Geometryczna proporcjonalność odcinków

§ 44. Odcinki współmierne i niewspółmierne. Twierdzenie Talesa dla odcinków współmiernych

254. Określenia. Wiemy z arytmetyki, że jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem =, pisząc:

a : b = c : d

i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:

15 : 5 = 12 : 4,

dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4.

Spróbujemy teraz tę własność liczb rozciągnąć na wielkości geometryczne, a przede wszystkim na odcinki.

Rozumując analogicznie do tego, co było powiedziane o liczbach, powinniśmy nazwać cztery odcinki proporcjonalnymi wtedy, kiedy stosunek pierwszych dwóch będzie równy stosunkowi ostatnich dwóch odcinków. Ale jak odnaleźć stosunek dwóch odcinków?

Jeżeli mamy dwa odcinki a i b i pierwszy z nich jest większy od drugiego, to przede wszystkim może się zdarzyć, że odejmując odcinek b od a tyle razy, ile się to da zrobić, przekonamy się, że pierwszy odcinek zawiera w sobie k razy odcinek drugi, wtedy możemy powiedzieć, że stosunek a : b = k (liczba całkowita).

Ale może się zdarzyć tak, że nie sam odcinek b, ale pewna mta część odcinka b pomieści się l razy w odcinku a, wtedy powiadamy, że

i tę część nazwiemy wspólną miarą danych odcinków.

A zatem wspólną miarą dwóch odcinków nazywamy taki odcinek, który w obydwu danych mieści się całkowitą liczbę razy.

Jeżeli np. okaże się, że odcinek b podzieliliśmy na 10 równych części, a odcinek a mieści tych części 17, to wtedy

i wspólną miarą tych odcinków jest .

Jak można znaleźć część jednego z dwóch danych odcinków, która będzie ich wspólną miarą?

Prześledźmy to na konkretnym przykładzie. Mając dane dwa odcinki AB i CD takie jak na rys. 218 odmierzamy mniejszy z nich (CD) na większym (AB) tyle razy, ile się to da zrobić. W naszym przykładzie jest to jeden raz. Pozostaje reszta EB. Mamy:

(1) AB = CD + EB.

Odmierzmy EB na odcinku CD tyle razy, ile się to da zrobić, akurat udało się to jeden raz. Otrzymuje nową resztę FD. Mamy:

(2) CD = EB + FD.

Tę nową resztę odmierzamy na poprzedniej reszcie, tj. na EB, znowu jeden raz. Otrzymamy nową resztę GB. Mamy:

(3) EB = FD + GB.

Rys. 218

Odmierzmy znowu GB na FD, tym razem 4 razy, otrzymamy resztę HD, dla której

(4) FD = 4GB + HD

i wreszcie odmierzmy HD na GB niech będą to trzy razy już bez reszty. Mamy

(5) GB = 3 HD.

Wspólną miarą danych odcinków AB i CD będzie ostatnia reszta HD.

Zobaczmy teraz, ile razy HD pomieści się w każdym z danych odcinków, w tym celu podstawmy wartość GB do równości (4):

FD = 12HD + HD = 13HD.

Z równości (3) otrzymamy:

EB = 13HD + 3HD = 16HD.

Z równości (2):

CD = 16HD + 13HD = 29HD,

wreszcie z równości (1):

AB = 29HD + 16HD = 45HD.

Widzimy więc, że wspólną miarą danych odcinków jest

a ponieważ

więc

.

Wskazany sposób postępowania dla odnalezienia wspólnej miary danych odcinków znany jest pod nazwą algorytmu Euklidesa.

Uwaga. Algorytmem nazywamy regułę rachunkową, którą jednolicie stosujemy w każdym poszczególnym przypadku dla otrzymania rozwiązania danego zagadnienia, która jednak nie musi dawać ogólnego wzoru na rozwiązanie.

Wyraz algorytm pochodzi od zniekształconego arabskiego nazwiska uczonego z IX w. Muhammada ibn Musa, zwanego al-Chwarizmi (co znaczy mąż z Chorezmu), który był pochodzenia perskiego, pisał jednak w języku arabskim.

255. Mówiąc poprzednio o liczbie części, na które należy podzielić mniejszy dany odcinek dla otrzymania wspólnej miary, wzięliśmy przykład, w którym taka liczba dała się znaleźć. Przekonamy się jednak zaraz, że są pary odcinków, dla których możemy nie natrafić nigdy na taką liczbę m, aby po m krokach reszta mieściła się w poprzedniej całkowitą ilość razy, tj. natrafić na taki odcinek, który w obu danych odcinkach mieściłby się całkowitą liczbę razy.

Dwa odcinki, które posiadając wspólną miarę, nazywamy współmiernymi, w przeciwnym razie - niewspółmiernymi.

Twierdzenie. Bok kwadratu i jego przekątna są niewspółmierne.

Mamy dany kwadrat ABCD (rys. 219), którego bok nazwijmy a, a przekątną b. Przypuśćmy, że odcinki a i b są współmierne

Rys. 219

i wspólną miarą niech będzie pewien odcinek k, który na boku kwadratu mieści się m razy, a na przekątnej n razy.

Wówczas

a = m × k,

b = n × k.

Jeżeli teraz na przekątnej AC i na boku AB zbudujemy kwadraty, to prowadząc w tych kwadratach przez punkty podziału równoległe, podzielimy pierwszy kwadrat na n² małych przystających kwadracików (nazwijmy je p), a drugi na m² takich samych kwadracików.

Stosując teraz do trójkąta ABC twierdzenie Pitagorasa, możemy powiedzieć, że

kwadrat (AC) = kwadrat (AB) + kwadrat (BC),

a że AB = BC, więc

kwadrat (AC) = 2 kwadrat (AB).

Stąd

n²p = 2m²p, czyli

n² = 2m².

Łatwo teraz można udowodnić, że taka równość zajść nie może.

Istotnie liczba całkowita n może być albo liczbą parzystą, albo liczbą nieparzystą.

Jeżeli n jest nieparzysta, to jakakolwiek będzie liczba m, lewa strona równości nie będzie zawierała wcale czynnika 2, który wchodzi w skład prawej. Jeżeli zaś liczba n jest liczbą parzystą, to n² zawiera czynnik 2 parzystą liczbę razy, czego nie otrzymamy z prawej strony równości.

A więc nasze przypuszczenie, że istnieje wspólna miara dla AB i AC, musi upaść.

256. Widzimy, że chcąc oprzeć pojęcie proporcjonalności odcinków na ich stosunku, powinniśmy z góry wiedzieć, z jakimi odcinkami mamy do czynienia: współmiernymi czy niewspółmiernymi.

Nie przesądzając na razie sprawy, czy może być mowa o stosunku dwóch odcinków, nie posiadających wspólnej miary, poznamy najpierw pewną ważną własność odcinków współmiernych.

Weźmy dowolny kąt BAC (rys. 220), którego ramiona przecięto dwiema prostymi równoległymi KL i MN i w ten sposób otrzymaliśmy cztery odcinki AD, DE, AF i FG, z których pierwsze dwa są współmierne.

Jeżeli odcinki AD i DE posiadają wspólną miarę, to odmierzając ją na każdym, możemy odnaleźć stosunek tych odcinków. Niech ta wspólna miara w odcinku AD mieści się l razy, a w odcinku DE mieści się n razy. Wtedy możemy powiedzieć, że

Jeżeli teraz przez punkty podziału poprowadzimy równoległe do KL i MN, to odcinek AF podzieli się na l równych sobie części, a FG na n takich samych części, a zatem

A zatem będziemy mieli

AD : DE = AF : FG,

to znaczy, że otrzymaliśmy na ramionach danego kąta odcinki proporcjonalne.

Poznaliśmy ważne twierdzenie, znane pod nazwą twierdzenia Talesa:

jeżeli dwie proste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki przez nie wyznaczone są proporcjonalne.

Pamiętać oczywiście należy o zastrzeżeniu, że odcinki odmierzone na jednym ramieniu kąta były w naszym rozumowaniu współmierne.