§ 47. Ćwiczenia

1. Podać inną konstrukcję zadania (punkt 262) o odcinku czwartym proporcjonalnym do trzech danych odcinków.

2. Udowodnić, że twierdzenie Talesa pozostaje prawdziwe także wtedy, kiedy jedna z dwóch równoległych prostych przecina ramiona danego kąta, a druga prosta przecina przedłużenia.

3. Dany odcinek przedłużyć o tyle, żeby odcinek dany i jego przedłużenie były proporcjonalne do naszych odcinków m i n.

4. Odcinek przedłużyć o tyle, żeby cały otrzymany odcinek i przedłużenie danego były proporcjonalne do odcinków m i n.

5. Dany odcinek podzielić na takie dwie części, aby ich suma i różnica były proporcjonalne do odcinków m i n.

6. Dana jest prosta i punkt poza nią. Znaleźć inny taki punkt, aby jego odległość od danego punktu i od danej prostej były proporcjonalne do odcinków m i n, a suma tych odległości była równa odcinkowi k.

7. Na płaszczyźnie ustalony jest punkt P i prosta. Łączymy punkt P z punktami danej prostej. Znaleźć miejsce geometryczne punktów dzielących te odcinki proporcjonalnie do danych odcinków m i n.

8. Znaleźć dwa odcinki, mając ich sumę, jeżeli wiadomo, że są one proporcjonalne do odcinków m i n.

9. Znaleźć dwa odcinki proporcjonalne do m i n, mając daną ich różnicę.

10. Przez punkt, położony wewnątrz kąta, poprowadzić między jego ramionami taki odcinek, który w tym punkcie byłby podzielony na dwie części proporcjonalne do m i n.

11. Dane są trzy półproste o wspólnym początku i punkt pomiędzy nimi. Przez ten punkt poprowadzić między skrajnymi półprostymi odcinek w taki sposób, aby został on przez trzecią półprostą podzielony na części proporcjonalne do m i n.

12. Dowieść geometrycznie, że jeżeli między odcinkami a, b, c i d zachodzi proporcja

a, bc, d,

to będą zachodziły proporcje:

ak, bck, d,

a, bkc, dk,

ak, bkc, d,

gdzie k jest liczbą naturalną.

13. Przez dany punkt wewnątrz kąta poprowadzić prostą w taki sposób, aby odcinki przez nią wyznaczone na ramionach kąta, były proporcjonalne do danych odcinków m i n.

14. Przez dany punkt leżący na zewnątrz kąta poprowadzić prostą w taki sposób, aby odcinki przez nią wyznaczone na ramionach kąta były proporcjonalne do danych odcinków m i n.

15. Znaleźć miejsce geometryczne punktów, których odległości od ramion danego kąta są proporcjonalne do odcinków m i n.

16. Wewnątrz trójkąta znaleźć punkt, którego odległości od boków trójkąta są proporcjonalne do odcinków k, l, m.

17. Na kartce narysowano duże nierównoległe proste, które nie przecinają się na tej kartce i obrano punkt P nie leżący na żadnej z tych prostych. Opisz konstrukcję prostej, która przechodzi przez punkt P i na której leży punkt przecięcia danych prostych.

18. Jakie będzie rozwiązanie zadania o podziale odcinka na części proporcjonalne do m i n (patrz punkt 266), jeżeli m = n?

19. Dane są dwie proste i punkt poza nimi. Na jednej z tych prostych odnaleźć taki punkt, którego odległości od danego punktu i od drugiej prostej są sobie równe.

Wskazówka. Poprowadzić prostą przez punkt dany oraz przez punkt przecięcia się dwóch danych prostych i zastosować tw. Desargues'a.

20. Dane są dwie proste i punkt poza nimi. Na jednej z tych prostych odnaleźć taki punkt, którego odległości od danego punktu i od drugiej prostej są proporcjonalne do odcinków m i n.

21. Dany jest kąt i punkt wewnątrz niego. Na jednym z ramion kąta odnaleźć taki punkt, którego odległości od punktu danego i od wierzchołka kąta są proporcjonalne do odcinków m i n.

22. Dany jest trójkąt ABC i odcinki m i n. Na boku AB znaleźć taki punkt P, aby odcinki OX : PY = m i n, gdzie X jest punktem boku BC i PX BC, a Y jest punktem boku AC i PY II BC.

23. Na jednym z boków trójkąta wyznaczyć taki punkt, że odcinki prostych przez niego poprowadzonych równolegle do pozostałych boków trójkąta zawarte wewnątrz trójkąta są proporcjonalne do odcinków m i n.