§ 51. Ćwiczenia

1. Jakie są warunki, wystarczające do podobieństwa trójkątów a) prostokątnych? b) równoramiennych?

2. Jakie są warunki podobieństwa a) równoległoboków? b) prostokątów? c) rombów?

3. Zbudować trójkąt, mając dane dwa jego kąty i środkową względem trzeciego boku.

4. Zbudować trójkąt, mając dane dwa jego kąty i dwusieczną kąta trzeciego.

5. Zbudować trójkąt, mając dane dwa jego kąty i obwód.

6. Zbudować trójkąt równoboczny, w którym dana jest suma podstawy i wysokości.

7. W koło wpisać trójkąt podobny do danego trójkąta.

8. W półkole wpisać kwadrat.

9. Na danym kwadracie opisać trójkąt podobny do danego trójkąta.

10. W trójkąt wpisać prostokąt, którego boki byłyby proporcjonalne do dwóch danych odcinków.

11. W trójkąt wpisać równoległobok, który ma kąt wspólny z trójkątem danym, a boki proporcjonalne do dwóch danych odcinków.

12. W trójkąt wpisać równoległobok podobny do danego równoległoboku.

13. W półkole wpisać prostokąt, którego boki są proporcjonalne do odcinków m i n.

14. Zbudować trójkąt podobny do danego tak, żeby jego wierzchołki leżały na danych trzech prostych.

15. Zbudować trójkąt równoboczny, którego wierzchołki będą leżały na danych trzech prostych.

16. Zbudować równoległobok, mając jego przekątne, i wiedząc, że boki są proporcjonalne do dwóch danych odcinków.

17. W okrąg wpisać trójkąt o danej podstawie i pozostałych bokach proporcjonalnych do odcinków m i n.

18. W kole poprowadzono dwa promienie. Wykreślić taką cięciwę, która przez te promienie zostanie podzielona na trzy równe części.

19. Zbudować trójkąt równoramienny, którego wysokość jest dana, a podstawa i jeden z boków równych są proporcjonalne do odcinków m i n.

20. Zbudować trójkąt, mając podstawę i kąt do niej przyległy, oraz wiedząc, że podstawa i jeden z pozostałych boków są proporcjonalne do odcinków m i n.

21. Zbudować trójkąt, mając jego podstawę, przy czym ta podstawa i dwa pozostałe boki są proporcjonalne do odcinków l, m i n.

22. Zbudować trójkąt, mając jego podstawę i różnicę dwóch pozostałych boków, o ile te boki są proporcjonalne do odcinków m i n.

23. Zbudować trójkąt, mając jego podstawę i sumę pozostałych boków, i wiedząc, że te boki są proporcjonalne do odcinków m i n.

24. Zbudować trójkąt, którego podstawa i kąt do niej przyległy są dane, a pozostałe boki są proporcjonalne do odcinków m i n.

25. Dowieść, że w trójkącie wysokości są odwrotnie proporcjonalne do odpowiednich boków.

(26-32). W trójkącie ABC niech a, b, c będą bokami leżącymi odpowiednio naprzeciw wierzchołków A, B, C; h₁, h₂ i h₃ wysokościami; m₁, m₂, m₃ środkowymi; w₁, w₂, w₃ dwusiecznymi kątów poprowadzonymi z odpowiednich wierzchołków. Ponadto niech , , będą kątami trójkąta odpowiednio przy wierzchołkach A, B, C; R i r promieniami okręgów opisanego i wpisanego.

Zbudować trójkąt ABC, mając:

26. c; ; a, h₃m, n.

27. m₁; ; h₃, w₃m, n.

28. r; ; c, m₃m, n.

29. h₁; ; c, (a + b)m, n.

30. a; ; c, Rm, n.

31. a; ; c, rm, n.

32. ; m₁ + m₂ = s; a, m₃m, n.