Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Obliczanie pól wielokątów  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
§ 66. Pojęcie pola. Pola wielokątów
§ 67. Stosunek pól wielokątów podobnych
§ 68. Zadania konstrukcyjne
§ 69. Ćwiczenia
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 68. Zadania konstrukcyjne

Dla rozwiązania zagadnienia geometrycznego, wymagającego konstrukcji pewnej figury, jest rzeczą konieczną dostrzec związek, jaki istnieje pomiędzy jej elementami. Jeżeli ten związek zdołamy ująć w równaniu algebraicznym, to tą drogą możemy odnaleźć sposób konstrukcji. Ta właśnie metoda postępowania, zwana metodą algebraiczną, ma dość często zastosowanie w zadaniach pewnego charakteru, jak to zobaczymy na przykładach poniżej (porównaj § 58.).

Zadanie 1. Zbudować kwadrat 2, 3 ... razy większy od danego.

Jeżeli bok danego kwadratu jest równy a, natomiast x oznacza bok kwadratu poszukiwanego, to mamy równania

x2 = 2a2 ; x2 = 3a2,

stąd

Zadanie sprowadza się więc do wykreślenia otrzymanych odcinków, co już potrafimy wykonać.

Zadanie 2. Zbudować kwadrat dwa razy mniejszy od danego.

Mamy równanie

Rozmiar: 276 bajtów

Konstrukcja widoczna.

Zadanie 3. Zbudować kwadrat równoważny danemu prostokątowi.

Jeżeli bokami danego prostokąta są a i b, a x oznacza bok żądanego kwadratu, to

Rozmiar: 217 bajtów

Konstrukcja wiadoma. Porównaj z twierdzeniem pomocniczym do twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie 4. Wykreślić kwadrat 2Rozmiar: 69 bajtów razy większy od danego.

Zadanie 5. Kwadrat zamienić na równoważny mu prostokąt o danej podstawie.

Zadanie 6. Zbudować prostokąt, mając podstawę oraz sumę wysokości i przekątnej.

Zadanie 7. Trójkąt równoramienny zamienić na równoważny mu trójkąt równoboczny.

Rys. 319

Rys. 319

Analiza. Dany jest trójkąt równoramienny ABC (rys. 319), na jego podstawie AC wykreślmy najpierw trójkąt równoboczny AEC. Jeżeli żądanym trójkątem jest KLM, to będzie on podobny do trójkąta AEC.

Zauważmy przede wszystkim, że

Rozmiar: 180 bajtów ,

ale trójkąt KLM ma być równoważny trójkątowi ABC, a więc

Rozmiar: 179 bajtów

Z drugiej strony

Rozmiar: 171 bajtów

a więc

Rozmiar: 172 bajtów

skąd LD2 = BD × ED,

a wtedy

Rozmiar: 175 bajtów

Widzimy, że odcinek LD można będzie znaleźć jako odcinek średni proporcjonalny między BD i ED. Mając LD, łatwo już otrzymać żądany trójkąt.

Zadanie 8. Trójkąt dany zamienić na równoważny mu trójkąt równoboczny.

Zadanie 9. Wykreślić miejsce geometryczne takich punktów, których suma kwadratów odległości od danych dwóch punktów jest równa k2, gdzie k jest danym odcinkiem.

Analiza. Dane są punkty A i B, środkiem odcinka AB niech będzie O, a K niech będzie jednym z punktów żądanego miejsca geometrycznego. Wtedy, stosując twierdzenie o sumie kwadratów dwóch boków trójkąta, możemy napisać:

AK2 + KB2 = 2AO2 + 2KO2,

skąd

Rozmiar: 240 bajtów

czyli

Rozmiar: 177 bajtów

a więc

Rozmiar: 217 bajtów

Widzimy więc, że wszystkie punkty żądanego miejsca geometrycznego będą leżały na okręgu o środku w punkcie O i promieniu KO.

Zadanie 10. Trójkąt dany podzielić na trzy części równoważne prostymi równoległymi do podstawy.

Zadanie 11. Trójkąt dany podzielić na dwie części w stosunku m:n prostą równoległą do podstawy.

Zadanie 12. Trójkąt dany podzielić na dwie części równoważne prostą prostopadłą do podstawy.

Rys. 320

Rys. 320

Analiza. Niech danym trójkątem będzie Rozmiar: 51 bajtów ABC (rys. 320), a prosta EF prostopadła do AC będzie żądaną prostą. W takim razie

Rozmiar: 232 bajtów

ale

Rozmiar: 163 bajtów

więc

Rozmiar: 172 bajtów

stąd

Rozmiar: 247 bajtów

A więc niewiadomy odcinek EC wykreślimy, jako odcinek średni proporcjonalny między dwoma danymi odcinkami Rozmiar: 88 bajtów i DC.



 [  1]  [  2]  [  3 [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach