§ 63. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

338. Weźmy dowolny kąt ostry (rys. 306), poprowadźmy BC AC. Wówczas możemy napisać znaną zależność:

BC² + AC² = AB².

Jeżeli obie strony tej równości podzielimy przez AB², otrzymamy

,

czyli

(sin )² + (cos )² = 1,

co w skrócie można napisać:

(1) sin² + cos² = 1.

Dalej

czyli

(2) .

Następnie na podstawie określenia funkcji trygonometrycznych mamy:

(3)

(4)

(5) .

Mając pięć powyższych zależności, możemy obliczyć wszystkie funkcje kąta, jeżeli jedna z nich jest wiadoma.

Np. jeżeli sin  = ³/₅, to otrzymamy:

Otrzymane zależności wystarczają w powyższym zadaniu, możemy jednak znaleźć jeszcze następujące dwie, które niekiedy dogodnie jest stosować:

Z zależności sin² + cos² = 1,

dzieląc przez cos² , dostajemy

(6) 1 + tg² = sec²

a dzieląc przez sin² :

(7) 1 + ctg² = cosec² .