Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych

360. Określenie. Każdy kąt trójścienny zawiera sześć elementów: trzy kąty płaskie i trzy kąty dwuścienne i jeżeli dwa kąty bryłowe trójścienne mają wszystkie elementy odpowiednio równe, powinny być równe.

Tu jednak należy zrobić pewne zastrzeżenie: weźmy dowolny kąt trójścienny i przedłużmy jego krawędzie poza wierzchołek S (rys. 327), otrzymamy dwa kąty bryłowe: SABC i SA'B'C'.

Rys. 327

Rys. 327

Wszystkie ich elementy będą sobie odpowiednio równe, ale kąty te przystawać do siebie nie będą, ich elementy nie będą następowały w tym samym porządku, czyli będą miały zwrot przeciwny. Takie kąty bryłowe nazywamy symetrycznymi. Jeżeli zaś elementy mają zwrot zgodny, będą równe, czyli przystające.

Nie znając więc zwrotu dwóch kątów bryłowych, nie możemy z góry przewidzieć, czy będą one przystające, czy symetryczne.

Przystępując do warunków równości lub symetrii kątów bryłowych trójściennych, przekonamy się podobnie, jak to było dla trójkątów, że wystarczać będzie równość trzech elementów.

361. Twierdzenie. Jeżeli dwa kąty trójścienne mają kąty płaskie odpowiednio równe, to i kąty dwuścienne mają równe.

Rys. 328

Rys. 328

Dane są dwa kąty trójścienne S i S' (rys. 328), w których

Rozmiar: 50 bajtów ASB = Rozmiar: 50 bajtów A'S'B'; Rozmiar: 50 bajtów BSC = Rozmiar: 50 bajtów B'S'C'; Rozmiar: 50 bajtów ASC = Rozmiar: 50 bajtów A'S'C',

mamy dowieść, że kąty dwuścienne są odpowiednio równe.

Na krawędziach danych kątów trójściennych odmierzmy:

SD = SE = SF = S'D' = S'E' = S'F'.

Otrzymujemy wtedy:

Rozmiar: 51 bajtów SDE = Rozmiar: 51 bajtów S'D'E', Rozmiar: 51 bajtów SEF = Rozmiar: 51 bajtów S'E'F', Rozmiar: 51 bajtów SFD = Rozmiar: 51 bajtów S'F'D',

bo trójkąty te mają po dwa boki odpowiednio równe i po kącie między nimi zawartym równym. Z przystawania trójkątów wynikać będzie, że

DE = D'E', EF = E'F', DF = D'F',

a więc, że

Rozmiar: 51 bajtów DEF = Rozmiar: 51 bajtów D'E'F',

stąd zaś

Rozmiar: 50 bajtów FDE = Rozmiar: 50 bajtów F'D'E'.

Odmierzmy teraz DG = D'G' i poprowadźmy na płaszczyźnie ASB prostopadłe GH Rozmiar: 53 bajtów SA i G'H' Rozmiar: 53 bajtów S'A'. Wówczas trójkąty prostokątne DGH i D'G'H' będą przystające, gdyż DG = D'G' i Rozmiar: 50 bajtów SDE = Rozmiar: 50 bajtów S'D'E' (z przystawania trójkątów SDE i S'D'E'), skąd

DH = D'H' i GH = G'H'.

Na płaszczyznach ASC poprowadźmy prostopadłe GI Rozmiar: 53 bajtów SA, a na płaszczyźnie A'S'C' prostopadłe G'I' Rozmiar: 53 bajtów S'A', wtedy Rozmiar: 51 bajtów DGI = Rozmiar: 51 bajtów D'G'I', skąd

DI = D'I' i GI = G'I'.

Połączmy teraz punkt H z I i punkt H' z I' i zauważmy, że trójkąty DIH i D'I'H' mają po dwa boki i po kącie między nimi zawartym odpowiednio równym, a więc

Rozmiar: 51 bajtów DIH = Rozmiar: 51 bajtów D'I'H',

stąd zaś HI = H'I'.

Zatem trójkąty GIH i G'I'H' są przystające, gdyż mają po trzy odpowiednie boki równe, a więc

Rozmiar: 50 bajtów IGH = Rozmiar: 50 bajtów I'G'H'.

Ale są kąty liniowe, odpowiadające kątom dwuściennym (SA) i (S'A'), zatem (SA) = (S'A').

Podobnie można dowieść równości pozostałych kątów.

Stąd wynika bezpośrednio:

Wniosek. Dwa kąty trójścienne są równe albo symetryczne jeżeli mają:

1) trzy odpowiednie kąty płaskie równe albo

2) trzy odpowiednie kąty dwuścienne równe.

362. Zadanie. Zbudować kąty trójścienne, mając dwa kąty płaskie i kąt dwuścienny między nimi zawarty.

Jeżeli mamy dany kąt dwuścienny (PQ) (rys. 329), to z dowolnego punktu S jego krawędzi możemy poprowadzić na płaszczyźnie P prostą SB pod danym kątem Rozmiar: 51 bajtów do SA, a na płaszczyźnie Q prostą SC pod danym kątem ASC = Rozmiar: 52 bajtów. Dwie przecinające się proste SB i SC wyznaczają trzecią ścianę BCS kąta bryłowego.

Wniosek. Dwa kąty trójścienne są równe albo symetryczne, jeżeli mają odpowiednie dwa kąty płaskie równe i kąt dwuścienny między nimi zawarty.

Rys. 329 Rys. 330
Rys. 329 Rys. 330

363. Zadanie. Zbudować kąt bryłowy trójścienny, mając dwa kąty dwuścienne i kąt płaski między nimi zawarty.

Niech będzie dany kąt dwuścienny o krawędzi SA i ścianach P i Q (rys. 330). Na ścianie P pod danym kątem Rozmiar: 51 bajtów prowadzimy prostą SB, a następnie, mając płaszczyznę P i krawędź SB, budujemy kąt dwuścienny dany, którego druga ściana R przetnie ścianę Q pierwszego z nich wzdłuż prostej SC. W ten sposób pozostałe kąty płaskie są wyznaczone, a więc wyznaczony jest kąt trójścienny.

Wniosek. Dwa kąty trójścienne są równe albo symetryczne, jeżeli mają odpowiednie dwa kąty dwuścienne równe i kąt płaski między nimi zawarty.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach