Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Jednokładność i podobieństwo  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
§ 48. Definicja i budowanie figur jednokładnych
§ 49. Podobieństwo trójkątów. Odcinki proporcjonalne w trójkącie i w kole
§ 50. Metoda przekształcenia jednokładnego w zadaniach konstrukcyjnych
§ 51. Ćwiczenia
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 49. Podobieństwo trójkątów Odcinki proporcjonalne w trójkącie i w kole

278. Określenie. Widzieliśmy, że dwa wielokąty jednokładne mają:

1) odpowiednie kąty równe,

2) odpowiednie odcinki proporcjonalne i

3) odpowiednie odcinki równoległe.

Pomińmy teraz ostatnią z tych cech jednokładności i wyobraźmy sobie dwa wielokąty, które mają

1) odpowiednie kąty równe i

2) odpowiednie odcinki proporcjonalne.

Takie figury nazywać będziemy podobnymi, a o istnieniu figur podobnych niejednokładnych przekonujemy się stąd, że mając dwa wielokąty jednokładne, zawsze możemy jeden z nich przenieść z położenia jednokładności, budując wielokąt przystający, ale mający boki nierównoległe do boków drugiego.

Tak np. jeżeli w trójkącie ABC (rys. 238) poprowadzimy DE II AB, to otrzymujemy trojkąt DEC jednokładny do trójkąta ABC. Jeżeli teraz wykreślimy trójkąt KLM, biorąc KM = DE, KL = DC i ML = EC, czyli trójkąt przystający do DEC, ale o bokach nierównoległych do odpowiednich boków poprzedniego trójkąta, to dwa trójkąty ABC i KML nie będą już jednokładne, chociaż będą podobne.

Rys. 238

Rys. 238

Znakiem podobieństwa wielokątów jest Rozmiar: 61 bajtów (położone "S", od łacińskiego wyrazu similis = podobny), piszemy więc Rozmiar: 51 bajtów ABS Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów KML, czytając: trójkąt ABC jest podobny do trójkąta KML.

Widzimy, że wielokąty podobne mają kształt ten sam, ale wielkość różną. Wielokąty przystające mają i kształt, i wielkość jednakową, a zatem widzimy, że wielokąty przystające są podobne, ale nie odwrotnie.

W trójkątach, tak samo jak w wielokątach jednokładnych, wierzchołki równych kątów nazywamy wierzchołkami odpowiednimi, a boki, łączące każdą parę odpowiednich wierzchołków odpowiednimi bokami. O tym należy pamiętać zawsze, kiedy mamy do czynienia z figurami podobnymi albo jednokładnymi.

279. Twierdzenie. Jeżeli dwa trójkąty mają kąty odpowiednio równe, to odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne.

Mamy dane dwa trójkąty ABC i DEF (rys. 239), w których

Rozmiar: 51 bajtów A = Rozmiar: 51 bajtów D; Rozmiar: 51 bajtów B = Rozmiar: 51 bajtów E i Rozmiar: 51 bajtów C = Rozmiar: 51 bajtów F.

Trzeba dowieść, że

AB, BC, ACRozmiar: 61 bajtówDE, EF, DF.

Dowód. Odłóżmy CG = DF i przez punkt G poprowadźmy GH II AB, wtedy na mocy znanego twierdzenia:

AB, BC, ACRozmiar: 61 bajtówGH, CH, CG.

Rys. 239

Rys. 239

Ale Rozmiar: 51 bajtów CGH = Rozmiar: 51 bajtów DEF, dlatego że CG = DF, Rozmiar: 51 bajtów C = Rozmiar: 51 bajtów G i Rozmiar: 51 bajtów CGH= Rozmiar: 51 bajtów D. Stąd wynika, że

CH = EF i GH = DE.

Podstawiając teraz zamiast boków trójkąta CGH odpowiednio im równe boki trójkąta DEF, otrzymamy

AB, BC, ACRozmiar: 61 bajtówDE, EF, DF, cbdd.

Trójkąty, które mają po dwa kąty odpowiednio równe, mają i trzecie kąty równe. Otrzymujemy zatem następujący konieczny i wystarczający warunek, czyli pierwszą cechę podobieństwa trójkątów:

dwa trójkąty są podobne, jeżeli mają po dwa kąty odpowiednio równe.

280. Twierdzenie. Jeżeli dwa trójkąty mają boki odpowiednio proporcjonalne, to kąty mają odpowiednio równe.

Rys. 240

Rys. 240

Niech będzie dany trójkąt ABC (rys. 240). Na dowolnym odcinku DE budujemy trójkąt DEF, w którym bok DF jest czwartym proporcjonalnym do AB, DE i AC:

AB, DERozmiar: 61 bajtówAC, DF.

Bok EF jest odcinkiem czwartym proporcjonalnym do AB, DE i CB:

AB, DERozmiar: 61 bajtówCB, FE.

Mamy więc

(1) AB, DERozmiar: 61 bajtówAC, DFRozmiar: 61 bajtówCB, FE.

Odłóżmy teraz na boku AC, począwszy od C, odcinek CG = DF i poprowadźmy GH II AB, wtedy otrzymamy trójkąt GCH jednokładny do ABC, zatem

(2) AB, GHRozmiar: 61 bajtówAC, GCRozmiar: 61 bajtówCB, CH.

Ponieważ GC = DF, więc z porównania proporcji (1) i (2) otrzymujemy:

GH = DE i CH = FE.

Stąd widzimy, że trójkąt DFE jest trójkątem przystającym do trójkąta GCH, który był jednokładny do Rozmiar: 51 bajtów ABC, a zatem Rozmiar: 51 bajtów DEF Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów ABC.

Twierdzenie to jest odwrotne względem poprzedniego i zawiera drugą cechę podobieństwa trójkątów:

dwa trójkąty są podobne, jeżeli mają odpowiednie boki proporcjonalne.

281. Twierdzenie (trzecia cecha podobieństwa trójkątów).

Dwa trójkąty są podobne, jeżeli mają po jednym kącie równym, a odpowiednie boki ten kąt obejmujące są proporcjonalne.

Dany jest trójkąt ABC (rys. 241) i trójkąt DEF, w których

Rozmiar: 50 bajtów F = Rozmiar: 50 bajtów C

i AC, DFRozmiar: 61 bajtówCB, FE.

Rys. 241

Rys. 241

Aby dowieść, że trójkąty są podobne, odłóżmy, jak poprzednio, CG = FD i poprowadźmy GH II AB. Trójkąt GCH jest jednokładny z ABC, więc

AC, GCRozmiar: 61 bajtówCB, CH.

Jeżeli teraz, pamiętając, że GC = DF, porównamy otrzymaną proporcję z daną, to będziemy mieli CH = FE.

Ponieważ wiemy jeszcze z założenia, że Rozmiar: 50 bajtów F = Rozmiar: 50 bajtów C, wnioskujemy, że Rozmiar: 51 bajtów DFE = Rozmiar: 51 bajtów GCH, a stąd wynika, że Rozmiar: 51 bajtów DEF Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów ABC,

cbdd.

282. Otrzymaliśmy w ten sposób trzy cechy podobieństwa trójkątów, przypominające analogiczne warunki ich przystawania. Zestawmy je tu ze sobą:

dwa trójkąty są:
podobne przystające
jeżeli mają:

1) dwa kąty równe   1) bok i dwa odpowiednie kąty do niego przyległe i równe.
2) dwa boki proporcjonalne i kąt między nimi zawarty równy,   2) dwa boki równe i kąt między nimi równy,
3) trzy boki proporcjonalne   3) trzy boki równe

283. Pojęcie podobieństwa trójkątów łatwo rozciągnąć na wielokąty. Przede wszystkim jednak trzeba zauważyć, że wielokąty już nie będą miały tej właściwości, jaką odznaczają się trójkąty, gdzie równość kątów pociąga za sobą proporcjonalność boków.

Nie będziemy badali szczegółowo, jakie warunki są konieczne i wystarczające dla podobieństwa wielokątów. Ogólnie, odnotujmy, że będzie ich o jeden mniej, niż dla przystawania. Więc np. dla podobieństwa równoległoboków wystarczać będą dwa warunki (jakie?), zaś dowolne kwadraty są podobne.

Zadanie. Na danym odcinku zbudować wielokąt podobny do danego.

Najłatwiejszym sposobem rozwiązania jest sposób następujący:

Rys. 242

Rys. 242

Dany jest wielokąt ABCDEF (rys. 242) i odcinek a, który niech będzie odpowiedni do boku AB.

Wyprowadźmy z wierzchołka A przekątne, odłóżmy na AB odcinek AB1 = a, poprowadźmy B1C1 II BC, następnie C1D1 II CD itd. Otrzymamy wielokąt AB1C1D1E1F1 podobny do danego, a nawet do niego jednokładny.

Można oczywiście za środek jednokładności obierać niekoniecznie wierzchołek A, ale punkt zewnętrzny lub punkt wewnętrzny danego wielokąta.

284. Twierdzenie. Jeżeli w trójkącie prostokątnym poprowadzimy wysokość z wierzchołka kąta prostego, to:

1. wysokość będzie odcinkiem średnim proporcjonalnym między odcinkami, na które została podzielona przeciwprostokątna;

2. każda z przyprostokątnych jest odcinkiem średnim proporcjonalnym między całą przeciwprostokątną a rzutem na nią tej przyprostokątnej.

.Rys. 243

Rys. 243

Dany jest trójkąt ABC (rys. 243), w którym Rozmiar: 50 bajtów ACB jest prosty. Z wierzchołka C poprowadzono CD Rozmiar: 53 bajtów AB.

1. Zauważmy, że w trójkątach ACD i DCB mamy

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów 1

Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów B,

równość kątów wynika stąd, że ich ramiona są odpowiednio do siebie prostopadłe.

Trójkąty te są zatem podobne, więc ich odpowiednie boki są proporcjonalne:

AD, CDRozmiar: 61 bajtówCD, DB.

2. Zauważmy, że trójkąty: ABC i ACD mają kąt A wspólny, Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów 2, są więc również trójkątami podobnymi.

Zatem

AB, ACRozmiar: 53 bajtówAC, AD.

W taki sam sposób z podobieństwa trójkątów ABC i DCB otrzymamy

AB, CBRozmiar: 53 bajtówCB, DB,

co dowodzi naszego twierdzenia, bo AD jest rzutem AC, zaś DB rzutem CB na przeciwprostokątną AB.

Rys. 244

Rys. 244

285. Wnioski. Niech będzie dane koło. Poprowadźmy w nim średnicę AB (rys. 244). Z dowolnego punktu C okręgu spuśćmy CD Rozmiar: 53 bajtów AB. Połączmy jeszcze punkt C z końcami średnicy, wtedy AD jest rzutem cięciwy AC, DB jest rzutem CB na średnicę AB. Ponieważ kąt ACB jest prosty, więc stosując ostatnie twierdzenie do Rozmiar: 51 bajtów ABC, możemy powiedzieć, co następuje:

1. Odcinek, poprowadzony z dowolnego punktu okręgu i prostopadły do średnicy koła, jest średnim proporcjonalnym między odcinkami, na które została podzielona średnica.

2. Cięciwa, która łączy dowolny punkt okręgu z końcem średnicy, jest odcinkiem średnim proporcjonalnym między całą średnicą a rzutem na nią tej cięciwy.

286. Jeżeli między danymi czterema odcinkami a, b, c i d isniała proporcja

a, bRozmiar: 61 bajtówc, d,

to mówiliśmy, że odcinki a i b są proporcjonalne do odcinków c i d;

jeżeli między tymi samymi odcinkami istnieje proporcja

a, bRozmiar: 61 bajtówd, c,

to mówimy, że odcinki a i b są odwrotnie proporcjonalne do c i d.

