Kąty bryłowe i wielościany

§ 70. Kąty bryłowe

354. Określenia. Kątem bryłowym, czyli narożem nazywamy figurę utworzoną z kilku płaszczyzn, które, mając punkt wspólny, przecinają się po dwie i są ograniczone tymi przecięciami.

Płaszczyzny, które tworzą kąt bryłowy, nazywamy jego ścianami, ich punkt wspólny wierzchołkiem, a linie przecięcia płaszczyzn krawędziami kąta bryłowego.

Kąt bryłowy może być trójścienny, czworościenny itd., zależnie od liczby ścian.

Kąty utworzone przez każdą parę krawędzi, nazywamy płaskimi, np. kąty ASB, BSC itd. (rys. 322).

Każda krawędź kąta bryłowego jest zarazem krawędzią kąta dwuściennego utworzonego przez dwie ściany, których przecięciem jest ta krawędź. Tak np. SB jest krawędzią kąta dwuściennego ASBC.

Kąt bryłowy nazywamy wypukłym, jeżeli całkowicie leży z jednej strony każdej ze swoich ścian, w przeciwnym razie nazywamy go wklęsłym.

355. Twierdzenie. W kącie trójściennym każdy z kątów płaskich jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych.

Dany jest kąt trójścienny SABC (rys. 323). Niech największym z kątów płaskich będzie ASC. Z punktu S na płaszczyźnie ASC wyprowadźmy prostą SD tak, aby DSC = BSC i odmierzmy SE = SF, a następnie przez dwa punkty E i F poprowadźmy płaszczyznę, która przetnie ściany kąta trójściennego wzdłuż prostych GE, EH i GH.

Trójkąty FSH i ESH są przystające, a więc

FH = EH.

Z trójkąta GHE mamy GF + FH < GE + EH. Stąd otrzymujemy

GF < GE.

Zauważmy teraz, że trójkąty SGF i SGE mają po dwa boki równe, ale trzecie boki nierówne, w takim razie

GSF < GSE.

Dodając do obydwu stron tej nierówności  FSH =  ESH, otrzymamy

ASC < ASB + BSC, cbdd.

356. Twierdzenie. W każdym wypukłym kącie bryłowym suma kątów płaskich jest mniejsza od czterech kątów prostych.

Na jednej z krawędzi danego kąta bryłowego (rys. 324) obierzmy punkt A i poprowadźmy dowolną płaszczyznę, ale tak, aby przecięła ona wszystkie pozostałe krawędzie. W przecięciu ze ścianami kąta bryłowego otrzymamy wielokąt ABCDEF, którego każdy wierzchołek będzie wierzchołkiem kąta trójściennego.

Stosując poprzednie twierdzenie, otrzymamy:

ABC < ABS + CBS

BCD < BCS + DCS

CDE < CDS + EDS itd.

Dodając te nierówności, zauważmy, że po lewej stronie będzie suma kątów wielokąta ABCDEF, czyli 2d(n - 2) = 2dn - 4d, a po prawej suma kątów trójkątów ASB, BSC itd. oprócz tych, które leżą przy wierzchołku, a których suma x jest niewiadoma, więc po prawej stronie będzie 2dn-x. Otrzymujemy nierówność

2dn - 4d < 2dn - x,

a stąd

x < 4d.

357. Określenia. Jeżeli wewnątrz kąta trójściennego obierzemy dowolny punkt, a następnie opuścimy z niego proste prostopadłe do wszystkich ścian i przez każdą parę tych prostopadłych przesuniemy płaszczyznę, to utworzy się kąt trójścienny, który nazywamy kątem dopełniającym do danego.

Jeżeli np. z punktu O w kącie trójściennym SABC (rys. 325) opuścimy odcinki OK ASB, OL ASC i OM BSC, to kąt trójścienny OKLM jest kątem dopełniającym kąta SABC.

Wniosek. Z własności kąta, zawartego między prostopadłymi do ścian kąta dwuściennego (patrz § 43. ćw. 4) wnosimy, że kąty płaskie kąta dopełniającego są dopełnieniami kątów dwuściennych danego kąta trójściennego.

Tak więc np. kąt płaski KOM jest dopełnieniem kąta dwuściennego ASBC, czyli

KOM + (SB) = 180^o = 2d.

358. Twierdzenie. Jeżeli jeden kąt trójścienny jest kątem dopełniającym drugiego, to drugi jest kątem dopełniającym pierwszego.

Prosta OK (rys. 325) jest prostopadła do ściany ASB, a OM do ściany BSC, więc płaszczyzna KOM przechodząca przez te proste jest jednocześnie prostopadła do obu ścian, a więc do ich linii przecięcia SB i SB KOM. Podobnie krawędź SA jest prostopadła do KOL i krawędź SC do LOM, a to dowodzi twierdzenia.

Wniosek 1. Kąty płaskie danego kąta trójściennego są dopełnieniami kątów dwuściennych kąta dopełniającego.

Wniosek 2. Jeżeli dwa kąty trójścienne mają kąty płaskie odpowiednio równe, to ich kąty dopełniające mają kąty dwuścienne odpowiednio równe i odwrotnie.

359. Twierdzenie. W kącie trójściennym suma kątów dwu ściennych jest większa od dwóch kątów prostych, ale mniejsza od sześciu.

Niech będzie dany kąt trójścienny SABC (rys. 326), wykreślmy kąt dopełniający OKLM, wtedy:

KOL + (SA) = 2d,

KOM + (SC) = 2d,

LOM + (SB) = 2d.

Dodając stronami powyższe równości otrzymamy, że suma x kątów dwuściennych równa się sześciu kątom prostym pomniejszonym o sumę kątów płaskich kąta O, a więc x < 6d.

Ponieważ suma kątów płaskich jest mniejsza od 4d, więc będzie x > 2d, czyli

2d < x < 6d.