§ 53. Mierzenie kątów i łuków

300. Kąty i łuki należą, jak wiemy, do wielkości geometrycznych i do nich mogą być zastosowane te rozumowania, które przeprowadziliśmy, ustalając pojęcie o stosunku i mierzeniu odcinków.

Aby więc znaleźć stosunek dwóch kątów, należy postępować, tak jak z odcinkami: odejmować mniejszy kąt albo pewną jego część, od większego tyle razy, ile okaże się możliwe i stosunek będzie wyrażony albo liczbą całkowitą, albo ułamkiem, albo liczbą niewymierną.

Aby zmierzyć dany kąt, należy go porównać, czyli znaleźć stosunek do innego kąta, który obieramy za jednostkę. Za taką stałą jednostkę można wziąć kąt prosty - tak nawet robiliśmy, kiedy zachodziła potrzeba porównania kątów (kąt ostry, rozwarty) - w praktyce jednak ta jednostka jest zbyt wielka, bierzemy więc część kąta prostego za miarę kątów i nazywamy taki kąt stopniem kątowym (^o), jego 60-tą część

minutą ('), a jej 60-tą część minuty sekundą (''). Piszemy np.

= 36^o 24' 50'',

czytając: 36 stopni 24 minuty 50 sekund.

Widzimy zatem, że kąt prosty ma miarę 90^o, kąt półpełny ma miarę 180^o, więc niektóre twierdzenia, które dawniej otrzymaliśmy, można teraz wypowiedzieć w nieco innej formie, np. że suma kątów trójkąta jest równa 180^o, każdy z kątów trójkąta równobocznego ma miarę 60^o, suma kątów wielokąta jest równa 180^o (n - 2), gdzie n jest liczbą boków itp.

301. Za jednostkę łuków bierze się część całego okręgu, która nosi nazwę stopnia łukowego (kątowego) (^o), stopień dzieli się na 60 minut łukowych (kątowych) ('), minuta na 60 sekund ('') łukowych (kątowych).

Ponieważ, jak wiemy, równym kątom środkowym odpowiadają równe łuki i odwrotnie, więc jeżeli w kole (rys. 257) poprowadzimy dwie prostopadłe do siebie średnice AB i CD, to otrzymamy cztery kąty proste, którym, jako kątom równym sobie, odpowiadać będą równe łuki, więc każdy z nich np. CB, zawierać będzie 90^o. Jeżeli wyobrazimy sobie łuk EF = łuku CB, tj. łuk = 1^o, to łącząc jego końce ze środkiem koła, otrzymamy kąt środkowy EOF równy 1^o. Zatem

kąt środkowy zawiera w sobie tyle stopni kątowych, ile odpowiadający mu łuk ma stopni łukowych.

302. W praktyce do mierzenia kątów stopniami posługujemy się przyrządem, który nosi nazwę kątomierza i zbudowany jest na omówionej zależności między kątem środkowym a odpowiadającym mu łukiem.

Rys. 258

Kątomierz (rys. 258) jest półkolem (najczęściej metalowym), którego półokrąg jest podzielony na 180 stopni (w dokładniejszych kątomierzach podziałka jest zrobiona co stopnia), środkiem półkola jest punkt 0, średnicą AA'.

Aby zmierzyć dany kąt, kładziemy kątomierz w taki sposób, aby średnica miała kierunek jednego ramienia kąta (OA), a środek wypadał w wierzchołku kąta, wtedy drugie ramię kąta (OB) wskaże na łuku ilość stopni (liczonych od A), zawartych w łuku, a więc i w danym kącie.