Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 74. Wielościany foremne

374. Jeżeli liczbę ścian ograniczających dany wielościan wypukły oznaczymy przez S, liczbę wszystkich jego krawędzi przez K, a liczbę wierzchołków przez W, to między tymi liczbami można ustalić pewną prostą zależność.

Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie*. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających.

Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność

S + W = K + 1.

Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K = W + 1, a więc będzie znowu

S + W = K + 1.

Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (będzie S = 3, W = K - 2). Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie

S + W = K + 2.

Tą drogą doszliśmy do zależności, która nosi nazwę twierdzenia Eulera:

w wielościanie wypukłym liczba ścian i wierzchołków jest o 2 większa od liczby krawędzi.

Np. w sześcianie mamy: 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi: 6 + 8 = 12 + 2.

W ostrosłupie pięciokątnym mamy: 6 ścian, 10 krawędzi i 6 wierzchołków, więc znowu S + W = K + 2 itd.

Uwaga. Twierdzenie powyższe nosi imię Eulera, jakkolwiek nie ulega wątpliwości, że pierwszy udowodnił je znakomity filozof i matematyk francuski Descartes (1596-1650), ale opublikowano je dopiero w 1860 r., już kiedy Euler w drugiej połowie XVII wieku podał je do ogólnej wiadomości. Są zresztą podstawy do mniemania, że już Archimedesowi twierdzenie to nie było obce.

375. Wielościan wypukły, ograniczony przystającymi do siebie wielokątami foremnymi, który ma wszystkie kąty bryłowe równe, nazywa się wielościanem foremnym. Stąd już widać, że wielościan foremny ma wszystkie ściany, wszystkie krawędzie, kąty płaskie i kąty dwuścienne równe.

Łatwo można się przekonać, że wielościanów foremnych może istnieć nie więcej niż pięć.

Istotnie: najprostszą ścianą może być trójkąt foremny, a ponieważ jego kąt jest równy 60o, suma zaś wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360o, więc z jednego wierzchołka mogą wychodzić: 3 krawędzie (60o × 3 = 180o < 360o) albo 4 krawędzie ( 60o × 4 = 240o < 360o), albo wreszcie 5 krawędzi (60o × 5 = 300o < 360o). A zatem z trójkątów można zbudować nie więcej niż 3 wielościany foremne. Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90o = 270o).

Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108o (108o × 3 < 360o).

Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie da.

376. O liczbie wielościanów foremnych możemy także przekonać się z twierdzenia Eulera.

Jeżeli mianowicie liczbę krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka oznaczymy przez m, to ze wszystkich W wierzchołków otrzymalibyśmy W × m krawędzi, ale, jak łatwo widać, każda z nich powtarzać się będzie dwa razy, więc istotna liczba wszystkich krawędzi będzie równa

Rozmiar: 247 bajtów

Jeżeli dalej liczbę krawędzi, ograniczających każdą ścianę, oznaczymy przez n, to liczba krawędzi wszystkich S ścian będzie S × n, ale znowu w rzeczywistości będzie ich 2 razy mniej:

Rozmiar: 125 bajtów

Podstawiając otrzymane wartości na W i K do wzoru Eulera:

W+S=K+2

otrzymamy:

Rozmiar: 223 bajtów

Zakładając teraz n = 3, mamy

Rozmiar: 137 bajtów

a więc m może mieć wartości: 3, 4 i 5, wtedy mamy S = 4, S = 8, S = 20.

Biorąc n = 4 i n = 5, mamy

Rozmiar: 297 bajtów

Dla m może istnieć tylko wartość m = 3, wtedy S = 6; S = 12.

W ten sposób potwierdzają się nasze poprzednie wnioski.

377. Wielościan foremny ograniczony czterema trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym, czyli tetraedrem (rys. 342).

Wielościan foremny ograniczony ośmioma trójkątami nazywamy ośmiościanem foremnym, czyli oktaedrem (rys. 343). Dwudziestoma trójkątami ograniczony jest dwudziestościan foremny, czyli ikosaedr (rys. 344).

Rys. 342
Rys. 342
  Rys. 343
Rys. 343


Rys. 344
Rys. 344

Sześcioma kwadratami ograniczony jest sześcian foremny czyli po prostu sześcian, inaczej heksaedr (rys. 345).

Rys. 345 Rys. 346
Rys. 345 Rys. 346

Wreszcie 12 pięciokątów ogranicza dwunastościan foremny czyli dodekaedr (rys. 346).

378. O istnieniu wymienionych brył przekonać się można, budując je.

1) Czworościan zbudować łatwo jako ostrosłup, który ma za podstawę trójkąt równoboczny, a wierzchołek w odległości od każdego z jego wierzchołków równej bokowi tego trójkąta.

2) Ośmiościan składa się z dwóch ostrosłupów o wspólnej podstawie będącej kwadratem, a krawędzie boczne są równe bokom kwadratu.

3) Dwudziestościan (rys. 344) zbudować już trudniej. Ale zauważmy, że górna jego część jest ostrosłupem, którego podstawą jest pięciokąt foremny o boku równym krawędzi całej bryły. Ten ostrosłup zbudować możemy, wiedząc, że krawędzie boczne są równe bokom wspomnianego pięciokąta. W ten sposób będziemy mieli zbudowany kąt bryłowy. Wykonując następnie konstrukcję takiego samego kąta bryłowego przy każdym wierzchołku podstawy, otrzymamy żądaną bryłę.

4) Budowa sześcianu jest oczywista.

5) Dwunastościan otrzymany, jeżeli wykreślimy pięciokąt foremny i do każdego z jego boków przystawimy równe mu pięciokąty w ten sposób, żeby przy każdym wierzchołku utworzył się trójścienny kąt bryłowy. Otrzymamy w ten sposób połowę całej bryły. Druga połowa będzie położona symetrycznie z pierwszą.

379. Wyobraźmy sobie, że jakakolwiek ściana wielościanu obraca się dokoła jednego ze swych boków, aż upadnie na płaszczyznę, która jest przedłużeniem drugiej ściany. Następnie te dwie ściany obracają się znowu dokoła boku i upadną na przedłużenie trzeciej ściany itd., aż wreszcie wszystkie ściany będą leżały na jednej płaszczyźnie. W ten sposób otrzymamy na płaszczyźnie figurę, która nazywa się siatką wielościanu. Będzie ona składała się ze wszystkich wielokątów, ograniczających dany wielościan.

Rys. 347 Rys. 348
Rys. 347 Rys. 348

Jeżeli taką siatkę zrobimy na kartonie, zegniemy wzdłuż wszystkich krawędzi i wolne krawędzie ze sobą połączymy, otrzymamy model wielościanu.

Na rys. 347, 348, 349, 350, 351 są przedstawione siatki wielościanów foremnych. Można z nich uformować modele.

Uwaga. Wielościany foremne znali już Pitagorejczycy w VI w. p.n.e. i pod postaciami sześcianu, ośmiościanu, czworościanu i dwudziestościanu wyobrażali cztery żywioły: ziemię, powietrze, ogień i wodę, a od czasów Platona uważano piąty wielościan foremny, dwunastościan, za postać wszechświata.

Rys. 350

Rys. 350

Rys. 351

Rys. 351



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5 [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach