§ 60. Ćwiczenia

1. Wykreślić bez kątomierza kąt zawierający 67^o.

2. Ile stopni ma kąt, który opisuje duża wskazówka zegara w przeciągu 5 minut?

3. Okrąg podzielono na 4 części w stosunku 2 : 3 : 5 : 6 i punkty podziału połączono kolejno odcinkami. Obliczyć kąty otrzymanego czworokąta wpisanego.

4. Okrąg podzielono na trzy części w stosunku 8 : 9 : 10 i w punktach podziału poprowadzono styczne do koła. Obliczyć kąty otrzymanego trójkąta opisanego na tym okręgu.

5. Dane są dwa trójkąty: ABC i DEF, w których:   B =  E, bok AB = 15 cm, BC = 18 cm, EF = 36 cm, DE = 30 cm. Czy te trójkąty są podobne? Jeżeli tak, to obliczyć długość boku AC, mając DF = 16 cm.

6. Dane są dwa trójkąty: ABC i DEF, w których AB = 36 cm, BC = 40 cm, AC = 16 cm, DF = 6 cm, ED = 13,5 cm i EF = 15 cm. Czy te trójkąty są podobne? Jeżeli tak, to które boki będą w nich odpowiednie?

7. W jednym z dwóch trójkątów podobnych boki są równe: 25 cm, 35 cm i 40 cm, a największy z boków drugiego trójkąta równa się 50 cm. Obliczyć pozostałe boki drugiego trójkąta.

8. Dowieść, że w każdym trójkącie iloczyn dowolnego boku i odpowiedniej wysokości jest stały.

9. Dowieść, że trójkąt, w którym jedna z wysokości jest odcinkiem średnim proporcjonalnym między odcinkami podstawy, jest prostokątny.

10. Dowieść, że trójkąt jest prostokątny, jeżeli jeden z jego boków jest odcinkiem średnim proporcjonalnym między drugim bokiem a rzutem na niego boku pierwszego.

11. Dowieść, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli mają po kącie równym i jeżeli wysokości względem boków obejmujących te kąty są do siebie proporcjonalne.

(12-15). W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono dwie wysokości: BD AC i CE AB, punktem przecięcia się tych wysokości jest O.

Dowieść, że:

12. EO × OC = BO × OD.

13. AB × AE = AC × AD.

14. AD × DC = BD × OD.

15. AE × EB = CE × EO.

16. Dowieść, że prosta, która przechodzi przez spodki dwóch wysokości trójkąta ostrokątnego, odcina trójkąt do niego podobny.

17. Dowieść, że miejscem geometrycznym punktów, których suma kwadratów odległości od dwóch danych punktów A i B jest stała, jest okrąg, zakreślony ze środka odcinka AB. Wykonać konstrukcję.

18. Dowieść, że miejscem geometrycznym punktów, których różnica kwadratów odległości od dwóch danych punktów A i B jest stała, jest prosta prostopadła do AB.

19. Obwód trójkąta wynosi 30 cm, dwusieczna jednego z jego kątów dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Obliczyć boki trójkąta.

20. Podstawy trapezu są odpowiednio równe: 13,2 cm i 17,6 cm. Jeden z boków nierównoległych ma długość 7,7 cm. Na jaką odległość należy przedłużyć ten bok, żeby się przeciął z przedłużeniem drugiego boku nierównoległego?

21. W trójkąt wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na podstawie trójkąta, a dwa pozostałe na innych bokach. Obliczyć bok tego kwadratu, jeżeli podstawa trójkąta ma długość 24 cm, a wysokość ma długość 20 cm.

22. Jaka powinna być najmniejsza wysokość pionowa stojącego lustra, żeby człowiek, oddalony od niego o d cm, mający wzrost a cm, mógł się przejrzeć w całości?

23. Korzystając z tożsamości:

(m² + n²)² = (m² - n²)² + (2mn)²,

można otrzymać dowolną ilość trójkątów prostokątnych o bokach współmiernych (czyli tzw. trójkątów wymiernych), jeżeli zamiast m i n będziemy podstawiali liczby całkowite. Najprostszym przypadkiem będzie ten kiedy weźmiemy m = 2 i n = 1, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny zwany trójkątem egipskim o bokach 3, 4 i 5. Oczywiście wszystkie trójkąty do niego podobne, a więc mające boki 3k, 4k i 5k, będą również prostokątne. Dla wyłączenia takich trójkątów należy za m i n podstawiać liczby względem siebie pierwsze, a jedna z nich powinna być parzysta.

Postępując w ten sposób otrzymamy trójkąty prostokątne o bokach a, b, c:

Pamiętając, że c oznacza przeciwprostokątną, a i b - przyprostokątne i biorąc którykolwiek z otrzymanych w ten sposób trójkątów, obliczyć:

a) wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego,

b) odcinki, na które została podzielona przeciwprostokątna.

24. Mając trzy boki trójkąta: a, b i c, obliczyć:

a) jedną z wysokości,

b) środkową,

c) dwusieczną,

d) promień koła opisanego na trójkącie

Przykłady liczbowe

a	56	63	21	33	11	14	4
b	25	25	20	25	20	15	15
c	39	52	13	52	13	13	13

28. Niech a oznacza bok trójkąta równobocznego. Obliczyć jego wysokość i promień koła opisanego.

29. Dwa boki trójkąta mają długość 15 cm i 8 cm, a kąt między nimi zawarty ma miarę 60^o. Obliczyć trzeci bok.

30. Dwa boki trójkąta mają długość 2,4 cm i 2,1 cm, a kąt między nimi ma miarę 120^o. Obliczyć trzeci bok.

31. W trapezie dane są: dolna (dłuższa) podstawa równa a, górna (krótsza) równa d, boki są równe b i c. Obliczyć wysokości i obie przekątne.

32. Przekątne rombu są równe d, d'. Obliczyć bok rombu.

33. Obwód prostokątna jest równy 2p, a przekątna d. Obliczyć boki prostokąta.

34. W kole o promieniu r poprowadzono cięciwę długości a. Znaleźć jej odległość od środka koła.

35. Z punktu, odległego o a od środka koła, poprowadzono styczną. Obliczyć jej długość, jeżeli promień koła jest równy r.

36. W kole o promieniu r cięciwa łączy końce dwóch promieni, tworzących ze sobą kąt o mierze 60^o. Obliczyć długość tej cięciwy.

37. Końce średnicy danego koła połączono cięciwami z pewnym punktem okręgu. Jedna z tych cięciw jest nachylona do średnicy pod kątem 30^o. Obliczyć długość każdej cięciwy, jeżeli promień koła jest równy r.

38. W kole o promieniu r poprowadzono cięciwę i przez jeden z jej końców poprowadzono średnicę, z drugiego zaś końca prostopadłą do tej średnicy, która dzieli ją na dwa odcinki. Odcinek przyległy do cięciwy ma długość b. Obliczyć długość cięciwy.

39. Z punktu położonego na zewnątrz koła poprowadzić sieczną w taki sposób, żeby okrąg podzielił ją na połowy.

40. Zbudować trójkąt równoramienny, mając jego obwód 2p i wysokość h.

41. Zbudować trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną c oraz sumę dwóch pozostałych boków równą s.

42. Zbudować trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną c oraz różnicę dwóch pozostałych boków równą d.

43. Przez koniec średnicy koła równej 2r poprowadzono styczną. Znaleźć na niej taki punkt, aby suma stycznej i odcinka zewnętrznego siecznej, wyprowadzonej z tego punktu przez środek koła, była równa a.

44. W trójkącie ABC o bokach odpowiednio równych: a, b, c poprowadzić DE  II  BC w taki sposób, aby DE : BC = BD : AD.

45. W kole o promieniu r dana jest cięciwa o długości a. Przedłużyć ją o tyle, żeby styczna wyprowadzona z końcowego punktu przedłużenia była równa b.

46. Jeżeli w pięciokącie foremnym poprowadzimy dwie przecinające się przekątne, to na każdej z nich otrzymamy odcinek równy bokowi danego pięciokąta.

47. Dowieść, że w pięciokącie foremnym dwie przecinające się przekątne dzielą się w stosunku średnim i skrajnym.

48. Mając promień okręgu r, obliczyć bok wpisanego w ten okrąg:

a) ośmiokąta foremnego,

b) dwunastokąta foremnego,

c) pięciokąta foremnego.

49. Mając promień okręgu r, obliczyć bok opisanego na tym okręgu:

a) trójkąta foremnego,

b) sześciokąta foremnego,

c) ośmiokąta foremnego.

50. Na danym odcinku a zbudować:

a) sześciokąt foremny,

b) ośmiokąt foremny,

c) pięciokąt foremny.