§ 64. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

339. Wiemy, że trójkąt prostokątny jest jednoznacznie wyznaczony przez dwa elementy:

1. dwie przyprostokątne,

2. przeciwprostokątną i jedną z przyprostokątnych,

3. przeciwprostokątną i kąt ostry,

4. przyprostokątną i kąt ostry.

Mamy więc cztery podstawowe zadania, dotyczące rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Kąty ostre oznaczać będziemy A i B, kąt prosty przez C, przyprostokątne BC = a, AC = b, przeciwprostokątna = c.

Zadanie 1. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając obie przyprostokątne.

Mamy dane: a i b, obliczyć: c, A i B.

Przeciwprostokątną c obliczamy ze znanego wzoru

kąt ostry A znajdziemy z zależności

mając zaś tg A, znajdziemy w tablicy kąt A. Wreszcie

B = 90^o - A.

Zadanie 2. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną i jedną z przyprostokątnych.

Dane są: a i c, obliczyć b, A, B.

Z określenia funkcji trygonometrycznych mamy

, stąd znajdziemy kąt A;

albo , stąd znajdziemy kąt B;

oczywiście B = 90^o - A.

Przyprostokątną b obliczymy z zależności

Zadanie 3. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną i kąt ostry.

Dane są c i A, obliczyć a, b i B.

Kąt B mamy od razu:

B = 90^o - A.

Boki a i b znajdziemy w zależności

i

mianowicie

a = c × sin A = c × cos B,

b = c × sin B = c × cos A,

czyli: w trójkącie prostokątnym przyprostokątna jest równa przeciwprostokątnej pomnożonej przez sinus kąta przeciwległego do tej przyprostokątnej albo przez cosinus kąta do niej przyległego.

Zadanie 4. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając jedną z przyprostokątnych i kąt ostry.

Mamy dane: b i A, znaleźć: a, c i B.

Kąt B mamy od razu: B = 90^o - A.

Przeciwprostokątną c znajdziemy z zależności

więc

Przyprostokątną a obliczymy z zależności

stąd

a = b × tg A = b × ctg B,

tj. w trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest równa drugiej przyprostokątnej pomnożonej przez tangens kąta przeciwległego pierwszej z nich lub przez cotangens kąta do niej przyległego.

340. Ponieważ trójkąt równoramienny składa się z dwóch równych sobie trójkątów prostokątnych, więc rozwiązywanie trójkątów równoramiennych nie wymaga wyprowadzenia odrębnych wzorów ponad te, które już poznaliśmy.

Wielokąt foremny zawsze da się sprowadzić do trójkątów równoramiennych przez połączenie środka wielokąta z jego wierzchołkami.

W geometrii praktycznej ważną rolę odgrywają zadania, dotyczące obliczania wysokości pewnych przedmiotów (np. wieży, góry itp.), odległości między dwoma przedmiotami, której bezpośrednio wymierzyć niepodobna, wreszcie obliczania kąta między dwiema prostymi. Tego rodzaju zadania rozwiązuje się przez zastosowanie funkcji trygonometrycznych.

W pomiarach praktycznych zwykle znajduje się długość jednego odcinka i mierzy się ją z możliwie dobrą dokładnością przy pomocy łańcucha mierniczego o długości 10 m. Dawniej w Polsce był

używany łańcuch mierniczy, który się dzielił na 10 prętów po 7

łokcia koronnego. Do mierzenia kątów służy przyrząd, zwany

teodolitem, którego koło pionowe z przytwierdzoną do niego lunetą pozwala odczytywać kąt wzniesienia, czyli kąt, jaki tworzy oś lunety skierowanej na pewien punkt z linią poziomą (albo kąt depresji, jeżeli dany punkt leży poniżej poziomu).

Przykład. Zmierzyć wysokość wieży.

Rys. 307

Jeżeli AB (rys. 307) jest wysokością wieży i jej podstawa jest dla nas dostępna, to możemy na powierzchni ziemi wymierzyć długość DB = a. Ustawiamy w punkcie D teodolit i kierując jego lunetę na punkt A, odczytujemy kąt wzniesienia ACE = ; DC = m jest wysokością przyrządu.

Z trójkąta CEA mamy

AE = CE × tg ,

skąd poszukiwana wysokość wieży

AB = m + a × tg .

Jeżeli podstawa wieży jest dla nas niedostępna, ustawiamy najpierw teodolit w punkcie D i znajdujemy kąt wzniesienia a, następnie przenosimy przyrząd do punktu G i znowu znajdujemy kąt wzniesienia b, zmierzywszy dokładnie odległość DG = b.

Wtedy mamy

CE = AE × ctg

FE = AE × ctg ,

skąd b = AE × (ctg - ctg ),

a więc

.