Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
§ 52. O mierzeniu odcinków
§ 53. Mierzenie kątów i łuków
§ 54. Metryczna definicja odcinków proporcjonalnych
§ 55. Związki metryczne między odcinkami w trójkącie i kole
§ 56. O liniach poprzecznych w trójkącie
§ 57. Potęga punktu względem koła
§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych
§ 59. Wielokąty foremne
§ 60. Ćwiczenia
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych

§ 52. O mierzeniu odcinków

294. Wiemy już, jak się odnajduje stosunek dwóch odcinków współmiernych. Zadanie to rozwiązywaliśmy w ten sposób, że odkładaliśmy odcinek CD (rys. 255) na AB tyle razy, ile razy okazało się to możliwe, i tu, jak widzieliśmy, mogły zajść dwa przypadki:

a) odcinek CD odłoży się w AB całkowitą liczbę razy bez reszty, np. k razy, wtedy powiadamy, że stosunek AB:CD jest równy liczbie całkowitej k i piszemy

wzór 18

b) odcinek CD nie da się pomieścić w AB bez reszty, ale jego pewna część, np. n-ta część, odłoży się m razy w AB, wtedy stosunek wyraża się przez ułamek wzór 19 i piszemy

wzór 20

Rys. 255

Rys. 255

Jeżeli odcinek CD obierzemy za jednostkę, to wtedy odcinkowi AB odpowiadać będzie w pierwszym przypadku liczba całkowita k,

w drugim ułamek wzór 19. Każda z tych liczb nazywa się długością odcinka AB.

Odwrotnie: mając daną liczbę jednostek długości, zawsze możemy wykreślić odcinek, odpowiadający tej liczbie. Np. jeżeli wiadomo, że długość pewnego odcinka a jest równa 5, albo 3wzór 21 a za jednostkę wzięto odcinek l, to zawsze możemy wykreślić odcinek a = 5l, albo a = 3wzór 21 l.

Możemy zatem powiedzieć, że każda liczba naturalna albo wymierna wyznacza pewien odcinek, o ile jednostka długości jest dana.

295. Przechodzimy teraz do przypadku, kiedy dane odcinki są niewspółmierne. Niech takimi odcinkami będą odcinki AB i CD (rys. 256). Oznacza to, że dzieląc na dowolną ilość równych części odcinek CD i odkładając je na AB, nigdy nie natrafimy na taką część, która pomieściłaby się w AB całkowitą liczbę razy. A więc stosunek danych odcinków nie da się wyrazić ani liczbą całkowitą, ani liczbą wymierną. Inaczej mówiąc, jeżeli odcinek CD obierzemy za jednostkę, to nie możemy wyrazić długości odcinka AB ani liczbą całkowitą, ani liczbą wymierną.

.Rys. 256

Rys. 256

Dla ułatwienia rozumowania przypuśćmy, że CD jest bokiem kwadratu, a AB jego przekątną. Wtedy, odkładając AK = CD, przekonamy się, że otrzymamy na odcinku AB resztę KB mniejszą od CD, a więc odcinek AB będzie większy od AK = CD, ale mniejszy od AL = 2CD, czyli CD < AB < 2CD.

Różnicę AL - AK = KL = wzór 22CD podzielmy na dowolną liczbę, np. na 10 równych części i odłóżmy je na AB, począwszy od K, wtedy (zgodnie z pewnikiem Archimedesa) zawsze natrafimy na taką liczbę tych części, że odkładając je, tak jak było to opisane wyżej, na AB, otrzymamy, jako ostatni, pewien punkt K1 położony wewnątrz odcinka AB, a odmierzając jeszcze raz, otrzymamy już punkt L1 na przedłużeniu AB. Okaże się mianowicie, że:

1,4 CD < AB < 1,5 CD.

Różnicę AL1 - AK1 = K1L1 = CD podzielmy znowu na 10 części równych i odmierzmy je na AB (począwszy od K1). Okaże się, że koniec K2 pierwszej z niej znajduje się na lewo od B, a koniec drugiej L2 już na prawo od tego punktu i będzie

1,41 CD < AB < 1,42 CD.

Oczywiście nie moglibyśmy trafić na punkt B, dlatego że odcinki AB i CD są niewspółmierne.

Idźmy dalej: różnicę K2L2 = wzór 23CD podzielmy znowu na 10 części równych i okaże się, że

1,414 CD < AB < 1,415 CD.

Postępując w opisany sposób dalej, wciąż otrzymywać będziemy dwa odcinki, między którymi zawierać się będzie odcinek AB. Będzie mianowicie:

1 CD < AB < 2 CD

1,4 CD < AB < 1,5 CD

1,41 CD < AB < 1,42 CD

1,414 CD < AB < 1,415 CD

..........................

W ten sposób otrzymujemy dwa ciągi liczb, odpowiadających wymienionym poprzednio odcinkom:

1) 1; 1,4; 1,41; 1,414; ...

2) 2; 1,5; 1,42; 1,415; ...

Ponieważ bok i przekątna kwadratu są, jak wiemy, niewspółmierne, więc otrzymane ciągi będą nieskończone.

Wtedy stosunek wzór 24, którego nie możemy wyrazić ani liczbą całkowitą, ani w postaci ułamka da się wyznaczyć w następujący sposób:

Dzielimy wszystkie liczby wymierne, na dwie klasy, zaliczając do pierwszej klasy wszystkie liczby pierwszego z otrzymanych poprzednio ciągów i liczby od nich mniejsze, a do drugiej klasy wszystkie liczby drugiego ciągu i liczby od nich większe. Każda liczba pierwszej klasy jest mniejsza od każdej liczby drugiej klasy i każda pomyślana liczba musi należeć do jednej z tych klas.

Taki podział nosi nazwę przekroju liczb wymiernych.

Jeżeli, jak w omawianym przypadku, pierwsza klasa nie posiada liczby największej, a druga najmniejszej, przekrój wyznacza liczbę niewymierną.

Omówiony przez nas przekrój wyraża się symbolem wzór 25.

296. Widzimy teraz, że stosunek dowolnych dwóch odcinków możemy wyrazić liczbą. Jeżeli odcinki te są współmierne, to ich stosunek będzie liczbą wymierną, tj. całkowitą lub ułamkową, jeżeli zaś są niewspółmierne, liczbą niewymierną.

Każda liczba pierwszej klasy naszego przekroju daje przybliżoną wartość poszukiwanego stosunku (czyli liczby niewymiernej) z niedomiarem, każda zaś liczba drugiej klasy daje wartość przybliżoną z nadmiarem.

Jeżeli więc pragniemy znaleźć przybliżoną wartość stosunku wzór 24

z dokładnością do 1/n, dzielimy odcinek CD na n części równych i odkładamy je na AB. Wtedy, zgodnie z pewnikiem Archimedesa, zawsze znajdziemy taką liczbę m, że będzie (jeśli odcinki są niewspółmierne)

wzór 27

i przybliżona wartość tego stosunku z dokładnością do Rozmiar: 67 bajtów będzie (z niedomiarem) lub (z nadmiarem). To znaczy, że biorąc

Rozmiar: 145 bajtów

lub

Rozmiar: 197 bajtów

popełniamy błąd mniejszy od 1/n.

Jeżeli teraz odcinek CD obierzemy za jednostkę długości, to otrzymane liczby dadzą nam długość odcinka AB. A więc, mając obraną jednostkę, możemy powiedzieć, że każdemu odcinkowi przypiszemy liczbę wymierną lub niewymierną, zależnie od tego, czy dany odcinek jest współmierny z jednostką długości, czy też niewspółmierny.

297. Zachodzi teraz pytanie: czy odwrotnie każdej liczbie niewymiernej odpowiadać będzie pewien odcinek przy danej jednostce długości?

Niech będzie dana np. liczba niewymierna Rozmiar: 71 bajtów, jednostką długości niech będzie odcinek CD (rys. 256).

Rys. 256

Rys. 256

Wiemy już, że liczba niewymierna może być wyznaczona przez przekrój dwóch klas liczb wymiernych, spełniających wiadome warunki.

A więc podzielmy wszystkie liczby wymierne na dwie klasy, zaliczając do pierwszej klasy wszystkie liczby, których sześciany są mniejsze od 4, a do klasy drugiej wszystkie liczby, których sześciany są większe od 4:

1) 1; 1,5; 1,58; 1, 587; ...

2) 2; 1,6; 1,59; 1,588; ...

(Liczby te odnajdziemy, wyciągając pierwiastek sześcienny z 4).

Jeżeli teraz, mając CD = 1, wykreślimy najpierw odcinek AK = CD i AL = 2 CD, potem AK1 = 1,5 CD i AL1 = 1,6 CD itd., czyli jeżeli wykreślimy odcinki, których miarą jest każda z liczb wymiernych napisanych wyżej dwóch ciągów, to otrzymamy dwie klasy odcinków:

1. AK; AK1; AK2; AK3; ...

2. AL; AL1; AL2; AL3; ...

Biorąc pod uwagę końce K, K1, K2 ..., L, L1, L2 ... tych odcinków i włączając wszystkie punkty nieograniczonej prostej AL, otrzymamy dwie klasy punktów:

1. K, K1, K2, K3 ...

2. L, L1, L2, L3 ... ,

które mają taką własność, że wszystkie punkty pierwszej klasy leżą z lewej strony wszystkich punktów klasy drugiej i odległość między każdą parą odpowiednich punktów obu klas jest tym mniejsza, im dalej na prawo od K leży punkt pierwszej klasy, a im dalej na lewo od L leży punkt drugiej klasy.

Wtedy twierdzimy, że istnieje, i to tylko jeden, taki punkt B, który oddziela wszystkie punkty pierwszej klasy od punktów klasy drugiej.

Istnienia takiego punktu nie dowodzimy, przyjmujemy to założenie za pewnik, który nosi nazwę pewnika Dedekinda, matematyka niemieckiego z XIX w.

298. Na mocy powyższych rozumowań dochodzimy do wniosku, że wartość stosunku dowolnych dwóch odcinków a : b zawsze możemy wyrazić liczbą (wymierną lub niewymierną) i odwrotnie każdej liczbie odpowiadać będzie stosunek dwóch odcinków.

Jeżeli zaś odcinek b weźmiemy za jednostkę długości, to każdemu odcinkowi a odpowiadać będzie pewna liczba, która jest jego długością, i odwrotnie: każdej liczbie odpowiada pewien wyznaczony odcinek.

Jeżeli mamy dwa równe odcinki a = a', to ich długości będą równe.

Sumie dwóch odcinków a + a' odpowiadać będzie suma ich długości, co jest jasne dla odcinków współmiernych z jednostką długości. W przeciwnym razie należy tylko sumę liczb niewymiernych (m + m') wyznaczyć przez przekrój liczb wymiernych, zaliczając do pierwszej klasy liczby, stanowiące sumy odpowiednich liczb pierwszych klas przekrojów (m) i (m'), a do drugiej klasy liczby, stanowiące sumy odpowiednich liczb drugich klas przekrojów (m) i (m').

Korzystając np. z ciągów, które poprzednio otrzymaliśmy dla liczb Rozmiar: 69 bajtów i Rozmiar: 71 bajtów, powiemy, że liczbę (Rozmiar: 107 bajtów) wyznaczymy przez przekrój dwu klas liczb:

(1 + 1); (1,4 + 1,5); (1,41 + 1,58); (1,414 + 1,587); ...

(2 + 2); (1,5 + 1,6); (1,42 + 1,59); (1,415 + 1,588); ...

Idąc dalej, powiemy, że większemu odcinkowi odpowiadać będzie większa długość, różnicy dwóch odcinków odpowiadać będzie różnica ich długości i odwrotnie.

Widzimy więc, że między odcinkiem a jego długością istnieje ścisła zależność, która pozwala wyznaczyć odcinek, jeżeli liczba wyrażająca długość jest dana i odwrotnie wyznaczyć liczbę będącą długością, jeżeli odcinek jest dany.

Taką zależność nazywamy odpowiedniością doskonałą; pozwala ona działania na odcinkach zastępować analogicznymi działaniami na liczbach i odwrotnie.

299. W praktyce jako stałej jednostki do mierzenia odcinków używa się miary liniowej, zwanej metrem (m) i jego dziesiętnych części: centymetr (cm) = 0,01 m i milimetr (mm) = 0,001 m. Jeżeli chodzi o praktyczne zmierzenie danego odcinka, nie wchodzimy w to, czy on jest współmierny z jednostką, czy niewspółmierny: zawsze odnajdujemy długość odcinka z pewną dokładnością. Mając więc dany odcinek, przede wszystkim odnajdujemy (linijką podzieloną na centymetry i milimetry lub cyrklem), ile całkowitych centymetrów zawiera odcinek, ile następnie mieści się milimetrów, a resztę, która może istnieje, odrzucamy. Są przyrządy, używane w pomiarach, wymagających większej dokładności, przy pomocy których możemy odczytywać dziesiąte, a nawet setne części milimetra. Jest to dokładność w zupełności wystarczająca dla celów praktycznych.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7]  [  8]  [  9] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach