Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Kąty bryłowe i wielościany

§ 70. Kąty bryłowe

354. Określenia. Kątem bryłowym, czyli narożem nazywamy figurę utworzoną z kilku płaszczyzn, które, mając punkt wspólny, przecinają się po dwie i są ograniczone tymi przecięciami.

Płaszczyzny, które tworzą kąt bryłowy, nazywamy jego ścianami, ich punkt wspólny wierzchołkiem, a linie przecięcia płaszczyzn krawędziami kąta bryłowego.

Kąt bryłowy może być trójścienny, czworościenny itd., zależnie od liczby ścian.

Rys. 322

Rys. 322

Kąty utworzone przez każdą parę krawędzi, nazywamy płaskimi, np. kąty ASB, BSC itd. (rys. 322).

Każda krawędź kąta bryłowego jest zarazem krawędzią kąta dwuściennego utworzonego przez dwie ściany, których przecięciem jest ta krawędź. Tak np. SB jest krawędzią kąta dwuściennego ASBC.

Kąt bryłowy nazywamy wypukłym, jeżeli całkowicie leży z jednej strony każdej ze swoich ścian, w przeciwnym razie nazywamy go wklęsłym.

355. Twierdzenie. W kącie trójściennym każdy z kątów płaskich jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych.

Dany jest kąt trójścienny SABC (rys. 323). Niech największym z kątów płaskich będzie ASC. Z punktu S na płaszczyźnie ASC wyprowadźmy prostą SD tak, aby Rozmiar: 50 bajtów DSC = Rozmiar: 50 bajtów BSC i odmierzmy SE = SF, a następnie przez dwa punkty E i F poprowadźmy płaszczyznę, która przetnie ściany kąta trójściennego wzdłuż prostych GE, EH i GH.

Trójkąty FSH i ESH są przystające, a więc

FH = EH.

Z trójkąta GHE mamy GF + FH < GE + EH. Stąd otrzymujemy

GF < GE.

Zauważmy teraz, że trójkąty SGF i SGE mają po dwa boki równe, ale trzecie boki nierówne, w takim razie

Rozmiar: 50 bajtów GSF < Rozmiar: 50 bajtów GSE.

Dodając do obydwu stron tej nierówności Rozmiar: 50 bajtów FSH = Rozmiar: 50 bajtów ESH, otrzymamy

Rozmiar: 50 bajtów ASC < Rozmiar: 50 bajtów ASB + Rozmiar: 50 bajtów BSC, cbdd.

Rys. 323 Rys. 324
Rys. 323 Rys. 324

356. Twierdzenie. W każdym wypukłym kącie bryłowym suma kątów płaskich jest mniejsza od czterech kątów prostych.

Na jednej z krawędzi danego kąta bryłowego (rys. 324) obierzmy punkt A i poprowadźmy dowolną płaszczyznę, ale tak, aby przecięła ona wszystkie pozostałe krawędzie. W przecięciu ze ścianami kąta bryłowego otrzymamy wielokąt ABCDEF, którego każdy wierzchołek będzie wierzchołkiem kąta trójściennego.

Stosując poprzednie twierdzenie, otrzymamy:

Rozmiar: 50 bajtów ABC < Rozmiar: 50 bajtów ABS + Rozmiar: 50 bajtów CBS

Rozmiar: 50 bajtów BCD < Rozmiar: 50 bajtów BCS + Rozmiar: 50 bajtów DCS

Rozmiar: 50 bajtów CDE < Rozmiar: 50 bajtów CDS + Rozmiar: 50 bajtów EDS itd.

Dodając te nierówności, zauważmy, że po lewej stronie będzie suma kątów wielokąta ABCDEF, czyli 2d(n - 2) = 2dn - 4d, a po prawej suma kątów trójkątów ASB, BSC itd. oprócz tych, które leżą przy wierzchołku, a których suma x jest niewiadoma, więc po prawej stronie będzie 2dn-x. Otrzymujemy nierówność

2dn - 4d < 2dn - x,

a stąd

x < 4d.

357. Określenia. Jeżeli wewnątrz kąta trójściennego obierzemy dowolny punkt, a następnie opuścimy z niego proste prostopadłe do wszystkich ścian i przez każdą parę tych prostopadłych przesuniemy płaszczyznę, to utworzy się kąt trójścienny, który nazywamy kątem dopełniającym do danego.

Rys.325

Rys. 325

Jeżeli np. z punktu O w kącie trójściennym SABC (rys. 325) opuścimy odcinki OK Rozmiar: 53 bajtów ASB, OL Rozmiar: 53 bajtów ASC i OM Rozmiar: 53 bajtów BSC, to kąt trójścienny OKLM jest kątem dopełniającym kąta SABC.

Wniosek. Z własności kąta, zawartego między prostopadłymi do ścian kąta dwuściennego (patrz § 43. ćw. 4) wnosimy, że kąty płaskie kąta dopełniającego są dopełnieniami kątów dwuściennych danego kąta trójściennego.

Tak więc np. kąt płaski KOM jest dopełnieniem kąta dwuściennego ASBC, czyli

Rozmiar: 50 bajtów KOM + Rozmiar: 50 bajtów (SB) = 180o = 2d.

358. Twierdzenie. Jeżeli jeden kąt trójścienny jest kątem dopełniającym drugiego, to drugi jest kątem dopełniającym pierwszego.

Prosta OK (rys. 325) jest prostopadła do ściany ASB, a OM do ściany BSC, więc płaszczyzna KOM przechodząca przez te proste jest jednocześnie prostopadła do obu ścian, a więc do ich linii przecięcia SB i SB Rozmiar: 53 bajtów KOM. Podobnie krawędź SA jest prostopadła do KOL i krawędź SC do LOM, a to dowodzi twierdzenia.

Wniosek 1. Kąty płaskie danego kąta trójściennego są dopełnieniami kątów dwuściennych kąta dopełniającego.

Wniosek 2. Jeżeli dwa kąty trójścienne mają kąty płaskie odpowiednio równe, to ich kąty dopełniające mają kąty dwuścienne odpowiednio równe i odwrotnie.

359. Twierdzenie. W kącie trójściennym suma kątów dwu ściennych jest większa od dwóch kątów prostych, ale mniejsza od sześciu.

Rys. 326

Rys. 326

Niech będzie dany kąt trójścienny SABC (rys. 326), wykreślmy kąt dopełniający OKLM, wtedy:

Rozmiar: 50 bajtów KOL + Rozmiar: 50 bajtów (SA) = 2d,

Rozmiar: 50 bajtów KOM + Rozmiar: 50 bajtów (SC) = 2d,

Rozmiar: 50 bajtów LOM + Rozmiar: 50 bajtów (SB) = 2d.

Dodając stronami powyższe równości otrzymamy, że suma x kątów dwuściennych równa się sześciu kątom prostym pomniejszonym o sumę kątów płaskich kąta O, a więc x < 6d.

Ponieważ suma kątów płaskich jest mniejsza od 4d, więc będzie x > 2d, czyli

2d < x < 6d.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach