Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Obliczanie pól wielokątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
§ 66. Pojęcie pola. Pola wielokątów
§ 67. Stosunek pól wielokątów podobnych
§ 68. Zadania konstrukcyjne
§ 69. Ćwiczenia
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 67. Stosunek pól wielokątów podobnych

350. Twierdzenie. Pola danych trójkątów, które mają po kącie równym, tak się mają do siebie jak iloczyny boków ten kąt obejmujących.

Niech w trójkącie ABC i DEF (rys. 315) kąty A i D będą równe, pole pierwszego trójkąta równa się S, pole drugiego równa się S'.

Rys. 315

Rys. 315

Poprowadźmy wysokości BK i EL, wtedy

(1)

Rozmiar: 296 bajtów

Ale w trójkątach ABK i DEL : Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D z założenia, Rozmiar: 50 bajtów AKB = Rozmiar: 50 bajtów DLE, jako kąty proste, a więc Rozmiar: 51 bajtów ABK Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów DEL, skąd

Rozmiar: 167 bajtów

Podstawiając teraz do równości (1) zamiast stosunku Rozmiar: 97 bajtów równy mu stosunek Rozmiar: 100 bajtów, otrzymamy

Rozmiar: 197 bajtów

czyli

Rozmiar: 194 bajtów

cbdd.

351. Twierdzenie. Pola trójkątów podobnych tak się mają do siebie, jak kwadraty odpowiednich boków.

Niech Rozmiar: 51 bajtów ABC Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów DEF (rys. 316), i niech S oznacza pole trójkąta ABC, a S' pole trójkąta DEF.

Rys. 316

Rys. 316

Trójkąty ABC i DEF są podobne, więc Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D, a zatem

Rozmiar: 195 bajtów

czyli

Rozmiar: 197 bajtów

Ale z podobieństwa trójkątów mamy

Rozmiar: 163 bajtów

Podstawiając do poprzedniej równości zamiast stosunku Rozmiar: 96 bajtów równy mu stosunek Rozmiar: 100 bajtów, otrzymamy:

Rozmiar: 200 bajtów

czyli

Rozmiar: 199 bajtów .

To znaczy, że jeżeli np. boki jednego trójkąta są 2, 3, 4 ... razy większe, niż boku drugiego, to pole pierwsze trójkąta będzie 4, 9, 16 ... razy większe, niż pole drugiego.

352. Twierdzenie. Pola wielokątów podobnych tak się mają do siebie jak kwadraty odpowiednich boków.

Rys. 317

Rys. 317

Dwa wielokąty podobne możemy doprowadzić do położenia jednokładności względem jednego z wierzchołków np. C (rys. 317), wtedy prowadząc przekątne CA, CE itd., otrzymamy

Rozmiar: 342 bajtów

stąd

Rozmiar: 263 bajtów

Rozmiar: 249 bajtów

Rozmiar: 264 bajtów

ale

Rozmiar: 311 bajtów

więc

Rozmiar: 412 bajtów

Zatem

Rozmiar: 181 bajtów

cbdd.

Wniosek. Pola wielokątów foremnych o jednakowej liczbie boków tak się mają do siebie jak kwadraty promieni kół opisanych na tych wielokątach lub promieni kół wpisanych.

353. Twierdzenie. Wielokąt zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równoważny sumie podobnych do niego wielokątów zbudowanych na przyprostokątnych.

Rys. 318

Rys. 318

Niech będzie dany trójkąt prostokątny ABC (rys. 318), na boku trójkąta prostokątnego ABC wykreślamy wielokąty

S1, S2 i S3.

Niech S1 Rozmiar: 61 bajtów S2 Rozmiar: 61 bajtów S3. Mamy dowieść, że

S1 = S2 + S3.

Ponieważ wielokąty S2 i S1 są podobne, więc

Rozmiar: 160 bajtów

z podobieństwa zaś wielokątów S3 i S1 będzie

Rozmiar: 157 bajtów

Dodając te dwie równości, dostajemy

Rozmiar: 235 bajtów

ale

Rozmiar: 142 bajtów

AB2 + BC2 = AC2,

więc

czyli S1 = S2 + S3, cbdd.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach