Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Jednokładność i podobieństwo  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
§ 48. Definicja i budowanie figur jednokładnych
§ 49. Podobieństwo trójkątów. Odcinki proporcjonalne w trójkącie i w kole
§ 50. Metoda przekształcenia jednokładnego w zadaniach konstrukcyjnych
§ 51. Ćwiczenia
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Jednokładność i podobieństwo

§ 48. Definicja i budowanie figur jednokładnych

270. Określenia. Dane są na płaszczyźnie: figura F, punkt stały S oraz dwa odcinki m i n (rys. 234).

Rys. 234

Rys. 234

Połączmy dowolny punkt A tej figury z punktem S i znajdźmy odcinek czwarty proporcjonalny do trzech odcinków m, n i SA, czyli taki odcinek SA1, który zadość czyniłby proporcji

SA, SA1Rozmiar: 61 bajtówm, n.

Jak wiadomo, taki odcinek istnieje tylko jeden, więc jeżeli na SA, począwszy od S, odmierzymy SA1, to wyznaczymy punkt A1, odpowiadający punktowi A.

Obierzmy inny punkt danej figury, np. B, połączmy go z punktem S i znowu znajdźmy odcinek czwarty proporcjonalny do m, n i SB, tj. taki odcinek SB1, który czyniłby zadość proporcji

SB, SB1Rozmiar: 61 bajtów m, n.

Wyznaczmy na SB punkt B1, odpowiadający punktowi B danej figury.

Jeżeli teraz wyobrazimy sobie, że dla każdego punktu danej figury znaleźliśmy w powyższy sposób punkt odpowiadający mu, to zbiór otrzymanych punktów utworzy nową figurę F1, którą nazywamy figurą jednokładną do danej figury F względem danego punktu S, który nosi nazwę środka jednokładności.

Odcinki SA, SB, SA1 itd. nazywamy promieniami jednokładności.

Punkty A i A1 albo B i B1, które są położone na tym samym promieniu jednokładności, nazywamy punktami jednokładnymi figur jednokładnych.

Odcinki SA1, SB1 itd. moglibyśmy odkładać nie na promieniach SA, SB ... , ale na ich przedłużeniach, w ten sposób otrzymalibyśmy figurę F2 jednokładną z daną F, ale położoną z przeciwnej strony środka S. Dlatego rozróżniamy jednokładność prostą (F i F1) oraz odwrotną (F i F2).

Łatwo spostrzec, że figury F2 i F1 są przystające. Są one także symetrycznie położone względem środka S. Ogólnie można powiedzieć, że symetria figur względem danego środka jest szczególnym przypadkiem jednokładności, mianowicie takiej, kiedy odcinki dane m i n są sobie równe.

Jeżeli punkty A i B danej figury F połączymy odcinkiem AB, oraz połączymy punkty do nich jednokładne A1 i B1 figury F1, to wtedy będzie AB II A1B1 (dlaczego?) i ponadto

AB, A1B1Rozmiar: 61 bajtówSA, SA1Rozmiar: 61 bajtówSB, SB1Rozmiar: 61 bajtówm, n.

271. Z tego, co było wyżej powiedziane, wynika, że dla każdej danej figury można znaleźć figurę do niej jednokładną, czyli przekształcić ją jednokładnie (wprost lub odwrotnie), spełniając następujące warunki:

1. Dla każdego punktu jednej figury będzie wyznaczony punkt do niego jednokładny drugiej figury.

2. Wszystkie promienie jednokładności, tj. odcinki, łączące parami odpowiednie punkty figur, przechodzić będą przez punkt stały (środek jednokładności).

3. Wszystkie promienie jednokładności będą proporcjonalne do dwóch z góry danych odcinków.

Wtedy, jak widzieliśmy:

odcinki łączące dwa punkty jednej figury i punkty do nich jednokładne drugiej figury są do siebie równoległe i proporcjonalne do dwóch danych odcinków m i n.

272. Twierdzenie. Figura jednokładna do odcinka, jest odcinkiem do niej równoległym.

Dany jest odcinek AB (rys. 235), środek jednokładności S, i dwa odcinki m i n. Wiadomym już sposobem znajdźmy punkt A1 jednokładny do A oraz punkt B1 jednokładny do B. Odcinek A1B1 jest odcinkiem jednokładnym do AB.

Rys. 235

Rys. 235

Odcinek A1B1 jest równoległy do AB, o czym już wiemy z poprzednich rozważań. Wystarczy dowieść, że jest on miejscem geometrycznym punktów jednokładnych do punktów odcinka AB.

Weźmy dowolny punkt K odcinka AB i poprowadźmy promień jednokładności SK, który przecina odcinek A1B1 w punkcie K1. Łatwo udowodnić, że ten punkt jest punktem jednokładnym do K.

Istotnie z trójkątów SAK i SA1K1 mamy

SK, SK1Rozmiar: 61 bajtówSA, SA1Rozmiar: 61 bajtówm, n,

dlatego że A1K1 II AK, więc punkty K i K1 są jednokładne. Widzimy dalej, że jeżeli obierzemy dowolny punkt na odcinku AB, to punkt jednokładny do niego znajdziemy zawsze na przecięciu jego promienia jednokładności z odcinkiem A1B1 i poza tym odcinkiem nie będzie punktów jednokładnych do punktów odcinka AB.

Jeżeli dany odcinek przekształcimy odwrotnie, to otrzymamy odcinek A2B2, także równoległy do danego, ale mający zwrot przeciwny.

Wniosek. Figura jednokładna do kąta jest kątem równym danemu.

Dowód wynika wprost z powyższego twierdzenia.

273. Twierdzenie. Figura jednokładna do wielokąta, jest wielokątem o kątach odpowiednio równych kątom danego wielokąta, a bokach odpowiednio równoległych do boków wielokąta danego i proporcjonalnych do danych odcinków.

Dany jest wielokąt ABCDE (rys. 236), środek jednokładności S i dwa odcinki m i n.

Rys.236

Rys. 236

Postępując, jak powyżej, otrzymujemy wielokąt A1B1C1D1E1 (jednokładność prosta) lub A2B2C2D2E2 (jednokładność odwrotna).

Stąd wynika, że dla otrzymania wielokąta jednokładnego do danego należy poprowadzić promienie jednokładności wszystkich wierzchołków, znaleźć punkt A1 jednokładny do A, potem poprowadzić A1B1 II AB, B1C1 II BC itd., ostatnim odcinkiem na naszym rysunku będzie E1A1, a że punkty E1 i A1 już przedtem były wyznaczone, więc łącząc je ze sobą, powinniśmy otrzymać A1E1 II AE.

274. Twierdzenie. Figurą jednokładną do okręgu jest okrąg.

Dany jest okrąg (rys. 237), środek jednokładności S i dwa odcinki m i n. Obierzmy dowolny punkt A na danym okręgu, poprowadźmy promień OA i wykreślmy odcinek jednokładny do OA względem środka S. Ten odcinek, jak już wiemy, będzie równoległy do OA i będzie

OA, O1A1Rozmiar: 61 bajtówm, n.

Rys. 237

Rys. 237

Ponieważ w tej proporcji trzy wyrazy są stałe, a mianowicie OA, m, n, więc i czwarty wyraz musi być stały, inaczej mówiąc, wszystkie odcinki odpowiednie do jakiegokolwiek promienia danego okręgu będą sobie równe i równe odcinkowi O1A1. Ponadto punkt O1, jako punkt jednokładny do O, będzie stały. Zatem wszystkie punkty jednokładne do punktów danego okręgu będą leżały w odległości O1A1 od punktu O1, czyli ich miejscem geometrycznym będzie okrąg o promieniu O1A1, cbdd.

Oczywiście rozumowanie pozostanie słuszne w przypadku jednokładności odwrotnej.

275. Wnioski. 1) Wyobraźmy sobie dwa okręgi o środkach w punktach O i O1 o różnych promieniach (rys. 237). Jeżeli w pierwszym poprowadzimy dowolny promień OA, a w drugim równoległy do niego promień O1A1, to łącząc punkty A i A1 prostą AA1 aż do przecięcia się z linią środków OO1, otrzymamy punkt S, który będzie środkiem jednokładności tych kół.

Jeżeli w drugim okręgu poprowadzimy promień O1A2 równoległy również do OA, ale o zwrocie przeciwnym (przedłużenie O1A1), to postępując, jak poprzednio, otrzymamy punkt S1, który będzie środkiem jednokładności odwrotnej danych okręgów.

Stąd wniosek:

każde dwa okręgi są jednokładne; ich środek jednokładności leży na linii środków i dzieli ją na dwa odcinki proporcjonalne do promieni danych okręgów.

2) Gdyby się okazało (rys. 237), że promienie OA i O1A1 danych kół są prostopadłe do AS, to prosta AA1S byłaby wspólną styczną do obu kół, jak również i prosta AS1A2.

Widzimy więc, że

wspólne styczne do dwóch kół przecinają się z linią środków w punkcie, który jest środkiem jednokładności tych kół.

Zatem zagadnienie o poprowadzeniu wspólnych stycznych do dwóch danych kół może być rozwiązane przez zastosowanie jednokładności kół. Należy jednak pamiętać, że wspólne styczne nie zawsze istnieją, a przynajmniej nie zawsze wszystkie istnieją.

276. Pojęcie jednokładności można rozciągnąć na figury przestrzenne. Jeżeli mianowicie mamy daną figurę (F), to łącząc wszystkie jej punkty A, B, C ... z danym środkiem jednokładności i odkładając na promieniach odcinki SA1, SB1, SC1 ... czyniące zadość proporcjom:

SA, SA1Rozmiar: 61 bajtówSB, SB1Rozmiar: 61 bajtówSC, SC1 ...Rozmiar: 61 bajtówm, n,

gdzie m i n są odcinkami jednokładności, to miejsce geometryczne punktów A1, B1, C1 ... będzie figurą (F1) jednokładną do danej.

Dokonawszy tej konstrukcji, każdy odcinek danej figury przekształcimy, jak wiadomo, na odcinek do niego równoległy, kąty danej figury nie ulegną zmianie, chodzić jeszcze będzie o płaszczyzny.

277. Twierdzenie. Figura jednokładna do płaszczyzny jest płaszczyzną do niej równoległą.

Istotnie, wyobraźmy sobie na danej płaszczyźnie P pewną prostą, przechodzącą przez dowolny punkt A tej płaszczyzny. Po przekształceniu jednokładnym otrzymamy prostą w prze strzeni równoległą do poprzedniej, przechodzącą przez punkt A1 jednokładny do punktu A.

Jeżeli teraz na płaszczyźnie P przez ten sam punkt A poprowadzimy inną prostą, to po przekształceniu otrzymamy znowu prostą do niej równoległą, przechodzącą przez A1.

Poprowadźmy wszystkie proste na płaszczyźnie P przechodzące przez punkt A. Proste do nich jednokładne będą parami równoległe i będą przechodziły przez A1, a ich miejscem geometrycznym będzie płaszczyzna równoległa do płaszczyzny P.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach