Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
§ 52. O mierzeniu odcinków
§ 53. Mierzenie kątów i łuków
§ 54. Metryczna definicja odcinków proporcjonalnych
§ 55. Związki metryczne między odcinkami w trójkącie i kole
§ 56. O liniach poprzecznych w trójkącie
§ 57. Potęga punktu względem koła
§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych
§ 59. Wielokąty foremne
§ 60. Ćwiczenia
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych

322. Jeżeli na symbole a, b, c, itd. patrzeć będziemy dwojako, traktując je jako liczby, a z drugiej strony jako odcinki, to możemy zadania geometryczne polegające na wykreśleniu pewnego odcinka zastępować analogicznymi zadaniami rachunkowymi. Odwrotnie wzór algebraiczny, który był rezultatem pewnych działań rachunkowych, możemy interpretować geometrycznie, czyli podać konstrukcję geometryczną tego wzoru.

Jeżeli np. symbole a i b oznaczają pewne liczby, wtedy wzór

x = a Rozmiar: 52 bajtów b,

oznaczający sumę lub różnicę danych liczb, można odtworzyć geometrycznie, traktując a i b jako odcinki, których długości są dane. Sumę lub różnicę odcinków zbudować potrafimy.

Na poniższych przykładach poznamy najprostsze, a zarazem podstawowe zadania na interpretację geometryczną wzorów algebraicznych.

Zadanie 1. Wykreślić odcinek x według wzoru:

Rozmiar: 114 bajtów.

Jeżeli dany wzór napiszemy w postaci proporcji c : b = a : x, to widzimy, że zadanie polegać będzie na kreśleniu odcinka czwartego proporcjonalnego do trzech danych.

Zadanie 2. Wykreślić odcinek x według wzoru:

Rozmiar: 105 bajtów

Napiszemy znowu proporcję: b : a = a : x i mamy znane już zadanie o odcinku trzecim proporcjonalnym do dwóch danych.

Zadanie 3. Wykreślić Rozmiar: 151 bajtów .

Znajdźmy najpierw, jak w zadaniu 1:

Rozmiar: 124 bajtów(f : c = b : y),

a potem

Rozmiar: 123 bajtów(d : y = a : x).

Zadanie 4. Wykreślić

Rozmiar: 125 bajtów .

Napiszemy najpierw x2 = a × b, a potem

b : x = x : a

i widzimy, że zadanie polega na wykreśleniu odcinka średniego proporcjonalnego między dwoma danymi odcinkami.

Zadanie 5. Wykreślić Rozmiar: 125 bajtów.

Odcinek x będzie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne są odcinkami a i b.

Jeżeli Rozmiar: 125 bajtów,

to łatwo domyślić się geometrycznego charakteru x.

Zadanie 6. Wykreślić Rozmiar: 137 bajtów

Wykreślmy naprzód

Rozmiar: 102 bajtów i Rozmiar: 104 bajtów,

a potem

Rozmiar: 123 bajtów

Zadanie 7. Wykreślić x = aRozmiar: 70 bajtów.

Mamy Rozmiar: 112 bajtów = Rozmiar: 152 bajtów,

skąd widzimy, że x jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego.

Inaczej Rozmiar: 268 bajtów; dalej, jak w zadaniu 4.

Zadanie 8. Znaleźć dwa odcinki, których suma jest równa a, a iloczyn jest równy b2.

Odcinek a bierzemy za średnicę koła, b za prostopadłą, spuszczoną z punktu okręgu na średnicę, wtedy odcinki prostopadłej będą żądane (patrz punkt 304).

Wniosek. Podany sposób daje zarazem rozwiązanie graficzne równania kwadratowego x2 - ax + b2 = 0, o ile przez a i b rozumiemy długości danych odcinków, gdyż jak wiadomo, suma pierwiastków tego równania wynosi a, a iloczyn jest równy b2.

Jeżeli równanie ma postać x2 + ax + b2 = 0, to obydwa pierwiastki będą ujemne i ich wartości bezwzględne będą takie same, jak w równaniu poprzednim.

Zadanie 9. Znaleźć dwa odcinki, których różnica jest równa a, a iloczyn jest równy b2.

Zadanie rozwiązuje się w oparciu o twierdzenie o siecznej i stycznej, wyprowadzonych z tego samego punktu na zewnątrz koła (patrz punkt 308). Średnicą będzie odcinek a, długością stycznej (prowadzonej przez koniec średnicy) będzie b, wtedy sieczna, wyprowadzona z końca stycznej i przechodząca przez środek koła, będzie większym odcinkiem żądanym, a jej odcinek zewnętrzny mniejszym.

Wniosek. Podany sposób daje rozwiązanie równania x2 + ax - b2 = 0, gdzie a i b są długościami danych odcinków. Równanie ma tylko jeden pierwiastek dodatni i będzie odpowiadała mu sieczna, a jej odcinek zewnętrzny będzie odpowiadał bezwzględnej wartości drugiego pierwiastka, który jest ujemny.

Jeżeli równianie ma postać: x2 - ax - b2 = 0, to rozwiązanie pozostanie takie jak wyżej, tylko role pierwiastków będą zmienione.

Zadania (10-17). Wykonać konstrukcje geometryczne następujących wzorów:

10. Rozmiar: 132 bajtów 12. Rozmiar: 136 bajtów 14. Rozmiar: 157 bajtów

11. Rozmiar: 128 bajtów 13. Rozmiar: 150 bajtów 15. Rozmiar: 131 bajtów

16. Rozmiar: 128 bajtów 17. Rozmiar: 121 bajtów.

Zadanie 18. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dwa dane punkty i jest styczny do danej prostej.

Rys. 281
Rys. 281

Analiza. Dane są punkty A i B (rys. 281) oraz prosta. Przypuśćmy, że żądane koło jest zbudowane i punktem styczności z daną prostą jest punkt C.

Jeżeli przez dane punkty A i B poprowadzimy prostą ABD, to spostrzeżemy, że punkt D (przypadek, gdy prosta AB jest równoległa do danej prostej, jest oczywisty) na danej prostej jest wyznaczony, chodzić więc będzie tylko o wyznaczenie punktu styczności C, czyli o znalezienie odcinka DC.

Wykorzystując znaną własność siecznej i stycznej do koła, mamy

DC2 = DA × DB,

a stąd

Rozmiar: 167 bajtów

Ponieważ odcinki DA i DB są dane, więc zadanie polegać będzie na konstrukcji otrzymanego wzoru (patrz zadanie 4).

Rys. 282

Rys. 282

Zadanie 19. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dany punkt i jest styczny do prostej i do danego koła.

Analiza. Dany jest punkt A, prosta MN i koło o środku O (rys. 282), środkiem koła szukanego niech będzie X.

Połączmy punkty styczności D i E i przedłużmy prostą DE do punktu B. Z punktu B wyprowadźmy średnicę, która przetnie daną prostą w punkcie C. Z równości kątów CBD i EDX (= BEO = DEX) wnosimy, że proste BC i XD są równoległe, a zatem prosta BC jest prostopadła do MN.

Dalej, z podobieństwa trójkątów prostokątnych CBD i FBE dostajemy:

BC × BF = BD × BE.

Jeżeli natomiast poprowadzimy prostą BAA', to

BD × BE = BA' × BA, więc

BC × BF = BA' × BA.

Stąd wnioskujemy, że cztery punkty: C, F, A i A' leżą na jednym okręgu, a że trzy z nich C, F i A są znane, więc poprowadziwszy przez nie okrąg, otrzymamy, jako przecięcie z prostą BA, punkt A'. W ten sposób żądane koło będzie wyznaczone przez dwa punkty (A i A') i prostą (MN), co sprowadza się do zadania 18.

Zadanie 20. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dwa dane punkty i jest styczny do danego koła.

Analiza. Dane są punkty: A i B i koło o środku w punkcie O (rys. 283), środkiem koła szukanego niech będzie X. Przez punkty A i B poprowadźmy dowolne koło przecinające dane koło w punktach C i D. Przecięcie prostych AB i CD, tj. punkt P na rys. 283, będzie środkiem potęgowym tych kół, a więc prowadząc z tego punktu styczną do danego koła, czyli linię potęgową kół o środkach w punktach O i X, otrzymujemy w przecięciu z OX punkt styczności E.

Rys. 283

Rys. 283

A więc środek X znajdziemy jako przecięcie prostej OE z prostą prostopadłą wystawioną ze środka odcinka AB.

Uwaga. Ostatnie trzy zadania stanowią fragment znanego zagadnienia Apoloniusza o kole stycznym.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7 [  8]  [  9] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach