Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Geometryczna proporcjonalność odcinków  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
§ 44. Odcinki współmierne i niewspółmierne. Twierdzenie Talesa dla odcinków współmiernych
§ 45. Geometryczna definicja odcinków proporcjonalnych. Własności proporcji między odcinkami
§ 46. Zastosowania twierdzenia Talesa
§ 47. Ćwiczenia
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Geometryczna proporcjonalność odcinków

§ 44. Odcinki współmierne i niewspółmierne. Twierdzenie Talesa dla odcinków współmiernych

254. Określenia. Wiemy z arytmetyki, że jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem =, pisząc:

a : b = c : d

i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:

15 : 5 = 12 : 4,

dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4.

Spróbujemy teraz tę własność liczb rozciągnąć na wielkości geometryczne, a przede wszystkim na odcinki.

Rozumując analogicznie do tego, co było powiedziane o liczbach, powinniśmy nazwać cztery odcinki proporcjonalnymi wtedy, kiedy stosunek pierwszych dwóch będzie równy stosunkowi ostatnich dwóch odcinków. Ale jak odnaleźć stosunek dwóch odcinków?

Jeżeli mamy dwa odcinki a i b i pierwszy z nich jest większy od drugiego, to przede wszystkim może się zdarzyć, że odejmując odcinek b od a tyle razy, ile się to da zrobić, przekonamy się, że pierwszy odcinek zawiera w sobie k razy odcinek drugi, wtedy możemy powiedzieć, że stosunek a : b = k (liczba całkowita).

Ale może się zdarzyć tak, że nie sam odcinek b, ale pewna mta część odcinka b pomieści się l razy w odcinku a, wtedy powiadamy, że

wzór 12

i tę część nazwiemy wspólną miarą danych odcinków.

A zatem wspólną miarą dwóch odcinków nazywamy taki odcinek, który w obydwu danych mieści się całkowitą liczbę razy.

Jeżeli np. okaże się, że odcinek b podzieliliśmy na 10 równych części, a odcinek a mieści tych części 17, to wtedy

wzór 13 = 1,7

i wspólną miarą tych odcinków jest wzór 14.

Jak można znaleźć część jednego z dwóch danych odcinków, która będzie ich wspólną miarą?

Prześledźmy to na konkretnym przykładzie. Mając dane dwa odcinki AB i CD takie jak na rys. 218 odmierzamy mniejszy z nich (CD) na większym (AB) tyle razy, ile się to da zrobić. W naszym przykładzie jest to jeden raz. Pozostaje reszta EB. Mamy:

(1) AB = CD + EB.

Odmierzmy EB na odcinku CD tyle razy, ile się to da zrobić, akurat udało się to jeden raz. Otrzymuje nową resztę FD. Mamy:

(2) CD = EB + FD.

Tę nową resztę odmierzamy na poprzedniej reszcie, tj. na EB, znowu jeden raz. Otrzymamy nową resztę GB. Mamy:

(3) EB = FD + GB.

.Rys. 218

Rys. 218

Odmierzmy znowu GB na FD, tym razem 4 razy, otrzymamy resztę HD, dla której

(4) FD = 4GB + HD

i wreszcie odmierzmy HD na GB niech będą to trzy razy już bez reszty. Mamy

(5) GB = 3 HD.

Wspólną miarą danych odcinków AB i CD będzie ostatnia reszta HD.

Zobaczmy teraz, ile razy HD pomieści się w każdym z danych odcinków, w tym celu podstawmy wartość GB do równości (4):

FD = 12HD + HD = 13HD.

Z równości (3) otrzymamy:

EB = 13HD + 3HD = 16HD.

Z równości (2):

CD = 16HD + 13HD = 29HD,

wreszcie z równości (1):

AB = 29HD + 16HD = 45HD.

Widzimy więc, że wspólną miarą danych odcinków jest

wzór 15

a ponieważ

wzór 16CD,

więc

wzór 17.

Wskazany sposób postępowania dla odnalezienia wspólnej miary danych odcinków znany jest pod nazwą algorytmu Euklidesa.

Uwaga. Algorytmem nazywamy regułę rachunkową, którą jednolicie stosujemy w każdym poszczególnym przypadku dla otrzymania rozwiązania danego zagadnienia, która jednak nie musi dawać ogólnego wzoru na rozwiązanie.

Wyraz algorytm pochodzi od zniekształconego arabskiego nazwiska uczonego z IX w. Muhammada ibn Musa, zwanego al-Chwarizmi (co znaczy mąż z Chorezmu), który był pochodzenia perskiego, pisał jednak w języku arabskim.

255. Mówiąc poprzednio o liczbie części, na które należy podzielić mniejszy dany odcinek dla otrzymania wspólnej miary, wzięliśmy przykład, w którym taka liczba dała się znaleźć. Przekonamy się jednak zaraz, że są pary odcinków, dla których możemy nie natrafić nigdy na taką liczbę m, aby po m krokach reszta mieściła się w poprzedniej całkowitą ilość razy, tj. natrafić na taki odcinek, który w obu danych odcinkach mieściłby się całkowitą liczbę razy.

Dwa odcinki, które posiadając wspólną miarę, nazywamy współmiernymi, w przeciwnym razie - niewspółmiernymi.

Twierdzenie. Bok kwadratu i jego przekątna są niewspółmierne.

Mamy dany kwadrat ABCD (rys. 219), którego bok nazwijmy a, a przekątną b. Przypuśćmy, że odcinki a i b są współmierne

Rys. 219

Rys. 219

i wspólną miarą niech będzie pewien odcinek k, który na boku kwadratu mieści się m razy, a na przekątnej n razy.

Wówczas

a = m × k,

b = n × k.

Jeżeli teraz na przekątnej AC i na boku AB zbudujemy kwadraty, to prowadząc w tych kwadratach przez punkty podziału równoległe, podzielimy pierwszy kwadrat na n2 małych przystających kwadracików (nazwijmy je p), a drugi na m2 takich samych kwadracików.

Stosując teraz do trójkąta ABC twierdzenie Pitagorasa, możemy powiedzieć, że

kwadrat (AC) = kwadrat (AB) + kwadrat (BC),

a że AB = BC, więc

kwadrat (AC) = 2 kwadrat (AB).

Stąd

n2p = 2m2p, czyli

n2 = 2m2.

Łatwo teraz można udowodnić, że taka równość zajść nie może.

Istotnie liczba całkowita n może być albo liczbą parzystą, albo liczbą nieparzystą.

Jeżeli n jest nieparzysta, to jakakolwiek będzie liczba m, lewa strona równości nie będzie zawierała wcale czynnika 2, który wchodzi w skład prawej. Jeżeli zaś liczba n jest liczbą parzystą, to n2 zawiera czynnik 2 parzystą liczbę razy, czego nie otrzymamy z prawej strony równości.

A więc nasze przypuszczenie, że istnieje wspólna miara dla AB i AC, musi upaść.

256. Widzimy, że chcąc oprzeć pojęcie proporcjonalności odcinków na ich stosunku, powinniśmy z góry wiedzieć, z jakimi odcinkami mamy do czynienia: współmiernymi czy niewspółmiernymi.

Nie przesądzając na razie sprawy, czy może być mowa o stosunku dwóch odcinków, nie posiadających wspólnej miary, poznamy najpierw pewną ważną własność odcinków współmiernych.

Rys. 220

Rys. 220

Weźmy dowolny kąt BAC (rys. 220), którego ramiona przecięto dwiema prostymi równoległymi KL i MN i w ten sposób otrzymaliśmy cztery odcinki AD, DE, AF i FG, z których pierwsze dwa są współmierne.

Jeżeli odcinki AD i DE posiadają wspólną miarę, to odmierzając ją na każdym, możemy odnaleźć stosunek tych odcinków. Niech ta wspólna miara w odcinku AD mieści się l razy, a w odcinku DE mieści się n razy. Wtedy możemy powiedzieć, że Rozmiar: 138 bajtów

Jeżeli teraz przez punkty podziału poprowadzimy równoległe do KL i MN, to odcinek AF podzieli się na l równych sobie części, a FG na n takich samych części, a zatem

Rozmiar: 135 bajtów

A zatem będziemy mieli

AD : DE = AF : FG,

to znaczy, że otrzymaliśmy na ramionach danego kąta odcinki proporcjonalne.

Poznaliśmy ważne twierdzenie, znane pod nazwą twierdzenia Talesa:

jeżeli dwie proste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki przez nie wyznaczone są proporcjonalne.

Pamiętać oczywiście należy o zastrzeżeniu, że odcinki odmierzone na jednym ramieniu kąta były w naszym rozumowaniu współmierne.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach