Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni

364. Określenie. Wielościanem nazywamy bryłę ze wszystkich stron ograniczoną płaszczyznami.

Płaszczyzny, które ograniczają wielościan, nazywamy jego ścianami, odcinki linii przecięcia ścian krawędziami wielościanu, a punkty przecięcia krawędzi wierzchołkami.

Wielościan nazywamy wypukłym, jeżeli leży po jednej stronie każdej ze swoich ścian. Nadal mówić będziemy jedynie o wielościanach wypukłych.

Przekątną wielościanu nazywamy odcinek linii prostej, który łączy dwa wierzchołki nie położone na tej samej ścianie.

Jedną ze ścian wielościanu uważamy za podstawę, wtedy pozostałe nazywamy ścianami bocznymi.

W niektórych wielościanach będziemy wyróżniać dwie ściany jako podstawy, zwykle te, które są przystające i równoległe.

Sumę pól ścian bocznych nazywamy polem powierzchni bocznej wielościanu albo krócej powierzchnią boczną, a sumę pól wszystkich ścian bez wyjątku polem powierzchni całkowitej albo krócej powierzchnią całkowitą.

365. Określenia. Graniastosłup jest to wielościan ograniczony z dwóch stron przystającymi do siebie wielokątami o odpowiednich bokach równoległych, a z pozostałych stron równoległobokami (rys. 331).

O istnieniu takiej bryły możemy się z łatwością przekonać, biorąc dowolny wielokąt ABCDE i prowadząc przez wszystkie jego wierzchołki równoległe do siebie proste AA', BB' itd., przecinając je płaszczyzną równoległą do ABCDE i wreszcie przez każdą parę prostych: AA' i BB', BB' i CC' itd. przesuwając płaszczyznę.

Wielokąty ABCDE i A'B'C'D'E' nazywamy podstawami graniastosłupa, a równoległoboki ABB'A', BCC'B' itd. ścianami bocznymi.

Wysokością graniastosłupa nazywamy odcinek prostopadły do obu podstaw.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są sobie równe jako odcinki równoległe, zawarte pomiędzy równoległymi płaszczyznami.

Płaszczyznę poprowadzoną przez dwie krawędzie boczne graniastosłupa, nie położone na tej samej ścianie, nazywamy płaszczyzną przekątną.

Graniastosłup jest prosty lub pochyły zależnie od tego, czy krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, czy pochyłe.

W graniastosłupie prostym każda ze ścian bocznych jest prostokątem, a każda z krawędzi bocznych wysokością graniastosłupa.

Jeżeli graniastosłup pochyły przetniemy płaszczyzną prostopadłą do krawędzi bocznych, to wielokąt abcde, który otrzymamy w przecięciu, nazywamy przekrojem prostopadłym. Boki tego wielokąta są oczywiście prostopadłe do krawędzi bocznych.

Graniastosłup prosty nazywamy graniastosłupem prawidłowym, jeżeli ma za podstawę wielokąt foremny.

Graniastosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym itd., jeżeli ma za podstawę trójkąt, czworokąt itd.

Rys. 331 .Rys. 332
Rys. 331 Rys. 332

366. Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa równa się iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu przekroju prostopadłego.

Niech będzie dany graniastosłup pochyły BD' (rys. 332) i niech wielokąt abcd będzie jego przekrojem prostopadłym.

Powierzchnia boczna równać się będzie sumie pól wszystkich ścian bocznych, a że ab jest prostopadłe do AA', bc do BB' itd., więc będzie równa AA' × ab + BB' × bc + CC' × cd + DDv × ad = (ab + bc + cd + ad) × AA', cbdd.

Wniosek 1. W graniastosłupie prostym przekrój prostopadły jest przystający do podstawy, a więc pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego równa się iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu podstawy.

Jeżeli więc obwód podstawy jest równy P, a wysokość graniastosłupa h, to pole powierzchni bocznej:

S = P × h.

Wniosek 2. Aby znaleźć pole powierzchni całkowitej, należy do powierzchni bocznej dodać pola obu podstaw. Jeżeli więc pole podstawy jest równe B, to pole powierzchni całkowiej

S' = S + 2B.

Wniosek 3. Jeżeli graniastosłup jest prawidłowy, to pole podstawy

Rozmiar: 124 bajtów

gdzie P oznacza obwód, a r promień okręgu wpisanego w podstawę, mamy wtedy

S' = S + P × r

czyli

S' = P × h + P × r = P × (h + r).

Przykład. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym podstawa ma bok a = 5 m, a wysokość h = 12 m.

Wtedy pole powierzchni bocznej

S = P × h = 3a × h = 180 m2.

Podwojone pole podstawy:

2B = Rozmiar: 109 bajtów = 21,65 m2,

a więc pole powierzchni całkowitej wynosi

S' = 180 + 21,65 = 201,65 m2.

Rys. 333

Rys. 333

367. Określenia. Graniastosłup, który ma za podstawę równoległobok, nazywamy równoległościanem (rys. 333).

Z tego określenia widzimy, że w równoległościanie wszystkie ściany są równoległobokami, każda z nich może być uznana za podstawę.

W równoległościanie prostym podstawy są równoległobokami, a ściany boczne prostokątami.

Równoległościan prosty, który ma za podstawę prostokąt, nazywamy prostopadłościanem. Trzy krawędzie, wychodzące z jednego punktu, nazywamy jego wymiarami (długość, szerokość i wysokość). Prostopadłościan, którego wymiary są równe, nazywamy sześcianem.

Łatwo zrozumieć, że w każdym równoległościanie przeciwległe ściany są przystające i równoległe.

Tak np. ściany ADD'A' i BCC'B' są przystające i równoległe, dlatego że kąty A'AD i B'BC są równe i leżą na płaszczyznach równoległych, a krawędzie boczne są równe.

W sześcianie wszystkie ściany są przystające i wszystkie krawędzie są równe.

368. Twierdzenie. W każdym równoległościanie przekątne przecinają się w jednym punkcie i dzielą się na połowy.

W równoległościanie AC' (rys. 334) zauważmy najpierw dwie przekątne AC' i BD'. Jeżeli przez dwie równoległe DA i C'B' poprowadzimy płaszczyznę, to w przecięciu z równoległościanem otrzymamy czworokąt DAB'C', który jest równoległobokiem, bo DA II C'B', a DC' II AB', jako przecięcia dwóch płaszczyzn równoległych.

Proste AC' i DB' są przekątnymi tego równoległoboku, a zatem przecinają się i dzielą na połowy.

Biorąc teraz przekątną AC' i jedną z następnych, w podobny sposób przekonamy się, że one w tym samym punkcie dzielą się na połowy. Punkt ten nazywamy środkiem równoległościanu.

Rys.334 Rys. 335
Rys. 334 Rys. 335

Uwaga. W prostopadłościanie wszystkie cztery przekątne są sobie równe, dlatego że w prostokącie przekątne są sobie równe.

Jeżeli w prostopadłościanie AC' (rys. 335) poprowadzimy przekątną D'B, to z trójkąta prostokątnego DD'B otrzymujemy

D'B2 = D'D2 + DB2,

ale znowu z trójkąta ADB mamy

DB2 = AD2 + AB2,

więc

D'B2 = D'D2 + AD2 + AB2,

tj. w prostopadłościanie kwadrat przekątnej równa się sumie kwadratów jego trzech wymiarów.



 [  1]  [  2]  [  3 [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach