Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
§ 61. O funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego
§ 62. Własności zasadnicze funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
§ 63. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
§ 64. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
§ 65. Ćwiczenia
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów

§ 61. O funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego

334. W geometrii praktycznej, i w ogóle w matematyce stosowanej, jednym z podstawowych zadań jest tzw. rozwiązywanie trójkątów, które polega na tym, żeby mając dane elementy wyznaczające trójkąt, odnaleźć pozostałe.

Wiemy, że dla wyznaczenia trójkąta potrzeba i wystarcza trzech elementów: trzy boki, dwa boki i kąt między nimi zawarty, dwa kąty i bok między nimi. Jeżeli więc te elementy są dane, np. trzy boki, to trójkąt jest wyznaczony i możemy go zbudować, ale nie potrafimy odpowiedzieć na takie pytanie: jak wielki jest kąt trójkąta?

Praktycznie możemy dać odpowiedź, mierząc ten kąt kątomierzem, ale taki wynik zadowolić nas nie może ze względu na niedostateczną dokładność przyrządu i niewiadomy nawet stopień przybliżenia przez nas otrzymany.

Ale niekiedy w takich zadaniach nie potrafimy dotąd znaleźć ścisłego rozwiązania opartego na rachunku, bo jak sobie poradzić z zadaniem, gdzie trzeba znaleźć długość trzeciego boku trójkąta wyznaczonego przez dwa boki i kąt między nimi zawarty?

Wiemy tyle dotychczas, że między bokami a kątami trójkąta istnieje zależność, bo naprzeciw równych boków leżą kąty równe, naprzeciw większego boku leży kąt większy. Wiemy też, że kształt trójkąta jest jednoznacznie wyznaczony albo przez dwa kąty, albo przez jeden kąt i stosunek dwóch boków.

Do poznania tej zależności przystąpimy teraz, ograniczając się do trójkątów prostokątnych, dlatego że każdy trójkąt można podzielić wysokością na dwa trójkąty prostokątne.

Niech będzie dany kąt ostry A (rys. 298), z dowolnego punktu B jego ramienia poprowadźmy BC Rozmiar: 53 bajtów AC, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przyprostokątną przeciwległą kątowi A, AC przyprostokątną do niego przyległą.

Możemy utworzyć następujące stosunki:

1) Rozmiar: 99 bajtów 2) Rozmiar: 100 bajtów 3) Rozmiar: 97 bajtów

oraz ich odwrotności:

4) Rozmiar: 100 bajtów 5) Rozmiar: 101 bajtów 6) Rozmiar: 98 bajtów.

.
Rys. 298 Rys. 299
Rys. 298 Rys. 299

Ogółem 6 stosunków. Przekonamy się przede wszystkim, że wartości tych stosunków nie zależą od położenia punktu B na ramieniu AB. Istotnie, jeżeli poprowadzimy B1C1 i B2C2 Rozmiar: 53 bajtów AC, to z podobieństwa trójkątów ABC, AB1C1 i AB2C2 będziemy mieli:

Rozmiar: 261 bajtów ,

to samo można powiedzieć o każdym z pozostałych stosunków. A zatem dla samego kąta A każdy z napisanych sześciu stosunków jest stały.

Jeżeli zaś kąt A ulegnie zmianie, np. zamiast niego weźmiemy kąt B1AC1 (rys. 299), gdzie przeciwprostokątna AB1 = AB, to omawiane stosunki boków zmienią się.

Odwrotnie, jeśli mamy daną wartość któregokolwiek z tych stosunków, np. Rozmiar: 157 bajtów, to zawsze możemy wykreślić kąt ostry A,

budując trójkąt prostokątny, którego przyprostokątna BC jest równa 3 dowolnym jednostkom długości, a przeciwprostokątna

AB jest równa 5 takim jednostkom. A zatem, jeżeli stosunek Rozmiar: 99 bajtów (lub którykolwiek inny) jest dany, to kąt ostry A jest wyznaczony.

Na tej zasadzie możemy powiedzieć, że każdy z sześciu stosunków, jakie zachodzą między bokami trójkąta prostokątnego, jest zależny tylko od kąta ostrego A, czyli jest funkcją tego kąta. Te funkcje noszą nazwę trygonometrycznych i każda z nich, wyrażająca stosunek dwóch boków, jest liczbą czystą (bez miana).

Każda z tych funkcji ma swoją nazwę, a mianowicie:

1) stosunek Rozmiar: 99 bajtów nazywa się sinusem kąta A i oznacza się w skrócie sin A;

2) stosunek Rozmiar: 100 bajtów nazywa się cosinusem kąta A i oznacza się w skrócie cos A;

3) stosunek Rozmiar: 97 bajtów nazywa się tangensem kąta A i oznacza się w skrócie tg A;

4) stosunek Rozmiar: 100 bajtów nazywa się cosecansem A, w skrócie cosec A;

5) stosunek Rozmiar: 101 bajtów nazywa się secansem A, w skrócie sec A;

6) stosunek Rozmiar: 100 bajtów nazywa się cotangensem A, w skrócie ctg A.

Słowami, w trójkącie prostokątnym:

1) sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej;

2) cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do tego kąta do przeciwprostokątnej;

3) tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej;

4) odwrotność sinusa jest cosecansem;

5) odwrotność cosinusa jest secansem;

6) odwrotność tangensa jest cotangensem.

Secans i cosecans rzadko mają zastosowanie w rachunkach.

Uwaga. Początki trygonometrii sięgają czasów Hipparcha z Rodos (162-126 p.n.e), astronoma greckiego, ale dopiero Klaudiusz Ptolemeusz (II w.) dał podstawy tej nauki w swym znakomitym dziele, zwanym przez Arabów Almagestem, którego pewne rozdziały poświęcił trygonometrii. Słynny astronom polski Mikołaj Kopernik (1473-1543) w nieśmiertelnym dziele De revolutionibus zajmuje się rozważaniami trygonometrycznymi.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach