Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów

§ 61. O funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego

334. W geometrii praktycznej, i w ogóle w matematyce stosowanej, jednym z podstawowych zadań jest tzw. rozwiązywanie trójkątów, które polega na tym, żeby mając dane elementy wyznaczające trójkąt, odnaleźć pozostałe.

Wiemy, że dla wyznaczenia trójkąta potrzeba i wystarcza trzech elementów: trzy boki, dwa boki i kąt między nimi zawarty, dwa kąty i bok między nimi. Jeżeli więc te elementy są dane, np. trzy boki, to trójkąt jest wyznaczony i możemy go zbudować, ale nie potrafimy odpowiedzieć na takie pytanie: jak wielki jest kąt trójkąta?

Praktycznie możemy dać odpowiedź, mierząc ten kąt kątomierzem, ale taki wynik zadowolić nas nie może ze względu na niedostateczną dokładność przyrządu i niewiadomy nawet stopień przybliżenia przez nas otrzymany.

Ale niekiedy w takich zadaniach nie potrafimy dotąd znaleźć ścisłego rozwiązania opartego na rachunku, bo jak sobie poradzić z zadaniem, gdzie trzeba znaleźć długość trzeciego boku trójkąta wyznaczonego przez dwa boki i kąt między nimi zawarty?

Wiemy tyle dotychczas, że między bokami a kątami trójkąta istnieje zależność, bo naprzeciw równych boków leżą kąty równe, naprzeciw większego boku leży kąt większy. Wiemy też, że kształt trójkąta jest jednoznacznie wyznaczony albo przez dwa kąty, albo przez jeden kąt i stosunek dwóch boków.

Do poznania tej zależności przystąpimy teraz, ograniczając się do trójkątów prostokątnych, dlatego że każdy trójkąt można podzielić wysokością na dwa trójkąty prostokątne.

Niech będzie dany kąt ostry A (rys. 298), z dowolnego punktu B jego ramienia poprowadźmy BC AC, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przyprostokątną przeciwległą kątowi A, AC przyprostokątną do niego przyległą.

Możemy utworzyć następujące stosunki:

1) 2) 3)

oraz ich odwrotności:

4) 5) 6) .

Ogółem 6 stosunków. Przekonamy się przede wszystkim, że wartości tych stosunków nie zależą od położenia punktu B na ramieniu AB. Istotnie, jeżeli poprowadzimy B₁C₁ i B₂C₂ AC, to z podobieństwa trójkątów ABC, AB₁C₁ i AB₂C₂ będziemy mieli:

,

to samo można powiedzieć o każdym z pozostałych stosunków. A zatem dla samego kąta A każdy z napisanych sześciu stosunków jest stały.

Jeżeli zaś kąt A ulegnie zmianie, np. zamiast niego weźmiemy kąt B₁AC₁ (rys. 299), gdzie przeciwprostokątna AB₁ = AB, to omawiane stosunki boków zmienią się.

Odwrotnie, jeśli mamy daną wartość któregokolwiek z tych stosunków, np. , to zawsze możemy wykreślić kąt ostry A,

budując trójkąt prostokątny, którego przyprostokątna BC jest równa 3 dowolnym jednostkom długości, a przeciwprostokątna

AB jest równa 5 takim jednostkom. A zatem, jeżeli stosunek (lub którykolwiek inny) jest dany, to kąt ostry A jest wyznaczony.

Na tej zasadzie możemy powiedzieć, że każdy z sześciu stosunków, jakie zachodzą między bokami trójkąta prostokątnego, jest zależny tylko od kąta ostrego A, czyli jest funkcją tego kąta. Te funkcje noszą nazwę trygonometrycznych i każda z nich, wyrażająca stosunek dwóch boków, jest liczbą czystą (bez miana).

Każda z tych funkcji ma swoją nazwę, a mianowicie:

1) stosunek nazywa się sinusem kąta A i oznacza się w skrócie sin A;

2) stosunek nazywa się cosinusem kąta A i oznacza się w skrócie cos A;

3) stosunek nazywa się tangensem kąta A i oznacza się w skrócie tg A;

4) stosunek nazywa się cosecansem A, w skrócie cosec A;

5) stosunek nazywa się secansem A, w skrócie sec A;

6) stosunek nazywa się cotangensem A, w skrócie ctg A.

Słowami, w trójkącie prostokątnym:

1) sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej;

2) cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do tego kąta do przeciwprostokątnej;

3) tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej;

4) odwrotność sinusa jest cosecansem;

5) odwrotność cosinusa jest secansem;

6) odwrotność tangensa jest cotangensem.

Secans i cosecans rzadko mają zastosowanie w rachunkach.

Uwaga. Początki trygonometrii sięgają czasów Hipparcha z Rodos (162-126 p.n.e), astronoma greckiego, ale dopiero Klaudiusz Ptolemeusz (II w.) dał podstawy tej nauki w swym znakomitym dziele, zwanym przez Arabów Almagestem, którego pewne rozdziały poświęcił trygonometrii. Słynny astronom polski Mikołaj Kopernik (1473-1543) w nieśmiertelnym dziele De revolutionibus zajmuje się rozważaniami trygonometrycznymi.