Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
§ 61. O funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego
§ 62. Własności zasadnicze funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
§ 63. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
§ 64. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
§ 65. Ćwiczenia
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 62. Własności zasadnicze funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Rys. 300

Rys. 300

335. Weźmy znowu jakikolwiek kąt ostry A (rys. 300) i z dowolnego punktu jednego ramienia poprowadźmy BC Rozmiar: 53 bajtów AC, wtedy, jak już mówiliśmy:

Rozmiar: 377 bajtów

Te trzy zasadnicze funkcje kąta A bliżej poznamy z następujących ich własności:

1) Ponieważ sinus i cosinus kąta jest stosunkiem przyprostokątnej do przeciwprostokątnej, więc sinus i cosinus kąta jest zawsze liczbą mniejszą od jedności, tangens zaś może przybierać różne wartości, większe lub mniejsze od 1.

2) Zobaczmy, jaka zmiana zajdzie w wartości każdej z tych trzech funkcji, podczas kiedy kąt będzie wzrastał. Opiszmy z punktu A łuk promieniem AB i poprowadźmy prostopadłe: B1C1, B2C2 itd., wtedy będzie:

B2C2 > B1C1 > BC

AC2 < AC1 < AC,

a ponieważ AB2 = AB1 = AB, więc

Rozmiar: 538 bajtów

a zatem:

jeżeli kąt ostry wzrasta, jego sinus wzrasta, a cosinus maleje.

Jeżeli kąt A będzie wzrastał, to jego tangens będzie miał wartości:

Rozmiar: 321 bajtów

albo inaczej (rys. 301):

Rozmiar: 309 bajtów

Stąd widzimy: jeżeli kąt ostry wzrasta, jego tangens również rośnie.

.Rys. 301

Rys. 301

3) Zakładając, że kąt A (rys. 301) powstał z obrotu ruchomego ramienia AB dookoła wierzchołka A, które wyszedłszy ze swego początkowego położenia AB2, zajmuje kolejne położenia: AB2, AB1 itd. aż wreszcie dąży do położenia AD, widzimy, że kąt A, malejąc, dąży do 0. Zachodzi pytanie: co się dzieje wtedy z funkcjami trygonometrycznymi kąta?

Odcinek BC będzie malał, dążąc do 0, odcinek AC będzie wzrastał, dążąc do długości AD, a że promień AB pozostaje stały, zauważmy, że wtedy sinus kąta maleje do 0, zaś cosinus rośnie do 1. Tangens kąta będzie malał do zera.

Zakładając teraz, iż dany kąt wzrasta, dążąc do kąta prostego, kiedy ramię AB zajmie położenie AF Rozmiar: 53 bajtów AD, widzimy znowu, że kiedy kąt ostry rośnie, dążąc do prostego, jego sinus rośnie, dążąc do 1, cosinus maleje do 0, zaś tangens wzrasta nieograniczenie.

Uwaga. Jakie są wartości funkcji trygonometrycznych, kiedy kąt staje się równy 0o lub 90o, tymczasem przesądzać nie możemy, dlatego że nasze określenia tych funkcji dotyczyły kąta ostrego, takim zaś kątem nie jest ani kąt 0o ani 90o. Rozumowanie oparliśmy na spostrzeżeniu i przewidywaniu. Później w systematycznej nauce trygonometrii przekonamy się, że te przewidywania były trafne.

Rys. 302

Rys. 302

4) Niech będzie dany trójkąt prostokątny ABC (rys. 302). Wiadomo, że

Rozmiar: 50 bajtów B = 90o - A.

Napiszmy funkcje trygonometryczne każdego z tych dwóch kątów, wtedy z łatwością zobaczymy, że

Rozmiar: 579 bajtów

czyli

sin A = cos (90o - A)

cosec A = sec (90o - A)

cos A = sin (90o - A)

sec A = cosec (90o - A)

tg A = ctg (90o - A)

ctg A = tg (90o - A).

Zatem sinus danego kąta jest równy cosinusowi dopełnienia tego kąta do 90o, cosinus kąta danego równa się sinusowi dopełnienia do 90o itd., ogólnie,

funkcja kąta danego jest równa kofunkcji dopełnienia. Tym się właśnie tłumaczą nazwy "kofunkcji";

cosinus = complimenti sinus, w skróceniu cosinus itd. A więc możemy powiedzieć, że

sin 64o = cos 26o; tg 52o = ctg 38o itd.

Jeśli Rozmiar: 51 bajtów oznacza pewien kąt ostry, to będziemy mieli

sin (45o + Rozmiar: 51 bajtów) = cos (45o - Rozmiar: 51 bajtów),

cos (45o + Rozmiar: 51 bajtów) = sin (45o - Rozmiar: 51 bajtów),

albo ogólnie, oznaczając przez f którąkolwiek z funkcji trygonometrycznych kąta a mamy równość

f (45o + Rozmiar: 51 bajtów) = cof (45o - Rozmiar: 51 bajtów).

A zatem wystarcza poznać wartości funkcji trygonometrycznych kątów mniejszych od 45o, żeby już mieć gotowe wartości funkcji kątów większych od 45o.

336. W oparciu o dotychczasowe wiadomości możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych niektórych często spotykanych kątów.

a) Niech będzie dany kąt A = 45o (rys. 303). Poprowadźmy BC Rozmiar: 53 bajtów AC, wtedy będzie: B = 45o, BC = AC,

AB = BCRozmiar: 69 bajtów = AC.Rozmiar: 69 bajtów ,

a zatem

Rozmiar: 324 bajtów

tg 45o = 1.

b) Niech teraz będzie dany kąt A = 30o, wtedy jak wiadomo:

Rozmiar: 150 bajtów

Rozmiar: 309 bajtów

a więc

Rozmiar: 415 bajtów

Stąd już wynikać będzie, że

Rozmiar: 441 bajtów

Rozmiar: 322 bajtów

Rys. 303 Rys. 304
Rys. 303 Rys. 304

c) Jeżeli kąt A = 18o (rys. 304), to biorąc CD = BC, otrzymujemy < BAD = 36o, a więc BD jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu AB, będzie więc

Rozmiar: 234 bajtów

a zatem

Rozmiar: 239 bajtów

337. Przebieg zmienności sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego możemy przedstawić graficznie w następujący sposób:

Zbudujmy ćwiartkę koła o promieniu AD (rys. 301), który obierzmy za jednostkę, a następnie dla każdego położenia tego promienia: AB, AB1, AB2 ... poprowadźmy prostopadłe BC, BC1, BC2 ... oraz odmierzmy DE, DE1 DE2 ... Wtedy odcinki BC, BC1, BC2 ... będą wyobrażały wartości sinusa zmiennego kąta BAD, odcinki AC, AC1, AC2 wartości cosinusa tego kąta, zaś DE, DE1 DE2 ... tangensa.

Następnie na papierze milimetrowym poprowadźmy dwie prostopadłe do siebie osie, umówiwszy się odmierzyć na jednej z nich odcinki równe, odpowiadające kątowi 10o, na drugiej zaś odmierzmy odcinek AD = 1 (rys. 305).

Z takiego wykresu, dokładnie i w dość znacznej skali wykonanego, można odczytywać przybliżone wartości sinusa, cosinusa i tangensa danego kąta ostrego.

Rys. 305

Rys. 305

Oczywiście taka dokładność nie może wystarczyć. Zanim więc poznamy sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych z dowolnym przybliżeniem (o czym mówi się w systematycznym wykładzie trygonometrii), podajemy na końcu strony tablicę wartości tych funkcji dla kątów ostrych w odstępach co jeden stopień. Wartości funkcji podane są z dokładnością do 0,0001, wystarczającą do naszych rachunków.

Jeżeli chodzić będzie o znalezienie wartości funkcji kąta nie podanego w tablicy, posługujemy się regułą interpolacji, zakładając, że przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu kąta (co ścisłe nie jest, ale w naszych obliczeniach wystarcza). Mianowicie:

Mamy znaleźć wartość sin 28o 24'. Z tablicy odczytujemy:

sin 28o = 0,4695

sin 29o = 0,4848,

widzimy, że przyrostowi kąta o 1o odpowiada przyrost jego sinusa o 0,0153, a zatem przyrostowi kąta o 24', według naszego założenia, odpowiadać będzie przyrost jego sinusa:

Rozmiar: 236 bajtów ,

a zatem

sin 28o 24' = 0,4756.

Pamiętać trzeba, że ze wzrastaniem kąta jego cosinus maleje i odpowiedni przyrost cosinusa będzie ujemny, czyli należy go odjąć. To samo będzie dla cotangensa.

Tablica podaje wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów i ułożona jest w ten sposób, że z lewej strony odczytujemy kąty od 1o do 45o, ich funkcje - w rubrykach zatytułowanych u góry. Kąty od 45o do 90o odczytujemy z prawej strony, ich funkcje w rubrykach zatytułowanych u dołu.

Odwrotnie, mając wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej, możemy odnaleźć kąt. Niech np. będzie dany ctg x= 1,5189.

Z tablicy mamy ctg 34o = 1,4826

ctg 33o = 1,5399,

więc przyrostowi ctg równemu 0,0573 odpowiada zmniejszenie kąta o 1o = 60', a że daną wartość ctg powinniśmy powiększyć o

1,5189 - 1,4826 = 0,0363,

więc kąt 34o należy zmniejszyć o

Rozmiar: 284 bajtów

a zatem

x = 33o 22'.

Rozmiar: 9062 bajtów



 [  1]  [  2 [  3]  [  4]  [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach