§ 62. Własności zasadnicze funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

335. Weźmy znowu jakikolwiek kąt ostry A (rys. 300) i z dowolnego punktu jednego ramienia poprowadźmy BC AC, wtedy, jak już mówiliśmy:

Te trzy zasadnicze funkcje kąta A bliżej poznamy z następujących ich własności:

1) Ponieważ sinus i cosinus kąta jest stosunkiem przyprostokątnej do przeciwprostokątnej, więc sinus i cosinus kąta jest zawsze liczbą mniejszą od jedności, tangens zaś może przybierać różne wartości, większe lub mniejsze od 1.

2) Zobaczmy, jaka zmiana zajdzie w wartości każdej z tych trzech funkcji, podczas kiedy kąt będzie wzrastał. Opiszmy z punktu A łuk promieniem AB i poprowadźmy prostopadłe: B₁C₁, B₂C₂ itd., wtedy będzie:

B₂C₂ > B₁C₁ > BC

AC₂ < AC₁ < AC,

a ponieważ AB₂ = AB₁ = AB, więc

a zatem:

jeżeli kąt ostry wzrasta, jego sinus wzrasta, a cosinus maleje.

Jeżeli kąt A będzie wzrastał, to jego tangens będzie miał wartości:

albo inaczej (rys. 301):

Stąd widzimy: jeżeli kąt ostry wzrasta, jego tangens również rośnie.

.

Rys. 301

3) Zakładając, że kąt A (rys. 301) powstał z obrotu ruchomego ramienia AB dookoła wierzchołka A, które wyszedłszy ze swego początkowego położenia AB₂, zajmuje kolejne położenia: AB₂, AB₁ itd. aż wreszcie dąży do położenia AD, widzimy, że kąt A, malejąc, dąży do 0. Zachodzi pytanie: co się dzieje wtedy z funkcjami trygonometrycznymi kąta?

Odcinek BC będzie malał, dążąc do 0, odcinek AC będzie wzrastał, dążąc do długości AD, a że promień AB pozostaje stały, zauważmy, że wtedy sinus kąta maleje do 0, zaś cosinus rośnie do 1. Tangens kąta będzie malał do zera.

Zakładając teraz, iż dany kąt wzrasta, dążąc do kąta prostego, kiedy ramię AB zajmie położenie AF AD, widzimy znowu, że kiedy kąt ostry rośnie, dążąc do prostego, jego sinus rośnie, dążąc do 1, cosinus maleje do 0, zaś tangens wzrasta nieograniczenie.

Uwaga. Jakie są wartości funkcji trygonometrycznych, kiedy kąt staje się równy 0^o lub 90^o, tymczasem przesądzać nie możemy, dlatego że nasze określenia tych funkcji dotyczyły kąta ostrego, takim zaś kątem nie jest ani kąt 0^o ani 90^o. Rozumowanie oparliśmy na spostrzeżeniu i przewidywaniu. Później w systematycznej nauce trygonometrii przekonamy się, że te przewidywania były trafne.

4) Niech będzie dany trójkąt prostokątny ABC (rys. 302). Wiadomo, że

B = 90^o - A.

Napiszmy funkcje trygonometryczne każdego z tych dwóch kątów, wtedy z łatwością zobaczymy, że

czyli

sin A = cos (90^o - A)

cosec A = sec (90^o - A)

cos A = sin (90^o - A)

sec A = cosec (90^o - A)

tg A = ctg (90^o - A)

ctg A = tg (90^o - A).

Zatem sinus danego kąta jest równy cosinusowi dopełnienia tego kąta do 90^o, cosinus kąta danego równa się sinusowi dopełnienia do 90^o itd., ogólnie,

funkcja kąta danego jest równa kofunkcji dopełnienia. Tym się właśnie tłumaczą nazwy "kofunkcji";

cosinus = complimenti sinus, w skróceniu cosinus itd. A więc możemy powiedzieć, że

sin 64^o = cos 26^o; tg 52^o = ctg 38^o itd.

Jeśli oznacza pewien kąt ostry, to będziemy mieli

sin (45^o + ) = cos (45^o - ),

cos (45^o + ) = sin (45^o - ),

albo ogólnie, oznaczając przez f którąkolwiek z funkcji trygonometrycznych kąta a mamy równość

f (45^o + ) = cof (45^o - ).

A zatem wystarcza poznać wartości funkcji trygonometrycznych kątów mniejszych od 45^o, żeby już mieć gotowe wartości funkcji kątów większych od 45^o.

336. W oparciu o dotychczasowe wiadomości możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych niektórych często spotykanych kątów.

a) Niech będzie dany kąt A = 45^o (rys. 303). Poprowadźmy BC AC, wtedy będzie: B = 45^o, BC = AC,

AB = BC = AC. ,

a zatem

tg 45^o = 1.

b) Niech teraz będzie dany kąt A = 30^o, wtedy jak wiadomo:

a więc

Stąd już wynikać będzie, że

c) Jeżeli kąt A = 18^o (rys. 304), to biorąc CD = BC, otrzymujemy < BAD = 36^o, a więc BD jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu AB, będzie więc

a zatem

337. Przebieg zmienności sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego możemy przedstawić graficznie w następujący sposób:

Zbudujmy ćwiartkę koła o promieniu AD (rys. 301), który obierzmy za jednostkę, a następnie dla każdego położenia tego promienia: AB, AB₁, AB₂ ... poprowadźmy prostopadłe BC, BC₁, BC₂ ... oraz odmierzmy DE, DE₁ DE₂ ... Wtedy odcinki BC, BC₁, BC₂ ... będą wyobrażały wartości sinusa zmiennego kąta BAD, odcinki AC, AC₁, AC₂ wartości cosinusa tego kąta, zaś DE, DE₁ DE₂ ... tangensa.

Następnie na papierze milimetrowym poprowadźmy dwie prostopadłe do siebie osie, umówiwszy się odmierzyć na jednej z nich odcinki równe, odpowiadające kątowi 10^o, na drugiej zaś odmierzmy odcinek AD = 1 (rys. 305).

Z takiego wykresu, dokładnie i w dość znacznej skali wykonanego, można odczytywać przybliżone wartości sinusa, cosinusa i tangensa danego kąta ostrego.

Oczywiście taka dokładność nie może wystarczyć. Zanim więc poznamy sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych z dowolnym przybliżeniem (o czym mówi się w systematycznym wykładzie trygonometrii), podajemy na końcu strony tablicę wartości tych funkcji dla kątów ostrych w odstępach co jeden stopień. Wartości funkcji podane są z dokładnością do 0,0001, wystarczającą do naszych rachunków.

Jeżeli chodzić będzie o znalezienie wartości funkcji kąta nie podanego w tablicy, posługujemy się regułą interpolacji, zakładając, że przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu kąta (co ścisłe nie jest, ale w naszych obliczeniach wystarcza). Mianowicie:

Mamy znaleźć wartość sin 28^o 24'. Z tablicy odczytujemy:

sin 28^o = 0,4695

sin 29^o = 0,4848,

widzimy, że przyrostowi kąta o 1^o odpowiada przyrost jego sinusa o 0,0153, a zatem przyrostowi kąta o 24', według naszego założenia, odpowiadać będzie przyrost jego sinusa:

,

a zatem

sin 28^o 24' = 0,4756.

Pamiętać trzeba, że ze wzrastaniem kąta jego cosinus maleje i odpowiedni przyrost cosinusa będzie ujemny, czyli należy go odjąć. To samo będzie dla cotangensa.

Tablica podaje wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów i ułożona jest w ten sposób, że z lewej strony odczytujemy kąty od 1^o do 45^o, ich funkcje - w rubrykach zatytułowanych u góry. Kąty od 45^o do 90^o odczytujemy z prawej strony, ich funkcje w rubrykach zatytułowanych u dołu.

Odwrotnie, mając wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej, możemy odnaleźć kąt. Niech np. będzie dany ctg x= 1,5189.

Z tablicy mamy ctg 34^o = 1,4826

ctg 33^o = 1,5399,

więc przyrostowi ctg równemu 0,0573 odpowiada zmniejszenie kąta o 1^o = 60', a że daną wartość ctg powinniśmy powiększyć o

1,5189 - 1,4826 = 0,0363,

więc kąt 34^o należy zmniejszyć o

a zatem

x = 33^o 22'.