Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Geometryczna proporcjonalność odcinków  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
§ 44. Odcinki współmierne i niewspółmierne. Twierdzenie Talesa dla odcinków współmiernych
§ 45. Geometryczna definicja odcinków proporcjonalnych. Własności proporcji między odcinkami
§ 46. Zastosowania twierdzenia Talesa
§ 47. Ćwiczenia
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 45. Geometryczna definicja odcinków proporcjonalnych. Własności proporcji między odcinkami

257. Powracając teraz do zagadnienia odcinków proporcjonalnych, niezależnie od tego, czy ich stosunek może być znaleziony (jako stosunek liczb), podamy takie określenie proporcjonalności, które będzie dotyczyło zarówno odcinków współmiernych, jak i niewspółmiernych. Biorąc za punkt wyjścia twierdzenie Talesa, przyjmiemy następujące określenie:

cztery odcinki nazywać będziemy proporcjonalnymi, jeżeli te odcinki lub im równe można otrzymać parami na ramionach kąta, przecinając je dwiema prostymi równoległymi.

Rys. 221

Rys. 221

Więc np. jeżeli mamy cztery odcinki a, b, c i d, które są kolejno równe odcinkom MA i AB oraz MC i CD (rys. 221), otrzymanym na ramionach kąta M przez przecięcie ich dwiema prostymi równoległymi KL i NP, to mówimy, że dane odcinki są proporcjonalne i piszemy symboliczną proporcję:

a, b Rozmiar: 61 bajtów c, d,

czytając: odcinek a tak się ma do odcinka b, jak odcinek c do d.

Dane odcinki tworzące proporcję nazywać będziemy jej wyrazami. Odcinki a i d nazywamy wyrazami skrajnymi, b i c wyrazami środkowymi. Wyrazy a i b tworzą jedną (lewą) stronę, c i d drugą (prawą) stronę proporcji.

Proporcjonalność możemy rozszerzyć na większą liczbę par odcinków (nie tylko na dwie), np. możemy napisać proporcję:

a, b, cRozmiar: 61 bajtówa', b', c',

rozumiejąc, że odcinki a, b, c są odmierzone na jednym ramieniu kąta, zaś odcinki a', b', c' otrzymano na drugim ramieniu, przecinając je prostymi równoległymi, poprowadzonymi przez końcowe punkty odcinków na pierwszym ramieniu.

258. O przestawianiu wyrazów proporcji. Wprowadziwszy pojęcie proporcjonalności geometrycznej, wykażemy, że ta proporcja określona geometrycznie, nazwiemy ją proporcją odcinków, podlega tym samym prawom, które rządzą wyrazami proporcji liczbowej.

Wiadomo z arytmetyki, że mając proporcję liczbową

1) a : b = c : d,

można przestawieniem wyrazów otrzymać nowe proporcje:

2) b : a = d : c,

3) c : d = a : b,

4) d : c = b : a,

5) a : c = b : d,

6) c : a = d : b,

7) d : b = c : a,

8) b : d = a : c.

Łatwo jednak spostrzec, że wystarczy utworzyć proporcje 2), 3) i 5), żeby otrzymać pozostałe.

Istotnie: 4) powstaje w taki sam sposób z 3), jak 2) z 1), tj. przez przestawienie wyrazów każdego stosunku. Proporcja 6) powstaje z 5) znowu w taki sam sposób, również 8) z 7), wreszcie 7) z 6), jak 3) z 1), czyli przestawianie stosunków.

259. Twierdzenie. W każdej proporcji odcinków można przestawić wyrazy w następujący sposób:

1. przestawić wyrazy w każdej z dwóch stron proporcji;

2. przestawić obie strony proporcji;

3. przestawić wyrazy środkowe.

Dowód. 1. Jeżeli jest dana proporcja odcinkowa:

a, b Rozmiar: 61 bajtów c, d,

to zgodnie z definicją odcinków proporcjonalnych będzie również prawdziwa proporcja

b, a Rozmiar: 61 bajtów d, c.

2. Jeżeli jest dana proporcja:

a, b Rozmiar: 61 bajtów c, d,

to znowu z definicji odcinków proporcjonalnych wynikać będzie, że napisać można proporcję

c, d Rozmiar: 61 bajtów a, b.

Rys. 222

Rys. 222

3. Mamy cztery odcinki a, b, c i d, między którymi zachodzi proporcja

a, bRozmiar: 61 bajtówc, d.

Odmierzmy na jednym ramieniu dowolnego kąta M (rys. 222) odcinki MA = a i MB = b, na drugim MC = c i MD = d, wtedy AC II BD.

Odmierzmy teraz MC' = c i MB' = b i udowodnimy prawdziwość proporcji

MA, MC'Rozmiar: 61 bajtówMB', MD,

tj. a, cRozmiar: 61 bajtówb, d,

co sprowadza się do dowodu, że AB' II C'D.

Ponieważ AC II BD, więc Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2, ale odcinając MD' = d i łącząc D' i B', widzimy, że Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 3, a zatem:

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 3,

stąd zaś wnosimy, że w czworokącie D'ACB' kąt ACB' jest dopełnieniem kąta 3, więc na tym czworokącie można opisać koło.

W takim razie

Rozmiar: 50 bajtów 4 = Rozmiar: 50 bajtów 6

jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku CB', ale

Rozmiar: 50 bajtów 6 = Rozmiar: 50 bajtów 5

(bo trójkąty D'CB' i BDC' są przystające),

więc

Rozmiar: 50 bajtów 4 = Rozmiar: 50 bajtów 5,

a stąd już

AB' II C'D,

co dowodzi prawdziwości proporcji

a, cRozmiar: 61 bajtówb, d.

Ogólniej: z zależności

a, b, cRozmiar: 61 bajtówa', b', c'

wynikać będzie

a, a'Rozmiar: 61 bajtówb, b'Rozmiar: 61 bajtówc, c'

i odwrotnie.

260. Twierdzenie. Z danej proporcji między odcinkami

a, bRozmiar: 61 bajtówc, d

zawsze można utworzyć proporcje:

(a Rozmiar: 52 bajtów b), bRozmiar: 61 bajtów(c Rozmiar: 52 bajtów d), d,

(a Rozmiar: 52 bajtów b), aRozmiar: 61 bajtów(c Rozmiar: 52 bajtów d), c.

Dowód jest oczywisty.

261. Twierdzenie. Z dwóch proporcji

a, bRozmiar: 61 bajtówc, d

c, dRozmiar: 61 bajtówe, f

zawsze można utworzyć proporcję:

a, bRozmiar: 61 bajtówe, f.

Dowód. Ramiona dowolnego kąta AMC (rys. 223) przecięliśmy równoległymi AC i BD i otrzymaliśmy cztery proporcjonalne odcinki: MA = a, MB = b, MC = c i MD = d.

Wykreślmy kąt CME i poprowadźmy CE II DF, które wyznaczają znowu cztery odcinki proporcjonalne: MC = c, MD = d, ME = e i MF = f.

Ś.
Rys. 223 Rys. 224
Rys. 223 Rys. 224

Ponieważ na mocy twierdzenia Desarguesa odcinki BF i AE są równoległe, więc będzie

MA, MBRozmiar: 61 bajtówME, MF, czyli

a, bRozmiar: 61 bajtówe, f.

262. W proporcji a,bRozmiar: 61 bajtówc,d każdy z odcinków nazywa się czwartym proporcjonalnym do trzech pozostałych. Przekonamy się zaraz, że mając trzy dane odcinki, zawsze można będzie znaleźć czwarty, który z danymi trzema tworzy proporcję.

Zadanie. Znaleźć odcinek czwarty proporcjonalny do trzech odcinków danych.

Dane są trzy odcinki: a, b i c.

Rozważmy dowolny kąt BAC (rys. 224) i odłóżmy od wierzchołka na ramieniu AC odcinki AD = a i AE = b, a na ramieniu AB odcinek AF = c. Jeżeli teraz połączymy punkt D z F, a przez punkt E poprowadzimy prostą równoległą do DF, to otrzymamy żądany odcinek AG = x, dlatego że z określenia proporcji mamy wprost:

a, bRozmiar: 61 bajtówc, x.

Zachodzi teraz pytanie: czy otrzymany odcinek jest jedyny?

Na ramieniu AB obranego przez nas kąta nie istnieje odcinek czwarty proporcjonalny, gdyż z punktu E można poprowadzić tylko jedną równoległą do DF. Czy jednak obierając inny kąt, nie otrzymamy odcinka różnego od AG?

W tym celu poprowadźmy prostą AB', odmierzmy na niej AF' = c i przez punkt E poprowadźmy równoległą do DF', wtedy powinno być a, b Rozmiar: 61 bajtów c, AG'.

Widzimy, że musi być AG' = AG (dlaczego?).

Wniosek. Do trzech danych odcinków można znaleźć czwarty proporcjonalny, i to tylko jeden.

Uwaga. Jeżeli dana jest proporcja a, bRozmiar: 61 bajtówb, c, to odcinek c nazywa się trzecim proporcjonalnym do dwóch danych a i b; zaś odcinek b nazywamy odcinkiem średnim proporcjonalnym między dwoma danymi odcinkami a i c.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach