Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
§ 52. O mierzeniu odcinków
§ 53. Mierzenie kątów i łuków
§ 54. Metryczna definicja odcinków proporcjonalnych
§ 55. Związki metryczne między odcinkami w trójkącie i kole
§ 56. O liniach poprzecznych w trójkącie
§ 57. Potęga punktu względem koła
§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych
§ 59. Wielokąty foremne
§ 60. Ćwiczenia
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 57. Potęga punktu względem koła

318. Jeżeli przez dany punkt poprowadzimy prostą, przecinającą dany okrąg, to otrzymamy dwa odcinki, które wyznaczają odległości (bliższą i dalszą) tego punktu od okręgu.

Potęgą punktu względem koła nazywamy iloczyn odległości tego punktu od okręgu koła. Jakkolwiek odległości punktu od okręgu można mierzyć długością dowolnej siecznej i jej odcinka zewnętrznego, to jednak potęga punktu nie będzie zależała od kierunku siecznej, dlatego że, jak wiemy, iloczyn siecznej i jej odcinka zewnętrznego jest stały, można więc zawsze dla znalezienia potęgi danego punktu poprowadzić sieczną przez środek koła.

Tak np. potęgą punktu A (rys. 278) względem koła O jest iloczyn AB × AC.

Rys. 278

Rys. 278

Jeżeli odległość AO = d, a promień koła równa się R < d, to potęgą punktu A będzie AB × AC = (d + R) × (d - R) = d2 - R2.

Jeśli d < R, tak jak na rys. 278 po prawej, to potęgą punktu A' względem koła O˘ (jeżeli A'O' = d), jest iloczyn A'D × A'E = (R + d) × (R - d) = R2 - d2 = - (d2 - R2).

A więc możemy powiedzieć, że potęga punktu względem koła równa się różnicy d2 - R2, wziętej ze znakiem dodatnim, jeżeli punkt leży na zewnątrz koła i ze znakiem ujemnym, jeżeli leży wewnątrz koła.

Oczywiście, jeżeli punkt leży na okręgu, to jego potęga jest równa zeru.

319. Twierdzenie. Miejscem geometrycznym punktów, których potęgi względem dwóch danych kół są równe, jest prosta prostopadła do linii środków tych kół.

Niech K (rys. 279) będzie jednym z punktów żądanego miejsca geometrycznego. Jeżeli promień pierwszego okręgu jest równy R, a drugiego R', to potęgą punktu K względem koła o środku w punkcie O jest KO2 - R2, a względem koła o środku w punkcie O' jest KO'2 - R'2, powinno więc być:

KO2 - R2 = KO'2 - R'2, czyli KO2 - KO'2 = R2 - R'2.

Rys. 279

Rys. 279

Stąd widzimy, że ruchomy punkt K powinien być wierzchołkiem takiego trójkąta OKO', w którym różnica kwadratów dwóch boków jest stała. A że ta różnica, jak wiemy, równa się 2 OO', pomnożonemu przez rzut środkowej na OO', a OO' jest stałe, więc ten rzut powinien być stały, a to będzie wtedy, jeżeli wierzchołek K leży na prostej prostopadłej do OO', co dowodzi twierdzenia.

320. Miejsce geometryczne punktów o jednakowej potędze względem dwóch kół danych nazywamy linią potęgową tych kół.

Wniosek 1. Potęga punktu K względem koła o środku w punkcie O, łatwo spostrzec, jest równa kwadratowi stycznej (KA2 = KO2 - AO2), więc linia potęgowa dwóch kół jest miejscem geometrycznym punktów, z których styczne, wyprowadzone do tych kół, są równe.

Wniosek 2. Linia potęgowa dwóch przecinających się kół przechodzi przez ich punkty wspólne dlatego, że punkty wspólne mają potęgi równe zeru, a więc te punkty jako punkty o jednakowej potędze leżą na linii potęgowej.

Wniosek 3. Linia potęgowa dwóch kół stycznych przechodzi przez ich punkt styczności.

321. Twierdzenie. Jeżeli środki trzech kół nie leżą na jednej prostej, to linie potęgowe tych kół przecinają się w jednym punkcie.

Rzeczywiście, jeżeli środki O, O', O'' trzech danych kół nie leżą na jednej prostej, to proste OO' i OO'' przecinają się, a że linia potęgowa jest prostopadła do linii środków, więc linie potęgowe przetną się ze sobą w punkcie, którego potęga względem każdego z trzech kół jest jednakowa.

Punkt przecięcia się linii potęgowych nazywamy środkiem potęgowym trzech danych kół.

Ten punkt jest ważny z tego względu, że pozwala wykreślić bardzo łatwo linię potęgową dwóch danych kół, które się nie przecinają.

Rys. 280

Rys. 280

Jeżeli są dane dwa koła o środkach w punktach O i O' (rys. 280), to aby odnaleźć linię potęgową, wykreślamy trzecie koło O'', które przecina dwa dane: pierwsze w punktach A i B, drugie w punktach C i D. Wtedy AB jest linią potęgową kół o środkach O i O'', CD linią potęgową kół o środkach w O' i O'' a punkt przecięcia się S tych linii jest środkiem potęgowym wszystkich trzech kół. Jeżeli teraz z punktu S spuścimy prostopadłą na linię środków OOV, to otrzymamy w ten sposób linię potęgową KL dwóch danych kół.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6 [  7]  [  8]  [  9] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach