoną na płaszczyźnie Q i DE na płaszczyźnie P.

Z założenia wynika, że kąt dwuścienny PABQ jest prosty, a że kąt CDE jest jego kątem liniowym, więc i kąt CDE jest prosty, czyli CD DE. Ale z konstrukcji mamy, że CD AB, więc CD P.

245. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta wyprowadzona z punktu położonego na jednej z nich i prostopadła do drugiej leży całkowicie na pierwszej płaszczyźnie.

Rys. 206

Dane są dwie prostopadłe do siebie płaszczyzny P i Q (rys. 206). Na płaszczyźnie Q dany jest punkt A, z którego poprowadzono prostą prostopadłą do P. Mamy dowieść, że ta prosta leży na płaszczyźnie Q.

Przypuśćmy, że tak nie jest, tj. że prosta AB prostopadła do P nie leży na Q. Z punktu A poprowadźmy AC DE. Musiałoby być wtedy AC P, a zatem z punktu A byłyby wyprowadzone dwie proste AB i AC prostopadłe do płaszczyzny P, co jest niemożliwe.

246. Twierdzenie. Jeżeli dwie przecinające się płaszczyzny są prostopadłe do trzeciej, to ich linia przecięcia jest również prostopadła do tej płaszczyzny.

Zakładamy, że P ^ R i Q R. Mamy dowieść, że AB R (rys. 207).

Obierzmy na AB dowolny punkt i wyprowadźmy z niego prostopadłą do płaszczyzny R. Ta prostopadła będzie leżała na płaszczyźnie P, bo punkt, z którego została poprowadzona, leży na płaszczyźnie P. Z takiej samej przyczyny ta prostopadła będzie jednocześnie leżała na płaszczyźnie Q, a że prostopadła może być tylko jedna, więc będzie nią krawędź AB.