Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Jednokładność i podobieństwo  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
§ 48. Definicja i budowanie figur jednokładnych
§ 49. Podobieństwo trójkątów. Odcinki proporcjonalne w trójkącie i w kole
§ 50. Metoda przekształcenia jednokładnego w zadaniach konstrukcyjnych
§ 51. Ćwiczenia
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 50. Metoda przekształcenia jednokładnego w zadaniach konstrukcyjnyche

293. W przeważającej liczbie zadań, które dotychczas poznaliśmy, posiłkowaliśmy się metodą miejsc geometrycznych (patrz § 28.).

Na podstawie zdobytych wiadomości zapoznamy się z inną metodą, mianowicie z metodą przekształcenia jednokładnego, odgrywającą poważną rolę w pewnym typie zadań konstrukcyjnych. Jak to zaraz zobaczymy na przykładach, będzie ona polegała na tym, że zamiast figury żądanej, wykreślamy naprzód figurę jednokładną z nią, a potem dopiero przechodzimy do budowy figury poszukiwanej.

Zadanie 1. Zbudować trójkąt, mając kąt i wysokość wyprowadzoną z jego wierzchołka, jeżeli wiadomo, że boki ten kąt obejmujące są proporcjonalne do dwóch danych odcinków m i n.

Analiza. Niech trójkąt ABC będzie żądanym trójkątem (rys. 252). Jeżeli ma być AC, BCRozmiar: 61 bajtówm, n, to odkładając CA'=m i CB'=n, mamy A'B' II AB i trójkąt A'B'C' będzie jednokładny do trójkąta ABC.

Trójkąt A'B'C możemy zbudować, mając jego trzy elementy: boki m i n i kąt g. Jeżeli teraz w tym trójkącie pomocniczym poprowadzimy wysokość CD' i odłożymy odcinek CD równy danej wysokości, a następnie przez punkt D poprowadzimy AB II A'B', to otrzymamy żądany trójkąt ABC.

Rys. 252
Rys. 252

Rys. 253
Rys. 253

Zadanie 2. Zbudować trójkąt, mając dane dwa jego kąty i wysokość, wyprowadzoną z wierzchołka trzeciego kąta.

Analiza. Dwa dane kąty wyznaczają kształt żądanego trójkąta, więc zbudujmy dowolny trójkąt A'B'C' (rys. 253), którego kąty A' i B' są odpowiednio równe danym kątom. Ten trójkąt będzie podobny do poszukiwanego. Jeżeli teraz na wysokości DC' odłożymy odcinek DC równy danemu czyli równy wysokości żądanego trójkąta, to otrzymamy wierzchołek C. Poprowadźmy teraz CA II C'A' i CB II C'B'. Trójkąt ABC jest żądanym trójkątem.

Trójkąty ABC i A'B'C' są nie tylko podobne, ale wręcz jednokładne (środek?).

Zadanie 3. Zbudować trójkąt, mając dwa jego kąty i promień okręgu wpisanego.

Analiza. Znowu dwa kąty wyznaczają kształt żądanego trójkąta, więc budujemy najpierw trójkąt jednokładny do żądanego. Znajdujemy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, a potem przechodzimy do wykreślenia poszukiwanego trójkąta, mającego promień koła wpisanego równy danemu odcinkowi.

Zadanie 4. Zbudować trójkąt, mając dwa jego kąty oraz sumę podstawy i wysokości.

Analiza. Budujemy znów trójkąt pomocniczy o kątach równych danym kątom, a więc podobny do żądanego. Jeżeli w tym pomocniczym trójkącie wykreślimy wysokość, to łatwo się przekonać, że w trójkącie już wykreślonym i poszukiwanym, jako w trójkątach do siebie podobnych (a nawet jednokładnych), odcinki, które są odpowiednio równe sumie podstawy i wysokości w każdym, będą proporcjonalne do odpowiednich boków (albo wysokości).

Zadanie sprowadza się więc do znalezienia jednego boku (albo wysokości) trójkąta żądanego jako odcinka czwartego proporcjonalnego do trzech danych.

Zadanie 5. Zbudować trójkąt, w którym jest dany kąt, suma boków ten kąt obejmujących, jeżeli wiadomo, że boki te są proporcjonalne do dwóch danych odcinków m i n.

Analiza. Niech Rozmiar: 50 bajtów oznacza dany kąt, a i b niech oznaczają boki tworzące ten kąt. Wtedy kąt Rozmiar: 50 bajtów i proporcjonalność a, bRozmiar: 61 bajtówm, n wyznaczają kształt żądanego trójkąta.

Zbudujmy z trzech elementów: odcinków m, n i kąta Rozmiar: 50 bajtów trójkąt pomocniczy A'B'C', który będzie jednokładny z żądanym ABC względem wierzchołka C.

Z proporcji

a, bRozmiar: 61 bajtówm, n

możemy utworzyć nową proporcję

(a + b), bRozmiar: 61 bajtów(m + n), n,

gdzie odcinek b może być wykreślony jako czwarty proporcjonalny do trzech danych odcinków (m + n), n i (a + b). Ten właśnie odcinek b będzie decydował o wielkości poszukiwanego trójkąta.

Dalsza konstrukcja, jak w zadaniu poprzednim.

Zadanie 6. W trójkąt wpisać kwadrat, którego dwa wierzchołki mają leżeć na podstawie trójkąta.

.Rys. 254

Rys. 254

Analiza. Dany jest trójkąt ABC (rys. 254). Przypuśćmy, że zadanie rozwiązano i że żądanym kwadratem jest DEFG. Połączmy wierzchołek F z punktem A, który jak widzimy, jest połączony ze wszystkimi wierzchołkami kwadratu.

Jeżeli więc punkt A obierzemy za środek jednokładności, to obierając na prostej AF dowolny punkt F', możemy wykreślić F'G' II FG, potem E'F˘ II EF, wreszcie E'D' II ED i otrzymamy kwadrat D'E'F'G' jednokładny do żądanego i mający trzy wierzchołki czyniące zadość warunkom zadania, oprócz czwartego wierzchołka F'.

Stąd już widoczny jest sposób rozwiązania. Wykreślić należy najpierw kwadrat pomocniczy, obierając dowolny punkt E' na boku AC, połączyć F' i A, wtedy na przecięciu AF' z bokiem CB będzie leżał wierzchołek F żądanego kwadratu.

Zadanie 7. W wycinek koła wpisać kwadrat.

Wskazówka. Wykreślić najpierw kwadrat jednokładny z żądanym względem środka koła.

Zadanie 8. Zbudować trójkąt, mając dane trzy jego wysokości.

Analiza. Przede wszystkim trzeba udowodnić, że wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do odpowiednich boków. Oznaczmy boki żądanego trójkąta przez x, y, z, a odpowiednie jego wysokości h1, h2, h3. Odcinki h1, h2 i h3 są dane.

Mamy proporcje:

x, yRozmiar: 61 bajtówh2, h1

oraz y, zRozmiar: 61 bajtówh3, h2.

Wykreślmy teraz odcinek k jako czwarty proporcjonalny do trzech danych h3, h2 i h1, czyli odcinek spełniający proporcję

h3, h2Rozmiar: 61 bajtówh1, k.

Taką konstrukcję zawsze wykonać można i odcinek k będzie wyznaczony. Możemy więc teraz napisać następujące proporcje (zamiast poprzednich)

x, yRozmiar: 61 bajtówh2, h1,

y, zRozmiar: 61 bajtówh1, k,

czyli krócej

x, y, zRozmiar: 61 bajtówh2, h1, k.

Stąd widzimy, że boki żądanego trójkąta są proporcjonalne do boków trójkąta pomocniczego, zbudowanego z odcinków h2, h1 i k, a więc trójkąt pomocniczy jest podobny do żądanego.

Następnie już przechodzimy do konstrukcji trójkąta żądanego, wprowadzając odcinek równy jednej z wysokości (§ 51. zadanie 1).

Czy zadanie zawsze jest możliwe do rozwiązania?



 [  1]  [  2]  [  3 [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach