§ 69. Ćwiczenia

(1-2). Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, mając jego przyprostokątne a i b:

1. a = 12,4 cm, b = 6,5 cm.

2.

(3-5). Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, mając jego przeciwprostokątną c i przyprostokątną a:

3. c = 13 cm, a = 5 cm;

4. c = 3,4 cm, a = 1,6 cm;

5.

(6-9). Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, mając jego przeciwprostokątną i kąt ostry :

6. c = 24 cm, = 42^o20'.

7. c = 12,5 cm, = 36^o30'.

8. c = 8,2 cm, = 54^o24'.

9. c = 10 cm, = 64^o15'.

(10-13). Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, mając jego przyprostokątną a i kąt ostry :

10. a = 18 cm, = 28^o24'.

11. a = 32 cm, = 35^o12'.

12. a = 11,2 cm, = 62^o15'.

13. a = 8,6 cm, = 58^o18'.

(14-17). Obliczyć promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym oraz promień koła wpisanego w ten trójkąt, mając dane przyprostokątne a i b:

14. a = 25 cm, b = 60 cm.

15. a = 45 cm, b = 24 cm.

16. a = 10,5 cm, b = 10 cm.

17. a = 8,75 cm, b = 3 cm.

18. Obliczyć promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym oraz promień koła wpisanego w ten trójkąt mając daną przyprostokątną a i kąt ostry . Dane liczbowe wziąć z zadań (10-13).

19. Obliczyć promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym i promień koła wpisanego w ten trójkąt mając przyprostokątną c i kąt ostry . Dane liczbowe wziąć z zadań 6-9.

(20-21). Obliczyć pole trójkąta, w którym dane są trzy boki:

20. a = 33 cm, b = 25 cm, c = 52 cm.

21. a = 28 cm, b = 30 cm, c = 26 cm.

(22-25). Obliczyć pole trójkąta, mając jego dwa boki b i c oraz kąt ostry między nimi zawarty:

22. b = 8 cm, c = 5 cm, = 36^o40'.

23. b = 12 cm, c = 8,5 cm, = 56^o24'.

24. b = 6,4 cm, c = 3,2 cm, = 62^o15'.

25. b = 10 cm, c = 6,8 cm, = 42^o10'.

26. Biorąc dane liczbowe z zadań 20-21, obliczyć promień koła opisanego na trójkącie oraz promień koła wpisanego w ten trójkąt.

(27-28). Obliczyć pole równoległoboku, mając dane boki a i b oraz kąt ostry między nimi:

27. a = 20 cm, b = 16 cm, = 32^o12'.

28. a = 14 cm, b = 12,5 cm, = 52^o24'.

29. Obliczyć pole rombu, mając jego bok i kąt ostry.

30. Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, mając dane odcinki p i q, na które podzieliła podstawę wysokość, poprowadzona z wierzchołka kąta prostego.

31. Obliczyć pole trójkąta prostokątnego, jeżeli jedna z jego przyprostokątnych wynosi a, a jej rzutem na przeciwprostokątną jest p.

32. Pole trójkąta równobocznego jest równe Q. Obliczyć jego bok.

(33-34). Obliczyć bok kwadratu równoważnego trójkątowi o podstawie a i wysokości h:

33. a = 18,4 cm, h = 12,6 cm.

34. a = 14,25 cm, h = 11,15 cm.

(35-36). Trójkąt ma podstawę a i wysokość h. Podstawę zmniejszono o d; o ile należy powiększyć jego wysokość, żeby pole trójkąta pozostało bez zmiany?

35. a = 146 cm, h = 96 cm, d = 10 cm.

36. a = 48 cm, h = 52 cm, d = 4 cm.

37. Suma dwóch boków trójkąta wynosi 124 cm, wysokości odpowiadające tym bokom są równe 105 cm i 50 cm. Obliczyć pole trójkąta.

38. Suma boku i przekątnej kwadratu wynosi 10 cm. Obliczyć jego bok.

39. Przekątna kwadratu jest równa d. Obliczyć jego pole.

40. Obliczyć pole trapezu, którego podstawy mają długość 20 cm i 6 cm, a boki nierównoległe mają długość 15 cm i 17 cm.

41. Dla obliczenia pola wielokąta ABCDE (rys. 321) poprowadzono prostą KL, a następnie proste prostopadłe do niej z wierzchołków wielokąta i otrzymano

AA'= 24 cm, BB'= 36 cm,

CC'= 26 cm, DL'= 23 cm,

EE = 18 cm.

Odległości między spodkami tych prostopadłych wynoszą:

A'B'= 17 cm ; B'E'= 19cm; E'C'= 18 cm; C'D'= 16 cm. Obliczyć pole wielokąta ABCDE.

(42-51). Mając promień koła R, obliczyć pole wpisanego w to koło foremnego:

42. trójkąta foremnego,

43. czworokąta foremnego,

44. sześciokąta foremnego,

45. ośmiokąta foremnego,

46. dziesięciokąta foremnego,

47. pięciokąta foremnego,

48. dwunastokąta foremnego,

49. dziewięciokąta foremnego,

50. piętnastokąta foremnego,

51. n-kąta foremnego.

(52-54). Podać interpretację geometryczną następujących tożsamości:

52. (a + b)² = a² + 2ab + b²

53. (a - b)² = a² - 2ab + b²

54. (a + b)(a - b) = a² - b²

(55-62). Dany jest odcinek a i kąt ostry , wykreślić odcinek, który jest równy:

55. a × cos ;

56. a × tg ;

57. ;

58. a x sin;

59. a x sin;

60. ;

61. a × cos²;

62. a × sin².

63.* Na danym odcinku zbudować prostokąt równoważny danemu kwadratowi.

64. Zbudować prostokąt, mając sumę jego dwóch nierównych boków, a pole równe polu danego prostokąta.

65. Zbudować prostokąt, który byłby równoważny danemu prostokątowi i miał dany obwód.

66. Znaleźć dwa odcinki, których stosunek jest równy stosunkowi dwóch kwadratów.

67. Podzielić dany odcinek na takie dwie części, żeby różnica kwadratów zbudowanych na każdej z nich była równa danemu kwadratowi.

68. Większy z boków prostokąta podzielić na takie dwie części, żeby suma kwadratów zbudowanych na każdej z nich była równa danemu prostokątowi.

69. Dany odcinek przedłużyć o tyle, żeby prostokąt zbudowany z danego odcinka i jego przedłużenia był równoważny danemu kwadratowi.

70. Znaleźć takie dwa odcinki, żeby suma kwadratów na nich zbudowanej była równa danemu kwadratowi, a prostokąt z nich zbudowany był równoważny prostokątowi o podstawie a i wysokości b.

71. Podzielić równoległobok na kilka części równoważnych prostymi równoległymi do przekątnej.

72. Podzielić trapez w danym stosunku prostą równoległą do jego podstawy.

73. Podzielić trójkąt na trzy części równoważne dwiema prostymi, z których jedna ma być równoległa do podstawy, a druga do niej prostopadła.

74. Zbudować kwadrat równoważny danemu trójkątowi równobocznemu.

75. W dany trójkąt wpisać prostokąt równoważny danemu kwadratowi.