§ 55. Związki metryczne między odcinkami w trójkącie i kole

304. Na mocy tego, co było wyżej powiedziane, możemy teraz, powracając do niektórych twierdzeń, wyrażających proporcjonalne zależności między odcinkami trójkąta prostokątnego (patrz punkt 284) sformułować je inaczej, traktując odcinki i proporcje między nimi z punktu widzenia metrycznego.

Rys. 261

A więc, jeżeli w trójkącie prostokątnym ABC (rys. 261) poprowadzimy z wierzchołka C kąta prostego wysokość CD, to:

AD : CD = CD : DB,

stąd mamy CD² = AD × DB,

tj. kwadrat długości wysokości trójkąta prostokątnego, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, jest równy iloczynowi długości odcinków, na które została podzielona przeciwprostokątna, albo krócej:

kwadrat wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest równy iloczynowi odcinków tej przeciwprostokątnej.

Podobnie mieliśmy:

AB : AC = AC : AD,

skąd AC² = AB × AD,

tj. w trójkącie prostokątnym kwadrat przyprostokątnej jest równy iloczynowi przeciwprostokątnej i rzutu na nią tej przyprostokątnej.

Ściśle: kwadrat długości przyprostokątnej jest równy iloczynowi długości przeciwprostokątnej i rzutu na nią przyprostokątnej.

Jeżeli tę samą zależność zastosujemy do drugiej przyprostokątnej, to otrzymamy

CB² = AB × DB,

a dodając tę równość do poprzedniej, mamy

AC² + CB² = AB (AD + DB),

czyli AB² = AC² + CB²,

tj. w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów obu przyprostokątnych.

Znowu ściśle należałoby powiedzieć: kwadrat długości itd.

Jest to zależność wielkiej wagi: pozwala ona obliczyć jeden z boków trójkąta prostokątnego, jeżeli dwa pozostałe są dane. Np. przyprostokątne są odpowiednio długości a i b, wtedy przeciwprostokątna c ma długość

a przyprostokątna

Np., jeśli a = 12 cm, c = 15 cm, to

305. Ostatnie twierdzenie można uogólnić na przypadek trójkąta ukośnokątnego.

Rys. 262

1. Niech będzie dany ABC (rys. 262), w którym kąt A jest ostry. Obierając bok AB za podstawę, poprowadźmy wysokość CD, wtedy otrzymamy dwa trójkąty prostokątne CDB i ACD. Z pierwszego trójkąta mamy:

CB² = CD² + DB²,

z drugiego:

CD² = AC² - AD².

Podstawiając w pierwszej z tych równości wartość CD² i zastępując DB przez (AB - AD), otrzymamy CB² = (AC² - AD²) + (AB - AD)², skąd ostatecznie:

CB² = AB² + AC² - 2 AB × AD.

Mamy zatem twierdzenie następujące:

w trójkącie kwadrat boku, położonego naprzeciw kąta ostrego, jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn podstawy i jej odcinka, liczonego od wierzchołka kąta ostrego do spodka wysokości.

Rys. 263

2. Jeżeli w danym trójkącie (rys. 263) kąt CAB jest rozwarty, to biorąc znowu za podstawę bok AB i za wysokość CD, otrzymamy dwa trójkąty prostokątne: CDB i ACD, a z nich, jak poprzednio, otrzymamy

CB² = AB² + AC² - 2 AB × AD

(sformułować to twierdzenie słowami).

Uwaga. Za podstawę trójkąta można było obrać bok AC i poprowadzić względem niej wysokość, wtedy zamiast iloczynu AB . AD otrzymamy inny, łatwo jednak udowodnić (jak?), że te iloczyny będą sobie równe.

306. Sposobem sprowadzenia do niedorzeczności można dowieść następujących twierdzeń odwrotnych:

w trójkącie kąt jest ostry, rozwarty lub prosty, zależnie od tego, czy kwadrat boku położonego naprzeciw niego jest mniejszy, większy lub równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.

Np. 1) Jeżeli boki trójkąta są odpowiednio równe: 10 cm, 8 cm, i 5 cm, to trójkąt istnieje, dlatego że 8 - 5 < 10 < 8 + 5, a kąt położony naprzeciw pierwszego boku jest rozwarty, dlatego że 10² > 8² + 5².

2) Jeżeli boki trójkąta są równe: 15 cm, 14 cm i 13 cm, to kąt położony naprzeciw pierwszego boku jest ostry, bo 15² < 14² + 13².

3) Jeżeli boki trójkąta są równe: 13 cm, 12 cm i 5 cm, to trójkąt jest prostokątny, bo 13² = 12² + 5².

307. Wnioski. 1) Jeżeli w trójkącie ABC (rys. 264) wszystkie trzy boki są dane, to stosując twierdzenie powyżej udowodnione, mamy:

CB² = AC² + AB² - 2 AB × AD

(albo + 2 AB × AD, jeżeli kąt A jest rozwarty). W napisanej równości niewiadomy jest tylko odcinek AD, więc można go odnaleźć:

Mając zaś AD, możemy z trójkąta prostokątnego ACD obliczyć bok CD czyli wysokość danego trójkąta.

2) W danym trójkącie ABC (rys. 265) niech E będzie środkiem boku AB, więc CE środkową. Poprowadźmy wysokość CD względem AB, wtedy z trójkątów ACE i ECB mamy:

(1) AC² = CE² + AE² - 2 AE × DE

(2) CB² = CE² + EB² + 2 EB × DE

ponieważ AE = EB = , więc dodając, otrzymamy:

AC² + CB² = 2 CE² + 2 AE²,

Zatem w trójkącie suma kwadratów dwóch boków jest równa podwojonemu kwadratowi środkowej względem boku trzeciego powiększonej o podwojony kwadrat połowy tego boku.

Z tej zależności możemy obliczyć środkową w trójkącie, jeżeli dane są trzy boki.

3) Jeżeli otrzymane poprzednio dwie równości (2) i (1) odejmiemy stronami, otrzymamy

CB² - AC² = 2 AB × DE.

Stąd w trójkącie różnica kwadratów dwóch boków jest równa podwojonemu iloczynowi boku trzeciego i rzutu na niego linii środkowej względem tegoż boku.

4) Dany jest równoległobok ABCD (rys. 266). Poprowadźmy BE AD i CF AD, wtedy z trójkątów ABD i ACD mamy

BD² = AB² + AD² - 2 AD × AE,

AC² = CD² + AD² + 2 AD × DF.

Ponieważ AE = DF i AD = BC, więc dodając stronami, otrzymamy:

BD² + AC² = AB² + BC² + CD² + AD², zatem, w równoległoboku suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich czterech boków.

Rys. 266

308. Przypominając własności odcinków proporcjonalnych w kole, możemy o dwóch cięciwach AB i CD, przecinających się wewnątrz koła (rys. 267), powiedzieć, że

AM : DM = MC : MB,

a stąd

AM × MB = DM × MC.

Jeśli przez punkt M poprowadzimy jeszcze dowolną cięciwę FE, to będzie

AM × MB = DM × MC = FM × ME.

Ogólnie wszystkie cięciwy przecinające się w jednym punkcie wewnątrz koła mają tę własność, że iloczyn odcinków każdej cięciwy jest stały.

Jeżeli z pewnego punktu zewnętrznego A (rys. 268) poprowadzimy sieczne do danego koła, to będzie:

AB : AC = AE : AD,

stąd zaś

AB × AD = AC × AE;

oraz dla stycznej AG:

AB : AG = AG : AD,

zatem

AB × AD = AG².

Gdybyśmy z punktu A wyprowadzili jeszcze jedną sieczną, to znowu iloczyn siecznej i jej odcinka zewnętrznego będzie równy poprzedniemu iloczynowi.

Wykazaliśmy, że jeżeli z punktu położonego poza kołem wyprowadzimy dowolną ilość siecznych do danego koła, to iloczyn każdej siecznej i jej odcinka zewnętrznego będzie stały i równy kwadratowi stycznej wyprowadzonej z tego samego punktu.

Ponieważ chodzi tu o długość odcinka, więc należy pamiętać, że przez sieczną rozumiemy odcinek, liczony od punktu, z którego została wyprowadzona, do dalszego punktu przecięcia z okręgiem (AB), długością stycznej będzie odcinek (AG), liczony od jej punktu początkowego do punktu styczności.

Uwaga. Łatwo można udowodnić, że odwrotnie: jeżeli

AB × AD = AC × AE,

to cztery punkty B, D, E i C leżą na jednym okręgu.

309. Twierdzenie. W każdym trójkącie iloczyn dwóch boków jest równy podwojonemu iloczynowi promienia okręgu opisanego i wysokości względem trzeciego boku.

Na ABC (rys. 269) opiszmy okrąg, spuśćmy BD AC. Jeżeli poprowadzimy średnicę BE i połączymy punkty E i C, to ABD będzie podobny do BEC, ponieważ A = E, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku BC, a BDA = BCE, jako kąty proste. Otrzymamy więc proporcję

stąd AB × BC = BE × BD,

czyli

AB × BC = 2 BO × BD, cbdd.

310. Twierdzenie. W każdym trójkącie iloczyn dwóch boków jest równy kwadratowi dwusiecznej kąta między nimi zawartego powiększonej o iloczyn odcinków, na które ta dwusieczna podzieliła trzeci bok.

Na trójkącie ABC (rys. 270) opiszmy okrąg. Jeżeli środek łuku AC, czyli punkt E, połączymy z wierzchołkiem B, to BD będzie dwusieczną kąta ABC.

Połączmy teraz punkty E i C, wtedy będzie ABD BEC, dlatego że A = E jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku BC oraz ABD = EBC, a więc otrzymamy proporcję

skąd

(1) AB × BC = BD × BE = BD × (BD + DE) = BD² + BD × DE,

Łatwo teraz zauważyć, że ABD DEC, ponieważ  A =  E, a kąty przy punkcie D są równe jako kąty wierzchołkowe, a zatem

skąd BD × DE = AD × DC.

Podstawiając ten iloczyn do równości (1), mamy:

AB × BC = BD² + AD × DC, cbdd.

Uwaga. Na mocy tego twierdzenia można obliczyć dwusieczną w trójkącie, mając długości jego boków.

Niech np. AB = 5 m, BC = 10 m, AC = 9 m.

Przede wszystkim trzeba będzie znaleźć długości odcinków AD i DC, ale jak wiadomo:

AD : DC = AB : BC = 5 : 10 = 1 : 2,

a więc podzielmy bok AC = 9 m w stosunku 1 : 2, będziemy mieli AD = = 3 m, DC = 6 m.

Z twierdzenia wiemy, że

AB × BC = BD² + AD × DC,

skąd

BD² = AB × BC - AD × DC,

czyli

BD² = 5 × 10 - 3 × 6 = 50 - 18 = 32,

a więc

BD = = 4 = 5,65 (z błędem < 0,01).

* 311. Twierdzenie (Ptolemeusza). W czworokącie, wpisanym w okrąg, iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.

Niech będzie dany dowolny czworokąt ABCD (rys. 271) wpisany w okrąg, mamy dowieść, że

AC × BD = AB × CD + BC × AD.

Z wierzchołka B wyprowadźmy prostą BE tak, aby ABD = EBC. Otrzymamy dwa trójkąty: ABD i EBC, w których ABD = EBC (z konstrukcji), ADB = ECB, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku, a więc ABD EBC, a zatem

EC : AD = BC : BD,

stąd zaś

(1) EC × BD = AD × BC.

Zauważmy teraz dwa trójkąty: ABE i DBC, w których równe są kąty ABE i DBC, jako złożone z równych kątów, i kąty BAE i BDC, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku, trójkąty te są do siebie podobne, zatem boki odpowiednie są proporcjonalne:

AE : DC = AB : BD,

stąd zaś

(2) AE × BD = AB × DC.

Dodając teraz równości (1) i (2), otrzymamy:

AE × BD + EC × BD = AB × DC + AD × BC,

czyli

(AE + EC) × BD = AB × DC + AD × BC,

ostatecznie AC × BD = AB × DC + AD × BC, cbdd.