Twierdzenie. Dwie cięciwy, przecinające się wewnątrz koła, dzielą się na części odwrotnie proporcjonalne.

Niech dane będzie koło (rys. 245) i w nim dwie cięciwy AB i CD, przecinające się w punkcie E. Pierwsza cięciwa podzieliła się w tym punkcie na dwa odcinki AE i EB, druga na odcinki ED i CE. Mamy dowieść, że

AE, EDRozmiar: 61 bajtówCE, EB.

Połączmy punkty A i C oraz B i D. Otrzymamy wtedy dwa trójkąty:

ACE i EBD, w których:

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku,

i Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów B, z tego samego powodu, a więc trójkąty są podobne i odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne:

AE, EDRozmiar: 61 bajtówCE, EB.

Rys. 245

Rys. 245

287. Twierdzenie. Jeżeli z punktu poza kołem wyprowadzimy dwie sieczne, to będą one odwrotnie proporcjonalne do swych odcinków zewnętrznych.

Rys. 246

Rys. 246

Z punktu poza kołem (rys. 246) wyprowadzono sieczne AB i AC. Odcinkiem zewnętrznym pierwszej siecznej jest odcinek AD, drugiej AE. Mamy dowieść, że AB,ACRozmiar: 61 bajtówAE,AD.

Połączmy punkty B i E oraz D i C. Otrzymamy wtedy trójkąty ABE i ADC, które mają kąty odpowiednio równe (dlaczego?), a więc są to trójkąty podobne i ich odpowiednie boki będą proporcjonalne. Stąd

AB, ACRozmiar: 61 bajtówAE, AD.

288. Twierdzenie. Jeżeli z punktu poza kołem wyprowadzimy sieczną i styczną do tego koła, to styczna będzie odcinkiem średnim proporcjonalnym między całą sieczną a jej odcinkiem zewnętrznym.

Rys. 247

Rys. 247

Z punktu zewnętrznego A (rys. 247) poprowadźmy styczną AD i sieczną AB, której odcinkiem zewnętrznym względem koła jest odcinek AC. Należy dowieść, że

AB, ADRozmiar: 61 bajtówAD, AC.

Połączmy punkt styczności D z punktami B i C. Otrzymamy wtedy trójkąty ABD i ACD, które mają kąty odpowiednio równe (które i dlaczego?), a więc znowu ich odpowiednie boki będą proporcjonalne, czyli

AB, ADRozmiar: 61 bajtówAD, AC.

289. Zadanie. Znaleźć trzeci odcinek proporcjonalny dwóch danych odcinków.

Rys. 248

Rys. 248

Dane są dwa odcinki a i b (rys. 248), pierwszy niech będzie większy od drugiego. Trzeba znaleźć taki trzeci odcinek x, aby a, bRozmiar: 53 bajtówb, x.

Zadanie to można traktować jako zadanie na odnajdowanie odcinka czwartego proporcjonalnego (przypadek b = c), ale prościej będzie oprzeć konstrukcję na twierdzeniu z punktu 285.

Na odcinku a wystawiamy półkole i wykreślamy cięciwę AC = b, wtedy jej rzut na średnicę będzie odcinkiem żądanym:

AB, ACRozmiar: 61 bajtówAC, AD

czyli

a, bRozmiar: 61 bajtówb, x.

290. Zadanie. Znaleźć odcinek średni proporcjonalny między dwoma danymi odcinkami.

Dane są dwa odcinki a i b, trzeba znaleźć taki odcinek x, aby a, xRozmiar: 61 bajtówx, b.

Mamy tu do wyboru jedno z twierdzeń o odcinkach średnich proporcjonalnych. Najdogodniej jednak zastosować to samo twierdzenie, co w zadaniu poprzednim.

Na odcinku AB = a (większym) odłóżmy AC = b, na AB wystawmy półkole (rys. 249) i z punktu C prostopadłą do średnicy. Łącząc punkt, D i A, otrzymamy AD = x.

Rys.249 Rys. 250
Rys. 249 Rys. 250

291. Zadanie. Dany odcinek podzielić na takie dwie części, aby większa z nich była odcinkiem średnim proporcjonalnym między całym odcinkiem a mniejszą jego częścią.

