Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni

Rys. 336

Rys. 336

369. Określenia. Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a ścianami bocznymi są trójkąty o wspólnym wierzchołku, np. SABCDE (rys. 336).

Wspólny punkt S wszystkich trójkątów nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

Prostopadłą poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa do podstawy nazywamy jego wysokością.

Płaszczyznę poprowadzoną przez dwie krawędzie boczne nie położone na jednej ścianie ostrosłupa nazywamy płaszczyzną przekątną.

Ostrosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym itd., jeżeli ma za podstawę trójkąt, czworokąt itd.

Wysokość każdego z trójkątów, które służą za ściany boczne, nazywamy wysokością ściany bocznej.

Ostrosłup nazywamy prostym, jeżeli w jego podstawę można wpisać koło, a spodek jego wysokości jest środkiem tego koła. Wszelki inny ostrosłup, który powyższych warunków nie spełnia, nazywamy pochyłym.

Łatwo wywnioskować, że w ostrosłupie prostym wszystkie wysokości ścian bocznych są sobie równe.

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym, jeżeli ma za podstawę wielokąt foremny.

W ostrosłupie prawidłowym:

1) ścianami bocznymi są trójkąty równoramienne przystające do siebie;

2) wysokość ściany bocznej dzieli bok podstawy na połowy;

3) spodek wysokości jest środkiem podstawy (tj. środkiem koła wpisanego w podstawę).

370. Twierdzenie. Jeżeli ostrosłup przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy, to:

1) krawędzie boczne, wysokość ścian bocznych i wysokość podzielą się na odcinki do siebie proporcjonalne;

2) podstawa i przekrój będą wielokątami podobnymi;

3) pola podstawy i przekroju będą proporcjonalne do kwadratów ich odległości od wierzchołka ostrosłupa.

Rys. 337

Rys. 337

Ostrosłup SABCDE (rys. 337) przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy. Niech wielokąt abcde będzie przekrojem.

1) Z jednokładności otrzymanych figur mamy:

Rozmiar: 363 bajtów

Ale opuściwszy wysokość SO, otrzymamy znowu

Rozmiar: 160 bajtów

a więc będzie

Rozmiar: 292 bajtów

W tym samym stosunku będą oczywiście wysokości ścian bocznych

2) Z poprzednio otrzymanych stosunków będziemy mieli

Rozmiar: 239 bajtów

Ponadto, jak łatwo zauważyć, Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów a, Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów b itd., więc wielokąty ABCDE i abcde są podobne.

3) Pola wielokątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów odpowiednich boków, więc

Rozmiar: 321 bajtów

ale

Rozmiar: 164 bajtów

bo każdy z tych stosunków, jak widzieliśmy, był równy Rozmiar: 96 bajtów; zatem

Rozmiar: 315 bajtów

Wniosek. Jeżeli dwa ostrosłupy mają wysokości równe, a podstawy równoważne, to ich przekroje jednakowo od wierzchołków ostrosłupów odległe są równoważne.

Niech będą dane dwa ostrosłupy S i S' (rys. 338) o wysokości KL. Przetnijmy je płaszczyzną Q, równoległą do płaszczyzny podstaw P, w odległości KM od wierzchołków.

Rys. 338

Rys. 338

Niech pola podstaw będą równe B i B', a pola przecięć b i b', wtedy w pierwszym ostrosłupie będzie

Rozmiar: 151 bajtów

W drugim

Rozmiar: 161 bajtów

skąd

Rozmiar: 128 bajtów

a ponieważ B = B', więc b = b', cbdd.

371. Określenia. Część ostrosłupa zawarta między dwoma równoległymi przekrojami nazywamy ostrosłupem ściętym np. AC' (rys. 339).

Wielokąty ABC i A'B'C' są podstawami ostrosłupa ściętego, odległość OO' pomiędzy nimi jego wysokością.

Ostrosłup ścięty jest prosty lub pochyły, zależnie od tego, czy go otrzymano z ostrosłupa prostego czy pochyłego.

Ostrosłup ścięty prosty nazywamy prawidłowym, jeżeli ma za podstawy wielokąty foremne. Ścianami bocznymi są wówczas trapezy równoramienne, a wysokość ostrosłupa przechodzi przez środki podstaw.

Z poprzedniego twierdzenia wnosimy, że w ostrosłupie ściętym podstawy są do siebie podobne.

Rys. 339 Rys. 340
Rys. 339 Rys. 340

372. Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prostego równa się połowie iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prosty SABCDE (rys. 340). Opuśćmy wysokości ścian bocznych SK, SL, SM itd., wtedy

pole Rozmiar: 51 bajtów ASB = Rozmiar: 128 bajtów

pole Rozmiar: 51 bajtów BSC = Rozmiar: 122 bajtów

pole Rozmiar: 51 bajtów CSD = Rozmiar: 129 bajtów, itd.

Dodając te równości do siebie i wiedząc, że w ostrosłupie

prostym wysokości ścian bocznych są równe, otrzymamy pole

powierzchni bocznej ostrosłupa: Rozmiar: 266 bajtów,

a oznaczając obwód podstawy literą P, a wysokość ściany

bocznej ostrosłupa literą l, otrzymamy

Rozmiar: 119 bajtów

Wniosek 1. Jeżeli pole podstawy jest równe B, to pole powierzchni całkowitej

S' = S + B.

Wniosek 2. Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy, to pole podstawy jest równe

Rozmiar: 125 bajtów

gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w podstawę. Zatem

Rozmiar: 195 bajtów

czyli

Rozmiar: 159 bajtów

373. Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa ściętego prostego równa się iloczynowi wysokości ściany bocznej tego ostrosłupa i połowy sumy obwodów jego obu podstaw.

Rys. 341

Rys. 341

Dany jest ostrosłup ścięty prosty AC' (rys. 341). Weźmy pod uwagę wysokości ścian bocznych KK', LL' itd. i znajdźmy pole każdej z nich:

pole ABB'A' = Rozmiar: 149 bajtówˇ KK'

pole BB'C'C = Rozmiar: 144 bajtówˇ LL'

pole CC'D'D = Rozmiar: 145 bajtówˇ MM'

Dodając do siebie te równości i pamiętając o tym, że w ostrosłupie prostym wysokości ścian bocznych są sobie równe, otrzymamy pole powierzchni bocznej

Rozmiar: 404 bajtów

Oznaczając obwód podstawy dolnej literą P, górnej literą P˘, a wysokość ściany bocznej literą l dostajemy

Rozmiar: 147 bajtów

Wniosek 1. Powierzchnia całkowita S˘ ostrosłupa ściętego jest równa

S' = S + B + B˘,

gdzie B i B' oznaczają pola podstaw, a S pole powierzchni bocznej.

Wniosek 2. Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy i r, r' są promieniami okręgów wpisanych w podstawy, a P i P' oznaczają obwody podstaw, to

Rozmiar: 213 bajtów

skąd

Rozmiar: 417 bajtów

Wniosek 3. Jeżeli ostrosłup ścięty przetniemy płaszczyzną, przechodzącą przez środki krawędzi bocznych, to w przekroju otrzymamy wielokąt, którego obwód będzie równy połowie sumy obwodów obu podstaw (dlatego że każdy bok jako linia środkowa trapezu jest równy połowie sumy boków równoległych). Taki przekrój nazywamy przekrojem środkowym.

A więc pole powierzchni bocznej ostrosłupa ściętego prostego jest równe iloczynowi wysokości ściany bocznej ostrosłupa i obwodu przekroju środkowego.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4 [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach