Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
§ 52. O mierzeniu odcinków
§ 53. Mierzenie kątów i łuków
§ 54. Metryczna definicja odcinków proporcjonalnych
§ 55. Związki metryczne między odcinkami w trójkącie i kole
§ 56. O liniach poprzecznych w trójkącie
§ 57. Potęga punktu względem koła
§ 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych
§ 59. Wielokąty foremne
§ 60. Ćwiczenia
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 59. Wielokąty foremne

323. Określenie. Wielokąt nazywamy wielokątem foremnym, jeżeli ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.

Trójkąt równoboczny jest wielokątem foremnym (mając boki równe, ma kąty równe). Kwadrat jest czworokątem foremnym.

Wniosek 1. Jeżeli wielokąt ma n boków, to jak wiadomo, suma wszystkich kątów wewnętrznych jest równa 180oˇ(n - 2), a więc każdy kąt ma miarę Rozmiar: 187 bajtów. Np. w sześciokącie foremnym każdy kąt ma miarę Rozmiar: 213 bajtów, a w dziesięciokącie foremnym 144o itd.

Wniosek 2. Wielokąty foremne o jednakowej liczbie boków są do siebie podobne, gdyż będą miały równe kąty, a boki proporcjonalne, co jest oczywiste.

324. Twierdzenie. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg.

Rys. 284

Rys. 284

Podzielmy dwa kąty, np. A i B (rys. 284) danego wielokąta foremnego na połowy, punkt przecięcia się dwusiecznych oznaczmy O. Pokażemy, że ten punkt będzie środkiem okręgu opisanego i wpisanego.

1) Zauważmy przede wszystkim, że trójkąt AOB ma kąty 1 i 2 równe, jako połowy kątów równych, a więc i przeciwległe boki ma równe, tj. AO = OB. Trójkąty AOB i BOC są przystające, bo AB = BC (z założenia), OB = OB (jako bok wspólny), a Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 3 (jako połowy kąta B). Stąd zaś wynika, że BOC jest także trójkątem równoramiennym, skąd BO = CO. W taki sam sposób można dowieść, że i trójkąt COD jest równoramienny i CO = DO itd. Widzimy, że AO = BO = CO = DO ..., więc jeżeli z punktu O jako środka, promieniem AO lub BO, lub CO itd. zakreślimy okrąg koła, to on przejdzie przez wszystkie wierzchołki wielokąta, czyli będzie okręgiem opisanym na tym wielokącie.

2) Z punktu O spuśćmy prostopadle OK, OL ... na boki wielokąta, wtedy OK = OL jako wysokości trójkątów równych, stąd zaś wynika, że jeżeli z punktu O jako środka promieniem OK = OL = ... zakreślimy okrąg, to otrzymamy okrąg styczny do boków wielokąta, czyli otrzymamy okrąg w ten wielokąt wpisany.

Uwaga 1. Punkt O jako środek okręgu opisanego i wpisanego nazywamy środkiem wielokąta foremnego.

Wniosek 1. W wielokącie foremnym promień przechodzący przez wierzchołek jest zarazem dwusieczną kąta, co jest widoczne.

Wniosek 2. W wielokącie foremnym promień okręgu wpisanego dzieli odpowiedni bok na połowy (będąc prostopadłym do cięciwy).

Wniosek 3. Obwody wielokątów foremnych o jednakowej liczbie boków tak się mają do siebie, jak ich promienie okręgów opisanych lub promienie okręgów wpisanych.

Rys. 285

Rys. 285

Jeżeli dane wielokąty foremne mają jednakową liczbę boków (rys. 285), to są do siebie podobne, a więc ich obwody są proporcjonalne do boków, ale trójkąty AOB i A'O'B' są podobne, a więc:

Rozmiar: 265 bajtów

Stąd wynika, że obwody są proporcjonalne do promieni kół opisanych lub promieni kół wpisanych.

325. Twierdzenie. Jeżeli okrąg podzielimy na części równe i punkty podziału połączymy kolejno cięciwami, to otrzymamy wielokąt foremny wpisany.

Niech będzie AB = BC = CD itd. (rys. 286).

Zauważmy przede wszystkim, że ten wielokąt ma boki równe jako cięciwy odpowiadające równym łukom, a kąty ma równe jako kąty wpisane oparte na łukach równych, a więc wielokąt jest foremny.

Wniosek. Jeżeli poprowadzimy OM Rozmiar: 53 bajtów AB, ON Rozmiar: 53 bajtów BC itd., to wielokąt AMBN... będzie wielokątem foremnym o dwa razy większej liczbie boków. W ten sposób zawsze można podwoić liczbę boków wielokąta foremnego.

.
.Rys. 286 Rys. 287
Rys. 286 Rys. 287

326. Twierdzenie. Jeżeli okrąg podzielimy na równe części i przez punkty podziału poprowadzimy styczne, to otrzymamy wielokąt foremny opisany.

Niech będzie AB = BC = CD itd. (rys. 287), poprowadźmy przez punkty A, B, C itd. styczne do koła. Udowodnimy, że wielokąt KLM... jest foremny.

Połączmy kolejno ze sobą punkty A, B, C it d. Wówczas trójkąty AKB, BLC, CMD itd. będą przystające, dlatego że mają po jednym boku równym: AB = BC = CD... (jak widzieliśmy z poprzedniego twierdzenia) i po dwa kąty do niego przyległe równe, a więc:

1) Rozmiar: 50 bajtów K = Rozmiar: 50 bajtów L = Rozmiar: 50 bajtów M itd. oraz

2) AK = KB = BL = LC itd., a więc KL = LM itd. Stąd wnosimy, że wielokąt KLM... jest foremny.

Wniosek. Jeżeli wierzchołki K, L, M... (rys. 287) połączymy ze środkiem koła i przez otrzymane punkty przecięcia poprowadzimy styczne, to otrzymamy wielokąt foremny EFGHIN... o dwa razy większej liczbie boków. W ten sposób zawsze można podwoić liczbę boków wielokąta opisanego.

Rys. 288

Rys. 288

Uwaga. Jeżeli w koło jest wpisany wielokąt foremny, to wielokąt opisany o tej samej liczbie boków można otrzymać, prowadząc styczne równoległe do boków wielokąta wpisanego (rys. 288).

327. Zadanie. W okrąg wpisać czworokąt foremny.

Jeżeli w okręgu poprowadzimy dwie prostopadłe do siebie średnice i ich końce połączymy cięciwami, to otrzymamy żądany czworokąt foremny czyli kwadrat.

Wniosek. Łącząc sąsiednie wierzchołki kwadratu ze środkiem koła, otrzymamy trójkąt prostokątny. Jeżeli bok kwadratu oznaczymy przez a4, a promień koła przez R, to z trójkąta prostokątnego będziemy mieli:

Rozmiar: 368 bajtów

tj. bok kwadratu wpisanego w okrąg jest równy promieniowi pomnożonemu przez Rozmiar: 69 bajtów.

Rys. 289

Rys. 289

Uwaga. Jeżeli okrąg podzielimy znanym już sposobem na 8 równych części: AB = BC = CD itd. (rys. 289), ale punkty podziału połączymy cięciwami nie kolejno, lecz co trzeci, mianowicie pierwszy z czwartym, czwarty z siódmym itd., jak wskazuje rysunek, to otrzymamy ośmiokąt ADGBEHCFA, który będzie oczywiście foremny. Taki wielokąt nazywamy gwiaździstym.

Jeżeli okrąg koła podzielimy na n części równych, to wielokąt gwiaździsty otrzymamy, łącząc punkty podziału co kty, jeżeli liczba k jest pierwsza względem n, np. ośmiokąt gwiaździsty otrzymaliśmy, łącząc punkty podziału co trzeci. Ponieważ 5 jest liczbą również pierwszą względem 8, można otrzymać jeszcze ośmiokąt gwiaździsty, łączący punkty co piąty, ale łatwo spostrzec, że to będzie ten sam wielokąt. Ogólnie liczba k powinna być pierwsza względem n i mniejsza od n/2. Np. pięciokąt gwiaździsty otrzymamy, łącząc punkty podziału co drugi (rys. 290).

Rys. 290

Rys. 290

328. Zadanie. W okrąg wpisać sześciokąt foremny.

Rys. 291

Rys. 291

Analiza. Niech cięciwa AB (rys. 291) będzie bokiem sześciokąta foremnego. Połączmy jej końce ze środkiem koła, wtedy w Rozmiar: 51 bajtów AOB

Rozmiar: 50 bajtów AOB = Rozmiar: 106 bajtów = 60o,

a więc Rozmiar: 50 bajtów BAO + Rozmiar: 50 bajtów ABO = 180o - 60o = 120o, a że to jest trójkąt równoramienny, więc każdy z tych dwóch kątów ma miarę 60o, a zatem w Rozmiar: 51 bajtów AOB wszystkie kąty są sobie równe. Stąd wnosimy, że

AB = AO = OB.

Łatwo już spostrzec sposób konstrukcji: odmierzyć promień na okręgu, w którym pomieści się on dokładnie sześć razy.

Wniosek 1. Widzieliśmy, że AB = AO; przyjmując oznaczenia AB = a6 i AO = R, mamy a6 = R,

tj. bok sześciokąta foremnego jest równy promieniowi.

Rys. 292

Rys. 292

Wniosek 2. Podzielmy okrąg na 6 równych części (rys. 292) i połączmy punkty podziału co drugi, otrzymamy trójkąt foremny ACE, którego bok a można obliczyć w następujący sposób:

połączmy B ze środkiem koła i z punktami A i C, następnie punkty A i C ze środkiem koła, wtedy AB i BC, jako boki sześciokąta, są równe AO = OC, a więc czworokąt AOCB jest równoległobokiem, a zatem:

AC2 + OB2 = AO2 + OC2 + CB2 + AB2,

czyli a32 + R2 = 4R2,

a32 = 3R2,

a3 = R,

tj. bok trójkąta foremnego równa się promieniowi pomnożonemu przez Rozmiar: 70 bajtów.

Uwaga. Z równoległoboku AOCB widzimy jeszcze, że OK = Rozmiar: 90 bajtów, ale OK Rozmiar: 53 bajtów AC, bo ten równoległobok jest rombem, więc OK = r3 jest promieniem koła wpisanego w trójkąt AEC, a zatem:

Rozmiar: 109 bajtów

tj. w trójkącie foremnym promień koła wpisanego (apotema) jest równy połowie promienia koła opisanego.

Niech AG będzie wysokością trójkąta ACE. Widzimy, że

Rozmiar: 327 bajtów

tj. w trójkącie foremnym wysokość jest równa 1Rozmiar: 69 bajtów promienia.

329. Zadanie. W okrąg wpisać dziesięciokąt foremny.

Rys. 293

Rys. 293

Analiza. Niech cięciwa AB (rys. 293) będzie bokiem dziesięciokąta foremnego. Połączmy jej końce ze środkiem koła, wtedy w trójkącie równoramiennym AOB:

Rozmiar: 50 bajtów AOB = Rozmiar: 111 bajtów = 36o,

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 145 bajtów = 72o.

Podzielmy kąt A dwusieczną AC na połowy, wtedy w Rozmiar: 51 bajtów ACO dwa kąty położone przy boku AO będą równe (każdy po 36o), a więc OC = AC.

W trójkącie ABC kąt ACB będzie miał miarę 180o - (36o + 72o) = 72o, a więc dwa kąty położone przy boku CB są równe, a zatem AC = AB.

Widzimy więc, że AB = AC = CO.

Aby znaleźć odcinek OC, przypomnijmy własność dwusiecznej:

Rozmiar: 168 bajtów

czyli

Rozmiar: 165 bajtów

albo

Rozmiar: 163 bajtów

a to znaczy, że promień OB w punkcie C został podzielony w stosunku średnim i skrajnym.

A więc bok dziesięciokąta foremnego równa się większej części promienia podzielonego w stosunku średnim i skrajnym (inaczej: równa się złotej części promienia).

Stąd już wynika sposób konstrukcji: dzielimy promień w stosunku średnim i skrajnym, większą część odmierzamy na okręgu i punkty podziału kolejno łączymy.

Wniosek 1. Wartość boku AB = a10 dziesięciokąta foremnego obliczamy z otrzymanej poprzednio proporcji:

Rozmiar: 163 bajtów

gdzie OB = R, OC = AB = a10, CB = R - a10, więc będzie

Rozmiar: 413 bajtów

Rozwiązując to równanie względem a i biorąc tylko pierwiastek dodatni, mamy:

Rozmiar: 501 bajtów

Wniosek 2. Jeżeli otrzymany wzór na bok a10 dziesięciokąta foremnego napiszemy w postaci

Rozmiar: 174 bajtów

i zauważymy, że

Rozmiar: 206 bajtów

to wykreślenia boku dziesięciokąta foremnego (wypukłego) można dokonać w sposób następujący:

Rys. 294

Rys. 294

W danym kole (rys. 294) poprowadźmy dwie do siebie prostopadłe średnice AB i CD, środek E promienia AO połączmy z punktem C i następnie z punktu E promieniem EC zatoczmy łuk, który przetnie średnicę AB w punkcie F, wtedy odcinek OF będzie bokiem dziesięciokąta foremnego.

Można przekonać się, że odcinek CF będzie bokiem pięciokąta foremnego.

330. Zadanie. W okrąg wpisać piętnastokąt foremny.

Analiza. Ponieważ Rozmiar: 164 bajtów, wnosimy, że łuk odpowiadający piętnastokątowi jest równy różnicy pomiędzy łukiem sześciokąta i dziesięciokąta.

331. Zadanie. Mając promień koła oraz bok wielokąta foremnego wpisanego, obliczyć bok wielokąta foremnego o dwa razy większej liczbie boków wpisanego w to samo koło.

Niech AB = an (rys. 295) będzie bokiem wielokąta foremnego wpisanego o n bokach i niech promień OA równa się R. Jeżeli poprowadzimy OC Rozmiar: 53 bajtów AB, to AC = a2n będzie bokiem wielokąta o podwojonej liczbie boków. Aby obliczyć AC, zastosujemy tu znane własności cięciwy:

AC2 = CE × CD,

ale AC = a2n i CE = 2R, więc

CD = CO - DO = R - Rozmiar: 165 bajtów

Będzie więc

Rozmiar: 884 bajtów

Zgodnie z tym wzorem, mając np. wartość boku czworokąta foremnego, można obliczyć bok wielokąta foremnego o ośmiu, szesnastu itd. bokach.

..
Rys. 295 Rys. 296
Rys. 295 Rys. 296

332. Zadanie. Mając promień koła i bok wielokąta foremnego wpisanego, obliczyć bok wielokąta foremnego o tej samej liczbie boków, opisanego na tym kole.

Niech AB = an (rys. 296) będzie bokiem nkąta foremnego wpisanego, poprowadźmy styczną CD II AB, wtedy CD = bn będzie bokiem nkąta opisanego, promień OE = R.

Z podobieństwa trójkątów CDO i ABO mamy Rozmiar: 165 bajtów,

ale CD = bn,

AB = an,

OE = Rn,

Rozmiar: 314 bajtów

więc

Rozmiar: 243 bajtów

Stąd

Rozmiar: 237 bajtów

Zgodnie z tym wzorem możemy obliczyć np. bok sześciokąta opisanego (n = 6, a6 = R).

333. Poznaliśmy sposoby podziału okręgu na 2n, 3*2n, 5*2n i 3*5*2n części równych. Gauss dowiódł, że za pomocą cyrkla i linijki można podzielić okrąg na n równych części, jeżeli n jest potęgą liczby 2 albo jest liczbą pierwszą postaci 22k + 1, a więc można podzielić okrąg na

2, 4, 8, 16, 32 ... części równych albo na

3, 5, 17 ... części równych.

Można podzielić również na części, których liczba równa się iloczynowi tych liczb, np. 3 × 5 = 15; 3 × 17 = 51 itd.

Podział okręgu na 7, 9, 11, 13 itd. części równych za pomocą cyrkla i linijki jest niemożliwy, a jeżeli w praktyce trzeba takiego podziału dokonać, używa się sposobów przybliżonych (niedokładnych).

Jeden ze sposobów praktycznych, znany pod nazwą sposobu Rinaldiniego, jest następujący:

Aby okrąg podzielić na 9 części, dzielimy średnice pionową AB (rys. 297) na tyleż części, z punktu B promieniem AB zakreślamy łuk, który przetnie przedłużenie średnicy poziomej w punktach C i D. Połączmy te dwa punkty ze

Rys. 297

Rys. 297

wszystkimi parzystymi punktami podziału średnicy AB, a więc z drugim, czwartym itd. i przedłużmy te linie aż do przecięcia się z okręgiem. Otrzymamy w ten sposób na okręgu dziewięć wierzchołków żądanego wielokąta wpisanego.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7]  [  8 [  9] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach