Obliczanie pól wielokątów

§ 66. Pojęcie pola. Pola wielokątów

341. Określenie. Wiemy już, że wielokąty stanowią rodzaj wielkości geometrycznych, może więc być mowa o ich mierzeniu. W tym celu, posługując się metodą, którą stosowaliśmy do odcinków, powinniśmy obrać jednostkę miary i porównać z nią dany wielokąt. Liczba, którą otrzymamy z tego porównania, nosi nazwę pola wielokąta.

Za jednostkę miary wielokątów przyjmujemy kwadrat o boku równym jednostce liniowej: 1 metr, 1 decymetr lub 1 centymetr. Taka jednostka nazywa się zwykle kwadratową, więc metr kwadratowy (m²) jest kwadratem o boku 1 metra; 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm².

A zatem odnalezienie pola danego wielokąta jest równoznaczne z obliczeniem, ile razy 1 m² lub 1 cm² mieści się w tym wielokącie.

342. Najprostszym zagadnieniem będzie obliczenie pola prostokąta.

Niech więc będzie dany prostokąt ABCD (rys. 308). Za jednostkę obierzmy kwadrat M. Dla rozwiązania naszego zadania musimy obliczyć, ile razy kwadrat M pomieści się w prostokącie AC. Jeżeli bok kwadratu odmierzymy najpierw na podstawie danego prostokąta, potem na jego wysokości i przez punkty podziału poprowadzimy proste równoległe do boków prostokąta, to podzielimy go na szereg kwadratów, z których każdy będzie równy M i zadanie sprowadza się do znalezienia stosunku dwóch odcinków albo do znalezienia liczby wymiarowej każdego z nich, jeżeli bok kwadratu M wzięto za jednostkę. I tu, jak wiemy, zajść mogą trzy przypadki.

Rys. 308

1) Stosunki boków AD i AB do boku kwadratu M są liczbami całkowitymi. Niech np. bok tego kwadratu w podstawie AD pomieści się a razy, a w wysokości AB pomieści się b razy (a i b - liczby całkowite), wtedy cały prostokąt AC zawierać będzie w sobie a ˇ b kwadratów równych M i powiadamy, że

pole ABCD = a × b.

2) Bok kwadratu M nie mieści się całkowitą ilość razy w AD i AB, ale jego część pta zawiera się m razy w AD, n razy w AB (m i n - liczby całkowite), wtedy liczbą wymiarową podstawy prostokąta będzie ułamek , a wysokości ułamek . Mając boki kwadratu M podzielone na p równych części, możemy go rozciąć prostymi równoległymi na p² małych kwadracików, których dany prostokąt będzie zawierać m × n, a więc stosunek tego prostokąta do kwadratu M, czyli pole razy wziętemu polu M.

3) Wreszcie stosunki podstawy i wysokości prostokąta do boku kwadratu M nie są wyrażone ani liczbami całkowitymi, ani ułamkowymi,czyli są liczbami niewymiernymi. Pierwszy z tych stosunków będzie wyznaczony przez pewien przekrój, który nazwiemy symbolicznie (a), drugi przez przekrój (b). Wtedy pole danego prostokąta wyznaczymy przez przekrój (a ˇ b), w którym do niższej klasy liczb będą należały iloczyny niższych przybliżeń liczb a i b:

przekrój (a × b) = przekrój (a) × przekrój (b).

Mamy więc następujące twierdzenie:

Pole prostokąta jest równe iloczynowi długości jego podstawy i wysokości, krócej:

pole prostokąta równe jest iloczynowi jego podstawy i wysokości.

Jeżeli np. AD = 8 cm, AB = 3 cm, to pole ABCD= 8×3 = 24 cm².

Jeżeli AD = 5 cm, AB = 1 cm, to pole ABCD = 6 cm².

Jeżeli wreszcie AD = 5 cm, AB = cm, to pole ABCD = cm².

Stąd wynika wprost, że pole kwadratu jest równe drugiej potędze długości jego boku, krócej:

pole kwadratu jest równe kwadratowi jego boku.

Stąd właśnie pochodzi nazwa kwadratu liczby jako jej drugiej potęgi.

343. Niech teraz będzie dany pewien równoległobok. Dla obliczenia jego pola należałoby znowu dowiedzieć się, ile razy wzięta przez nas jednostka (1 cm²) pomieści się w tym równoległoboku, czyli należałoby podzielić go na kwadraty równe 1 cm² (lepiej nawet 1 mm²). Łatwo jednak przekonać się, że danej figury nie da się pokryć kwadratami (będą zostawały pewne "resztki", które po zsumowaniu dałyby kwadraty); więc obieramy inną drogę postępowania. Dany równoległobok przekształcamy na równoważny mu prostokąt (punkt 200) i jego pole przyjmujemy za pole danego równoległoboku.

Tak samo postąpimy, obliczając pole trapezu, trójkąta itd.

Przyjmiemy, że

1) wielokąty równoważne mają równe pola;

2) wielokąt, który jest sumą dwóch lub więcej wielokątów, ma pole równe sumie pól tych wielokątów.

Zgodnie z tym, biorąc za punkt wyjścia twierdzenie o polu prostokąta, możemy wypowiedzieć następujące wnioski:

1. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy i wysokości (patrz punkt 200).

2. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego podstawy i wysokości (punkt 203).

3. Pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej i wysokości (punkt 204), inaczej:

pole trapezu jest równe iloczynowi jego wysokości i średniej arytmetycznej obu podstaw.

4. Jeżeli wierzchołki wielokąta foremnego połączymy ze środkiem koła (rys. 309), to podzielimy go na trójkąty przystające.

Pole AOB będzie równe

więc pole całego wielokąta o n bokach będzie:

ale n × AB jest równe obwodowi wielokąta (P), OK = r jest promieniem okręgu wpisanego w ten wielokąt, więc

czyli pole wielokąta foremnego jest równe połowie iloczynu jego obwodu i promienia okręgu wpisanego (apotemy).

344. Wnioski. Poznawszy sposoby obliczania pól wielokątów, możemy wzór algebraiczny przedstawiający iloczyn dwóch odcinków interpretować geometrycznie jako pole pewnego wielokąta. Jeżeli więc przez a, b, c itd. rozumieć będziemy długości odcinków, to iloczyn ab możemy uważać za pole prostokąta (albo równoległoboku) o podstawie a i wysokości b; a² będzie polem kwadratu o boku równym a itd.

Jeżeli teraz przypomnimy sobie pewne twierdzenia, które poznaliśmy z teorii równoważności figur oraz proporcjonalności odcinków, to zestawiając je z ostatnio otrzymanymi wynikami, stwierdzić musimy, że wyrażają one te same własności figur, inaczej tylko sformułowane.

Tak np., jeżeli a i b oznaczają długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, zaś c jego przeciwprostokątną, to interpretując geometrycznie związek a² = b² + c² (punkt 304), otrzymamy znane już przedtem twierdzenie Pitagorasa (punkt 210).

Tak samo zależność między wysokością trójkąta prostokątnego a odcinkami przeciwprostokątnej (punkt 304) jest algebraiczną interpretacją twierdzenia Euklidesa (punkt 207).

Dalej twierdzenie o kwadracie boku w trójkącie położonego naprzeciw kąta ostrego lub rozwartego (punkt 305), poznaliśmy przedtem jako uogólnione twierdzenie Pitagorasa (punkt 216) itp.

Przytoczone twierdzenia możemy teraz sformułować, jak następuje:

pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych;

pole kwadratu zbudowanego na wysokości trójkąta prostokątnego jest równe polu prostokąta zbudowanego na odcinkach jego przeciwprostokątnej itp.

345. Zadanie. Mając trzy boki trójkąta, obliczyć jego pole.

Rys. 310

Niech AB = c (rys. 310), BC = a, AC = b, wiadomo, że pole trójkąta

(1) .

Wysokość BD znajdziemy, jeżeli będzie znane AD, które obliczymy z równania:

BC² = AB² + AC² - 2AC × AD,

tj. z równania

a² = c² + b² - 2b × AD,

skąd 2b × AD = b² + c² - a² i

Mając AD, z trójkąta ABD otrzymamy:

A więc

Podstawiając tę wartość BD do równości (1), otrzymamy:

Można uprościć ten wzór, oznaczając:

a + b + c = 2p,

wtedy

a - b + c = 2p - 2b = 2 (p - b)

a + b - c = 2p - 2c = 2 (p - c)

b + c - a = 2p - 2a = 2 (p - a).

A więc pole trójkąta

Ten wzór na obliczenie pola trójkąta znany jest pod nazwą wzoru Herona.

Przykład:

a = 13 m

b = 14 m

c = 15 m

----------

2p = 42

p = 21

p - a = 8

p - b = 7

p - c = 6

Wniosek. Pole trójkąta równobocznego, którego bok jest równy a, wynosi

.

346. Zadanie. Mając trzy boki trójkąta, obliczyć promień okręgu na nim opisanego.

Rys. 311

Jak wiadomo (rys. 311):

AB × BC = 2 R × BD,

gdzie R oznacza promień koła opisanego.

Ale AB = c, BC = a, a co zaś do BD, to

,

skąd ,

a więc będzie

skąd

czyli

347. Zadanie. Mając trzy boki trójkąta, obliczyć promień okręgu w ten trójkąt wpisanego.

Niech AB = c (rys. 312), BC = a, AC = b. Wpiszmy w trójkąt okrąg i środek O połączmy z wierzchołkami, wtedy oznaczając przez r promień okręgu wpisanego, mamy:

pole

pole

pole

A więc

pole

Oznaczając znowu a + b + c = 2p,

S = p × r,

skąd

otrzymamy

348. Zadanie. Obliczyć pole rombu, mając jego przekątne.

Niech w rombie ABCD (rys. 313) przekątna AC = d, BD = d'.

Ponieważ przekątne rombu są do siebie prostopadłe, zatem:

pole

pole

Dodając te równości stronami, otrzymamy

pole

tj. pole rombu równa się połowie iloczynu jego przekątnych.

349. Zadanie. Wyliczyć pole czworokąta, mając jego boki i przekątne.

Rys. 314

Niech będzie dany czworokąt ABCD (rys. 314), w którym

AB = a, BC = c, AC = l₁,

DC = b, AD = d, BD = l₂.

Z wierzchołków B i D spuśćmy prostopadłe BE i DF, wtedy pole danego czworokąta będzie

czyli

Chodzi teraz o wyliczenie EF. Jeżeli punkt I jest środkiem AC, to wtedy z trójkąta ABC mamy

AB² - BC² = 2AC × IE,

czyli

(1) a² - b² = 2l₁ × IE.

skąd

Z trójkąta ADC mamy

DC² - AD² = 2AC × FI,

czyli

(2) c² - d² = 2l₁ × FI

a² - b² + c² - d² = 2l₁ × FE,

A więc

czyli

Wniosek. Jeżeli na danym czworokącie można opisać okrąg, wtedy zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza

l₁l₂ = ac + bd,

wtedy

Zatem

Wprowadzając oznaczenie

a + b + c + d = 2p,

otrzymujemy

Jeżeli d = 0, otrzymamy wzór Herona na pole trójkąta.