§ 54. Metryczna definicja odcinków proporcjonalnych

303. Określenie. Jeżeli dane są cztery odcinki a, b, c, d takie, że stosunek pierwszych dwóch (a : b) jest równy stosunkowi dwóch ostatnich (c : d), to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję

a : b = c : d.

W swoim czasie poznaliśmy odcinki proporcjonalne (punkt 257), rozumiejąc przez to czwórki odcinków, które są parami wyznaczone przez dwie równoległe przecinające ramiona dowolnego kąta. Może się zrodzić pytanie, czy te dwa określenia proporcjonalności odcinków są równoważne? Czy ta proporcjonalność, dwojako określona, jest ta sama?

Uzasadnimy, że tak jest:

1. Rozważmy dowolny kąt M (rys. 259) i jego ramiona przetnijmy dwiema prostymi równoległymi. Otrzymujemy wtedy cztery odcinki MA, MB, MC i MD proporcjonalne według określenia wcześniejszego, które nazwiemy określeniem geometrycznym. Udowodnimy, że te odcinki będą również proporcjonalne według nowej definicji, którą nazywać będziemy metryczną, czyli udowodnimy, że stosunek MA : MB będzie równy stosunkowi odcinków MC : MD.

Dowód jest zbyteczny, jeżeli odcinki MA i MB są współmierne (punkt 256). Chodzi o przypadek, kiedy one są niewspółmierne. Wtedy, jak wiemy, stosunek MA : MB będzie się wyrażał liczbą niewymierną, która będzie wyznaczona przez pewien przekrój dwóch klas liczb wymiernych, a poszczególne liczby obu klas będą dawały przybliżone wartości liczby niewymiernej, np.

1; 1,4; 1,41; 1,313; ...

2; 1,5; 1,42; 1,415; ...

Każdej liczbie wymiernej, wziętej z jednej z tych klas, odpowiadać będzie odcinek współmierny z MB (mniejszy od MA, jeżeli bierzemy liczbę pierwszej klasy i większy od MA, jeżeli bierzemy liczbę drugiej klasy): np. odcinek MA' lub MA''.

Jeżeli przez koniec tego odcinka poprowadzimy prostą równoległą do BD, to na drugim ramieniu kąta otrzymamy odcinek MC' lub MC'' współmierny z MD, a stosunek ' będzie równy stosunkowi ' i podobnie

Będziemy więc mieli

.

Tak więc znajdziemy takie dwie liczby wymierne i , że

i

.

Zatem, stosunek odcinków MC : MD będzie wyrażony przez przekrój takich samych dwóch klas liczb jak stosunek MA : MB, czyli będzie

MA : MB = MC : MD, cbdd.

2. Odwrotnie, udowodnimy, że: jeżeli odcinki MA, MB, MC, MD są proporcjonalne według definicji metrycznej, tj. jeżeli stosunek MA:MB jest równy stosunkowi MC:MD, to odmierzając te odcinki na ramionach dowolnego kąta (rys. 260) i łącząc ich końce odcinkami, otrzymamy:

AC II BD.

Przypuśćmy, że tak nie jest i z punktu A wyprowadźmy AE II BD, wtedy odcinki MA, MB, ME i MD musiałyby być proporcjonalne geometrycznie, tzn. byłoby

MA, MBME, MD.

Zatem stosunek MA : MB byłby równy stosunkowi ME : MD, a więc byłoby

ME : MD = MC : MD,

a stąd musiałoby być ME = MC.

Tak więc proporcja geometryczna między odcinkami zdobyła wszystkie prawa proporcji metrycznej; jeżeli więc będziemy mieli do czynienia z proporcją

a : b = c : d,

możemy powiedzieć, że dane cztery odcinki są wyznaczone na ramionach kąta przez dwie proste równoległe (odcinki talesowskie) albo też, że stosunek długości pierwszych dwóch odcinków jest równy stosunkowi długość dwóch pozostałych.

Odtąd, rozważając proporcje możemy przez a, b, c, d rozumieć odcinki geometrycznie pojęte albo też ich długości.

Mając więc proporcję:

a : b = c : d,

możemy z niej utworzyć iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i otrzymać równość

a × d = b × c,

rozumiejąc przez a × d liczbę, która jest iloczynem długości odcinków a i d, i tak samo rozumiejąc iloczyn b × c.

Z proporcji

a : x = x : b

możemy utworzyć równość

x² = ab,

gdzie x² oznaczać będzie liczbę, która jest równa kwadratowi długości odcinka x.

Tu należy zauważyć, że długości odcinków a i b (albo c i d) mogą być niewymierne, wtedy iloczyn ab będzie wyznaczony przez taki przekrój, gdzie do pierwszej klasy będą należały iloczyny liczb, stanowiących pierwsze klasy przekrojów dla liczb a i b, podobnie do drugiej klasy będą należały iloczyny liczb stanowiących drugą klasę przekrojów. Jeżeli np. długość odcinka a = , odcinka b = , to iloczyn ab będzie wyznaczony przez dwie klasy liczb wymiernych: do pierwszej należeć będą iloczyny (wszelkie możliwe) liczb pierwszych klas dla i , a więc liczb:

1; 1,4; 1,41; 1,414; ...

oraz 1; 1,5; 1,58; 1,587; ...

więc liczby (1 × 1,5); (1,4 × 1,5); (1,41 × 1,5); ...

albo (1 × 1,58); (1,41 × 1,58); (1,414 × 1,58); ... itp.,

co symbolicznie możemy oznaczyć

przekr. (a × b) = przekr. (a) × przekr. (b).