Dany jest odcinek AB (rys. 250). Z punktu B wystawmy do niego prostopadłą i odmierzmy na niej BO = Rozmiar: 69 bajtówAB. Jeżeli teraz z punktu O promieniem OB zakreślimy koło, następnie poprowadzimy przez jego środek sieczną AE, to na zasadzie wiadomego twierdzenia będziemy mieli

AE, ABRozmiar: 61 bajtówAB, AD,

a stąd

(AE - AB), ABRozmiar: 61 bajtów(AB - AD), AD,

ale

AE - AB=AE - DE=AD,

więc

AD, ABRozmiar: 61 bajtów(AB - AD), AD,

i po przestawieniu wyrazów:

AB, ADRozmiar: 61 bajtówAD, (AB - AD).

Odłóżmy teraz AC = AD, wtedy

AB, ACRozmiar: 61 bajtówAC, CB

i odcinek dany został w punkcie C podzielony na żądane dwie części.

Uwaga. Podział, o którym mowa w powyższym zadaniu, nosi nazwę podziału odcinka w stosunku średnim i skrajnym, a sposób, przez nas podany, pochodzi od uczonego geometry Herona z Aleksandrii (I wiek p.ch.).

W Średniowieczu nazywano to zadanie złotym podziałem odcinka (sectio aurea) i przypisywano mu wielkie znaczenie nie tylko w matematyce, ale i w przyrodzie. Uważano go za zasadę piękna w budowlach, malarstwie i rzeźbie (a słynny astronom XVII w. Kepler, doszukiwał się w nim pewnej mistyki i na tym podziale oparł nawet swoją symbolikę).

292. Zadanie. Znaleźć miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, których odległości od dwóch danych punktów są proporcjonalne do odcinków m i n (m > n).

Mając dane punkty A i B (rys. 251), możemy na prostej AB znaleźć dwa punkty C i D, które dzielą odcinek AB wewnętrznie i zewnętrznie proporcjonalnie do m i n. W ten sposób mamy już dwa punkty, które niewątpliwie należą do poszukiwanego miejsca geometrycznego i są stałe.

Przypominając sobie własność dwusiecznej kąta wewnętrznego i zewnętrznego w trójkącie, twierdzimy, że budując na podstawie AB trójkąt ABM, którego boki są proporcjonalne do odcinków m i n, otrzymamy dwusieczne jego kąta wewnętrznego i zewnętrznego przy wierzchołku M, przechodzące przez punkty C i D. A ponieważ te dwusieczne są do siebie prostopadłe, więc punkt M będzie leżał na okręgu koła, którego średnicą jest CD. Widzimy zatem, że każdy punkt żądanego miejsca geometrycznego będzie leżał na okręgu o średnicy CD.

.Rys. 251

Rys. 251

Musimy jeszcze dowieść na odwrót, że każdy punkt tego okręgu będzie spełniał warunek zadania.

Niech będzie M dowolnym punktem powyżej określonego okręgu. Przez punkt B poprowadźmy EF II AM, wtedy mamy

MA, FBRozmiar: 61 bajtówDA, DBRozmiar: 61 bajtówm, n

MA, BERozmiar: 61 bajtówCA, CBRozmiar: 61 bajtówm, n,

a więc

FB = BE.

Zatem, punkt B jest środkiem odcinka EF, a że Rozmiar: 50 bajtów EMF jest prosty, więc FB = MB = BE.

Podstawiając teraz w pierwszej z otrzymanych proporcji zamiast FB lub BE równy im odcinek MB, otrzymamy

MA, MBRozmiar: 61 bajtówm, n.

Wobec tego możemy powiedzieć, że okrąg o średnicy CD jest żądanym miejscem geometrycznym.

Uwaga. Okrąg, o którym mówiliśmy w tym zadaniu, nosi nazwę okręgu Apoloniusza, jednego z wielkich geometrów greckich z III wieku p.n.e.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach