Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
§ 61. O funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego
§ 62. Własności zasadnicze funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
§ 63. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
§ 64. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
§ 65. Ćwiczenia
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 64. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

339. Wiemy, że trójkąt prostokątny jest jednoznacznie wyznaczony przez dwa elementy:

1. dwie przyprostokątne,

2. przeciwprostokątną i jedną z przyprostokątnych,

3. przeciwprostokątną i kąt ostry,

4. przyprostokątną i kąt ostry.

Mamy więc cztery podstawowe zadania, dotyczące rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Kąty ostre oznaczać będziemy A i B, kąt prosty przez C, przyprostokątne BC = a, AC = b, przeciwprostokątna = c.

Zadanie 1. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając obie przyprostokątne.

Mamy dane: a i b, obliczyć: c, A i B.

Przeciwprostokątną c obliczamy ze znanego wzoru

Rozmiar: 129 bajtów

kąt ostry A znajdziemy z zależności

Rozmiar: 130 bajtów

mając zaś tg A, znajdziemy w tablicy kąt A. Wreszcie

B = 90o - A.

Zadanie 2. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną i jedną z przyprostokątnych.

Dane są: a i c, obliczyć b, A, B.

Z określenia funkcji trygonometrycznych mamy

Rozmiar: 127 bajtów , stąd znajdziemy kąt A;

albo Rozmiar: 127 bajtówRozmiar: 124 bajtów, stąd znajdziemy kąt B;

oczywiście B = 90o - A.

Przyprostokątną b obliczymy z zależności

Zadanie 3. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając przeciwprostokątną i kąt ostry.

Dane są c i A, obliczyć a, b i B.

Kąt B mamy od razu:

B = 90o - A.

Boki a i b znajdziemy w zależności

Rozmiar: 191 bajtów

i

Rozmiar: 192 bajtów

mianowicie

a = c × sin A = c × cos B,

b = c × sin B = c × cos A,

czyli: w trójkącie prostokątnym przyprostokątna jest równa przeciwprostokątnej pomnożonej przez sinus kąta przeciwległego do tej przyprostokątnej albo przez cosinus kąta do niej przyległego.

Zadanie 4. Rozwiązać trójkąt prostokątny, mając jedną z przyprostokątnych i kąt ostry.

Mamy dane: b i A, znaleźć: a, c i B.

Kąt B mamy od razu: B = 90o - A.

Przeciwprostokątną c znajdziemy z zależności

Rozmiar: 126 bajtów

więc

Rozmiar: 131 bajtów

Przyprostokątną a obliczymy z zależności

Rozmiar: 214 bajtów

stąd

a = b × tg A = b × ctg B,

tj. w trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest równa drugiej przyprostokątnej pomnożonej przez tangens kąta przeciwległego pierwszej z nich lub przez cotangens kąta do niej przyległego.

340. Ponieważ trójkąt równoramienny składa się z dwóch równych sobie trójkątów prostokątnych, więc rozwiązywanie trójkątów równoramiennych nie wymaga wyprowadzenia odrębnych wzorów ponad te, które już poznaliśmy.

Wielokąt foremny zawsze da się sprowadzić do trójkątów równoramiennych przez połączenie środka wielokąta z jego wierzchołkami.

W geometrii praktycznej ważną rolę odgrywają zadania, dotyczące obliczania wysokości pewnych przedmiotów (np. wieży, góry itp.), odległości między dwoma przedmiotami, której bezpośrednio wymierzyć niepodobna, wreszcie obliczania kąta między dwiema prostymi. Tego rodzaju zadania rozwiązuje się przez zastosowanie funkcji trygonometrycznych.

W pomiarach praktycznych zwykle znajduje się długość jednego odcinka i mierzy się ją z możliwie dobrą dokładnością przy pomocy łańcucha mierniczego o długości 10 m. Dawniej w Polsce był

używany łańcuch mierniczy, który się dzielił na 10 prętów po 7Rozmiar: 69 bajtów

łokcia koronnego. Do mierzenia kątów służy przyrząd, zwany

teodolitem, którego koło pionowe z przytwierdzoną do niego lunetą pozwala odczytywać kąt wzniesienia, czyli kąt, jaki tworzy oś lunety skierowanej na pewien punkt z linią poziomą (albo kąt depresji, jeżeli dany punkt leży poniżej poziomu).

Przykład. Zmierzyć wysokość wieży.

Rys. 307

Rys. 307

Jeżeli AB (rys. 307) jest wysokością wieży i jej podstawa jest dla nas dostępna, to możemy na powierzchni ziemi wymierzyć długość DB = a. Ustawiamy w punkcie D teodolit i kierując jego lunetę na punkt A, odczytujemy kąt wzniesienia ACE = Rozmiar: 51 bajtów; DC = m jest wysokością przyrządu.

Z trójkąta CEA mamy

AE = CE × tg Rozmiar: 51 bajtów,

skąd poszukiwana wysokość wieży

AB = m + a × tg Rozmiar: 51 bajtów.

Jeżeli podstawa wieży jest dla nas niedostępna, ustawiamy najpierw teodolit w punkcie D i znajdujemy kąt wzniesienia a, następnie przenosimy przyrząd do punktu G i znowu znajdujemy kąt wzniesienia b, zmierzywszy dokładnie odległość DG = b.

Wtedy mamy

CE = AE × ctg Rozmiar: 51 bajtów

FE = AE × ctg Rozmiar: 52 bajtów,

skąd b = AE × (ctg Rozmiar: 51 bajtów - ctg Rozmiar: 52 bajtów),

a więc

Rozmiar: 338 bajtów .



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4 [  5] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach