§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych

322. Jeżeli na symbole a, b, c, itd. patrzeć będziemy dwojako, traktując je jako liczby, a z drugiej strony jako odcinki, to możemy zadania geometryczne polegające na wykreśleniu pewnego odcinka zastępować analogicznymi zadaniami rachunkowymi. Odwrotnie wzór algebraiczny, który był rezultatem pewnych działań rachunkowych, możemy interpretować geometrycznie, czyli podać konstrukcję geometryczną tego wzoru.

Jeżeli np. symbole a i b oznaczają pewne liczby, wtedy wzór

x = a b,

oznaczający sumę lub różnicę danych liczb, można odtworzyć geometrycznie, traktując a i b jako odcinki, których długości są dane. Sumę lub różnicę odcinków zbudować potrafimy.

Na poniższych przykładach poznamy najprostsze, a zarazem podstawowe zadania na interpretację geometryczną wzorów algebraicznych.

Zadanie 1. Wykreślić odcinek x według wzoru:

.

Jeżeli dany wzór napiszemy w postaci proporcji c : b = a : x, to widzimy, że zadanie polegać będzie na kreśleniu odcinka czwartego proporcjonalnego do trzech danych.

Zadanie 2. Wykreślić odcinek x według wzoru:

Napiszemy znowu proporcję: b : a = a : x i mamy znane już zadanie o odcinku trzecim proporcjonalnym do dwóch danych.

Zadanie 3. Wykreślić .

Znajdźmy najpierw, jak w zadaniu 1:

a potem

(d : y = a : x).

Zadanie 4. Wykreślić

.

Napiszemy najpierw x² = a × b, a potem

b : x = x : a

i widzimy, że zadanie polega na wykreśleniu odcinka średniego proporcjonalnego między dwoma danymi odcinkami.

Zadanie 5. Wykreślić .

Odcinek x będzie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne są odcinkami a i b.

Jeżeli ,

to łatwo domyślić się geometrycznego charakteru x.

Zadanie 6. Wykreślić

Wykreślmy naprzód

i ,

a potem

Zadanie 7. Wykreślić x = a.

Mamy = ,

skąd widzimy, że x jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego.

Inaczej ; dalej, jak w zadaniu 4.

Zadanie 8. Znaleźć dwa odcinki, których suma jest równa a, a iloczyn jest równy b².

Odcinek a bierzemy za średnicę koła, b za prostopadłą, spuszczoną z punktu okręgu na średnicę, wtedy odcinki prostopadłej będą żądane (patrz punkt 304).

Wniosek. Podany sposób daje zarazem rozwiązanie graficzne równania kwadratowego x² - ax + b² = 0, o ile przez a i b rozumiemy długości danych odcinków, gdyż jak wiadomo, suma pierwiastków tego równania wynosi a, a iloczyn jest równy b².

Jeżeli równanie ma postać x² + ax + b² = 0, to obydwa pierwiastki będą ujemne i ich wartości bezwzględne będą takie same, jak w równaniu poprzednim.

Zadanie 9. Znaleźć dwa odcinki, których różnica jest równa a, a iloczyn jest równy b².

Zadanie rozwiązuje się w oparciu o twierdzenie o siecznej i stycznej, wyprowadzonych z tego samego punktu na zewnątrz koła (patrz punkt 308). Średnicą będzie odcinek a, długością stycznej (prowadzonej przez koniec średnicy) będzie b, wtedy sieczna, wyprowadzona z końca stycznej i przechodząca przez środek koła, będzie większym odcinkiem żądanym, a jej odcinek zewnętrzny mniejszym.

Wniosek. Podany sposób daje rozwiązanie równania x² + ax - b² = 0, gdzie a i b są długościami danych odcinków. Równanie ma tylko jeden pierwiastek dodatni i będzie odpowiadała mu sieczna, a jej odcinek zewnętrzny będzie odpowiadał bezwzględnej wartości drugiego pierwiastka, który jest ujemny.

Jeżeli równianie ma postać: x² - ax - b² = 0, to rozwiązanie pozostanie takie jak wyżej, tylko role pierwiastków będą zmienione.

Zadania (10-17). Wykonać konstrukcje geometryczne następujących wzorów:

10. 12. 14.

11. 13. 15.

16. 17. .

Zadanie 18. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dwa dane punkty i jest styczny do danej prostej.

Analiza. Dane są punkty A i B (rys. 281) oraz prosta. Przypuśćmy, że żądane koło jest zbudowane i punktem styczności z daną prostą jest punkt C.

Jeżeli przez dane punkty A i B poprowadzimy prostą ABD, to spostrzeżemy, że punkt D (przypadek, gdy prosta AB jest równoległa do danej prostej, jest oczywisty) na danej prostej jest wyznaczony, chodzić więc będzie tylko o wyznaczenie punktu styczności C, czyli o znalezienie odcinka DC.

Wykorzystując znaną własność siecznej i stycznej do koła, mamy

DC² = DA × DB,

a stąd

Ponieważ odcinki DA i DB są dane, więc zadanie polegać będzie na konstrukcji otrzymanego wzoru (patrz zadanie 4).

Rys. 282

Zadanie 19. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dany punkt i jest styczny do prostej i do danego koła.

Analiza. Dany jest punkt A, prosta MN i koło o środku O (rys. 282), środkiem koła szukanego niech będzie X.

Połączmy punkty styczności D i E i przedłużmy prostą DE do punktu B. Z punktu B wyprowadźmy średnicę, która przetnie daną prostą w punkcie C. Z równości kątów CBD i EDX (= BEO = DEX) wnosimy, że proste BC i XD są równoległe, a zatem prosta BC jest prostopadła do MN.

Dalej, z podobieństwa trójkątów prostokątnych CBD i FBE dostajemy:

BC × BF = BD × BE.

Jeżeli natomiast poprowadzimy prostą BAA', to

BD × BE = BA' × BA, więc

BC × BF = BA' × BA.

Stąd wnioskujemy, że cztery punkty: C, F, A i A' leżą na jednym okręgu, a że trzy z nich C, F i A są znane, więc poprowadziwszy przez nie okrąg, otrzymamy, jako przecięcie z prostą BA, punkt A'. W ten sposób żądane koło będzie wyznaczone przez dwa punkty (A i A') i prostą (MN), co sprowadza się do zadania 18.

Zadanie 20. Zbudować koło, którego okrąg przechodzi przez dwa dane punkty i jest styczny do danego koła.

Analiza. Dane są punkty: A i B i koło o środku w punkcie O (rys. 283), środkiem koła szukanego niech będzie X. Przez punkty A i B poprowadźmy dowolne koło przecinające dane koło w punktach C i D. Przecięcie prostych AB i CD, tj. punkt P na rys. 283, będzie środkiem potęgowym tych kół, a więc prowadząc z tego punktu styczną do danego koła, czyli linię potęgową kół o środkach w punktach O i X, otrzymujemy w przecięciu z OX punkt styczności E.

A więc środek X znajdziemy jako przecięcie prostej OE z prostą prostopadłą wystawioną ze środka odcinka AB.

Uwaga. Ostatnie trzy zadania stanowią fragment znanego zagadnienia Apoloniusza o kole stycznym.