Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
§ 38. Prosta i płaszczyzna do siebie prostopadłe
§ 39. Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe
§ 40. Płaszczyzny do siebie równoległe
§ 41. Płaszczyzny do siebie prostopadłe
§ 42. Pojęcie rzutu środkowego i równoległego ukośnego. Twierdzenie Desarguesa
§ 43. Ćwiczenia
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 42. Pojęcie rzutu środkowego i równoległego ukośnego. Twierdzenie Desarguesa

247. Określenia. Spodek prostopadłej spuszczonej z danego punktu na płaszczyznę nazywaliśmy rzutem tego punktu na płaszczyznę. Tak samo znajdowaliśmy rzut odcinka na płaszczyznę jako miejsce geometryczne rzutów wszystkich jego punktów, łącząc odcinkiem rzuty obu końców odcinka danego. Taki rzut punktu lub odcinka nazywamy rzutem prostokątnym dla odróżnienia od rzutów, które można otrzymywać inną drogą.

Rys. 208

Rys. 208

Jeżeli wyobrazimy sobie pewien stały punkt S (rys. 208) i płaszczyznę P, to z tego punktu można wyprowadzić dowolną liczbę prostych, przecinających daną płaszczyznę.

Punkt S nazywać będziemy środkiem rzutów, płaszczyznę P - płaszczyzną rzutów albo płaszczyzną obrazu, a proste, wychodzące ze środka promieniami rzutującymi.

Promień SA przechodzący przez dany punkt A przecina płaszczyznę P w punkcie A1, który jest rzutem punktu A na tę płaszczyznę. W szczególnym przypadku, jeżeli dany punkt leży na promieniu prostopadłym do płaszczyzny, to jego rzut będzie rzutem prostokątnym danego punktu.

Rzuty punktów w ten sposób otrzymywane nazywają się rzutami środkowymi.

Rys. 209

Rys. 209

248. Niech będzie dany odcinek AB (rys. 209). Aby otrzymać jego rzut, wystarczy poprowadzić dwa promienie rzutujące jego końców i połączyć na płaszczyźnie P rzuty A1 i B1, otrzymujemy odcinek A1B1, który będzie rzutem odcinka AB.

Jeżeli płaszczyzna, na której leży odcinek AB, jest równoległa do płaszczyzny P, to rzut A1B1 jest równoległy do odcinka AB (dlaczego?). Rzuty dwóch odcinków równoległych położonych na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutów są do siebie równoległe, np. jeżeli AB II CD, to A1B1 II C1D1.

249. Niech teraz będzie dany trójkąt ABC (rys. 210) położony na płaszczyźnie Q równoległej do P. Znajdźmy jego rzut względem środka S.

W tym celu wyznaczmy rzuty A1, B1 i C1wierzchołków trójkąta ABC. Żądanym rzutem będzie trójkąt A1B1C1, którego boki będą odpowiednio równoległe do boków trójkąta danego.

Rys. 210

Rys. 210

Stąd wynika następujące twierdzenie:

Jeżeli dane są w przestrzeni takie dwa trójkąty: ABC i A1B1C1, których wierzchołki leżą parami na trzech prostych przecinających się w jednym punkcie S i dwa boki tych trojkątów są odpowiednio równoległe, A1B1¨AB i B1C1¨BC, to i trzecie boki AC i A1C1 są do siebie równoległe.

Twierdzenie staje się oczywiste, jeżeli przypomnimy, że płaszczyzny P i Q są równoległe i przecięte są płaszczyznami SA1B1, SB1C1, wreszcie SA1C1.

Odwrotnie:

Jeżeli dwa trójkąty ABC i A1B1C1 (rys. 210) tak są położone w przestrzeni, że boki ich są odpowiednio równoległe, AB II A1B1, BC II B1C1 i AC II A1C1, to wszystkie trzy proste, które łączą parami ich odpowiednie wierzchołki: AA1, BB1, CC1, przecinają się w jednym punkcie S.

Istotnie, przez każdą parę równoległych: AB i A1B1, BC i B1C1 oraz AC i A1C1 przesuńmy płaszczyznę; pierwsza płaszczyzna z drugą przecina się wzdłuż prostej BB1, druga z trzecią wzdłuż CC1, a trzecia z pierwszą wzdłuż AA1(dlaczego?). Proste BB1 i CC1 niech się przecinają ze sobą w punkcie S, punkt ten będzie wspólny dla wszystkich trzech płaszczyzn, a ponieważ prosta AA1 jest linią przecięcia płaszczyzn trzeciej i pierwszej, więc musi przechodzić również przez punkt S.

Otrzymane twierdzenie oraz do niego odwrotne znane jest pod nazwą twierdzenia Desarguesa, znakomitego matematyka francuskiego z XVII w.

250. Określenia. Jeżeli środek rzutów oddala się w nieskończoność, to promienie rzutujące można uważać za równoległe do siebie i otrzymujemy w ten sposób rzut równoległy ukośny, którego szczególnym przypadkiem jest rzut prostokątny (kiedy promienie rzutujące są prostopadłe do płaszczyzny rzutów).

Rys. 211

Rys. 211

Niech będzie dany odcinek AB i płaszczyzna rzutów P (rys. 211). Jeżeli przez końce A i B poprowadzimy w danym kierunku promienie rzutujące, to ich punkty przecięcia z płaszczyzną P będą rzutami punktów A i B, a odcinek A1B1 rzutem ukośnym odcinka AB.

Oczywiście, jeżeli dany odcinek jest równoległy do płaszczyzny rzutów, to jego rzut jest mu równy. Rzuty dwóch równoległych odcinków będą do siebie równoległe.

Rys. 212

Rys. 212

251. Niech będzie dany trójkąt ABC (rys. 212), którego płaszczyzna Q jest równoległa do płaszczyzny rzutów P. Łatwo zauważyć, że jego rzutem ukośnym będzie trójkąt A1B1C1, przystający do danego trójkąta i o bokach odpowiednio równoległych do boków danego.

Stąd wysnuwamy następujące twierdzenie, stanowiące szczególny przypadek twierdzenia Desarguesa:

Jeżeli dane są w przestrzeni dwa trójkąty do siebie przystające o bokach odpowiednio równoległych, to proste, które łączą parami odpowiednie wierzchołki tych trójkątów, są do siebie równoległe.

Istotnie, jeżeli P II Q (rys. 212) i Rozmiar: 51 bajtów ABC = Rozmiar: 51 bajtów A1B1C1, to AB = A1B1 i AB II A1B1, a więc AA1 II BB1, tak samo będzie BB1 II CC1.

Uwaga. Twierdzenie powyższe ma zastosowanie również do trójkątów położonych na jednej płaszczyźnie.

Rys. 213

Rys. 213

252. Niech będą dane na płaszczyźnie P dwa trójkąty ABC i A1B1C1 (rys. 213), w których mają AB II A1B1, BC II B1C1 i AC II A1C1. Wykażemy, że proste AA1, BB1 i CC1 przecinać się będą w jednym punkcie.

Istotnie, znajdźmy rzut ukośny trojkąta A1B1C1 na dowolną płaszczyznę równoległą do płaszczyzny P. Otrzymamy trójkąt DEF o bokach równoległych do boków trójkąta A1B1C1, a zatem i do boków trójkąta ABC. W ten sposób otrzymujemy w przestrzeni dwa trójkąty ABC i DEF, o których już wiemy, że proste AD, BE i CF, łączące ich odpowiednie wierzchołki przecinać się będą w jednym punkcie. Niech będzie nim punkt S.

Jeżeli teraz weźmiemy rzut ukośny S1 punktu S na płaszczyznę P o kierunku SS1 II AD II BE II CF, to w tym właśnie punkcie S1 przetną się proste AA1, BB1 i CC1. Wynikać to będzie stąd, że punkt S1, jako rzut punktu S, położonego na SDA, SEB i SFC, musi leżeć jednocześnie na rzutach tych trzech odcinków, inaczej mówiąc, będzie punktem wspólnym dla rzutów AA1S1, BB1S1 i CC1S1.

W podobny sposób możemy dowieść twierdzenia odwrotnego.

Mamy mianowicie na płaszczyźnie P dwa trójkąty: ABC i A1B1C1, które mają dwa boki odpowiednio równoległe, AB II A1B1 i BC II B1C1, i oprócz tego wiadomo, że trzy proste, łączące parami ich odpowiednie wierzchołki: AA1, BB1 i CC1 przecinają się w jednym punkcie S1. Należy dowieść, że trzecie boki tych trójkątów AC i A1C1 są do siebie równoległe.

Znajdźmy znowu rzut ukośny trójkąta A1B1C1 na dowolną płaszczyznę równoległą do P, otrzymamy Rozmiar: 51 bajtów DEF o bokach równoległych do boków Rozmiar: 51 bajtów A1B1C1. Przez punkt S1 poprowadźmy równoległą do promienia rzutującego A1D. Niech przetnie ona prostą AD jako położoną w tej samej płaszczyźnie SAS1 w pewnym punkcie S, wtedy S1 będzie rzutem punktu S na płaszczyznę P.

Ponieważ B1E II A1D II C1F, więc promień rzutujący SS1 musi przeciąć również proste BE i CF, a że punkt S1 jest tym samym rzutem dla wspomnianych punktów przecięcia, więc trzy proste AD, BE i EF przecinać się muszą w jednym punkcie S. W takim razie trójkąty ABC i DEF, które miały po dwa boki odpowiednio równoległe, muszą mieć i trzecie boki rownoległe, tj. AC II DF, a więc także AC II A1C1, cbdd.

Widzimy zatem, że twierdzenie Desarguesa ma zastosowanie do dwóch trójkątów położonych zarówno na jednej płaszczyźnie, jak i na dwóch równoległych płaszczyznach. W ogólnej swej postaci dotyczy ono nawet trójkątów położonych na dwóch przecinających się płaszczyznach, tym jednak uogólnieniem zajmować się nie będziemy.

253. Rzut ukośny równoległy najczęściej bywa stosowany w rysowaniu figur przestrzennych. Aby mieć pojęcie o robieniu takich rysunków, zauważmy przede wszystkim, że odcinek równoległy do płaszczyzny rzutów ma rzut równy temu odcinkowi i do niego równoległy, odcinek zaś prostopadły do płaszczyzny rzutów ulegnie skróceniu, względnie wydłużeniu, zależnie od kierunku promieni rzutujących. Zwykle dobieramy taki ich kierunek, żeby nastąpiło skrócenie do Rozmiar: 69 bajtów, Rozmiar: 69 bajtów danej długości. Oprócz tego, jak to łatwo zauważyć, w rzutowaniu ukośnym odcinek, o którym mówiliśmy, przestanie być prostopadłym do pierwszego, tj. figura złożona w rzeczywistości z dwóch prostopadłych do siebie odcinków ulegnie zniekształceniu. Mianowicie kąt prosty przestanie nim być i figura dozna skrzywienia: zamiast kąta prostego otrzymamy pewien kąt Rozmiar: 51 bajtów (najczęściej bierze się Rozmiar: 51 bajtów = 45o, 30o albo 60o).

Rys. 215

Rys. 214

Rys. 215

Rys. 215

Załączony rysunek 214 daje właśnie obraz figury ABCD w rzucie ukośnym: odcinek AB i na nim punkt C nie uległ zmianie, odcinek CD doznał skrócenia (d=Rozmiar: 69 bajtów), a kąt skrzywienia (Rozmiar: 51 bajtów=45o).

Mając te wiadomości na uwadze, możemy się pokusić o przedstawienie danej figury, np. kwadratu w rzucie ukośnym (rys. 215).

Kwadrat ustawiono tak, że jego podstawa jest równoległa do płaszczyzny rzutów, a drugi bok jest do niej prostopadły (d=Rozmiar: 69 bajtów i Rozmiar: 51 bajtów=45o).

Jeżeli dana figura jest bardziej złożona, staramy się przede wszystkim poprowadzić w niej odcinki w dwóch kierunkach poziomym i pionowym i wzdłuż ich rzutów wykreślić rzut figury.

Rys. 216

Rys. 216

Np. rys. 216 przedstawia rzut ukośny sześciokąta foremnego. Odcinki AF, CD i BE jako równoległe do płaszczyzny rzutów, nie uległy zmianie, natomiast prostopadłe do tej płaszczyzny odcinki AC i DF doznały skrócenia (d = Rozmiar: 69 bajtów) i skrzywienia

(Rozmiar: 51 bajtów=60o).

Na tej samej zasadzie można otrzymać rzut ukośny koła (rys. 217). W tym celu prowadzimy w nim średnicę poziomą AB i pionową CD, następnie szereg cięciw prostopadłych do AB i wykreślamy ich rzuty (d=Rozmiar: 69 bajtów; Rozmiar: 51 bajtów=45o). Łącząc punkty C', E', F' itd., otrzymujemy elipsę, jako rzut ukośny koła.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5 [  6] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach