Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa

380. Określenie. Przypominając sobie to, co mówiliśmy o równoważności wielokątów (patrz § 33.), przyjmujemy, że:

dwa graniastosłupy są równoważne, jeżeli można je podzielić na tę samą ilość wielościanów odpowiednio do siebie przystających, oraz

dwa graniastosłupy, z których każdy z osobna jest równoważny trzeciemu, są równoważne.

Jeżeli dwa graniastosłupy są przystające, to oczywiście są także i równoważne.

Jakie warunki muszą być spełnione, aby dwa wielościany były przystające, wywnioskować łatwo: muszą mieć wszystkie ściany i wszystkie kąty bryłowe odpowiednio przystające i ściany muszą następować po sobie w tym samym porządku. Dla przystawania graniastosłupów liczba tych warunków znacznie się, oczywiście, zredukuje.

Rys. 352

Rys. 352

381. Twierdzenie. Dwa równoległościany o przystających podstawach i równych wysokościach są równoważne.

Dla ułatwienia rozumowania rozważymy na początek dwa równoległościany o wspólnej podstawie, mające górne podstawy położone między tymi samymi równoległymi prostymi (rys. 352).

Zgodnie z pewnikiem Archimedesa, odcinkami AN i BN wyczerpiemy krawędzie BF i AM i równoległościany podzielimy na jednakową liczbę wielościanów do siebie przystających, jak wskazuje rysunek.

Jeżeli teraz weźmiemy przypadek ogólniejszy, kiedy podstawy górne nie będą już położone między tymi samymi równoległymi prostymi (rys. 353), to bez trudu możemy go sprowadzić do przypadku poprzedniego. Wystarczy zbudować równoległościan pomocniczy (III), przedłużając boki obu górnych podstaw równoległościanów I i II, jak wskazuje rysunek.

Rys. 353

Rys. 353

Wtedy równoległościany I i II będą równoważne jako równoważne każdy z osobna równoległościanowi III.

382. Wnioski. Z powyższego twierdzenia wynikać będzie:

1. Równoległościan pochyły można przekształcić na równoważny mu równoległościan prosty o tej samej podstawie i tej samej wysokości.

2. Każdy równoległościan można zamienić na równoważny mu prostopadłościan o tej samej wysokości, a podstawie równoważnej.

3. Równoległościan można zamienić na równoważny mu graniastosłup, który będzie miał wysokość tę samą, a za podstawę trójkąt równoważny podstawie danego równoległościanu.

4. Graniastosłup wielokątny można zamienić na trójkątny, a ten na równoległościan, a dalej na prostopadłościan. Każdy zaś prostopadłościan można przekształcić na równoważny mu prostopadłościan o danej podstawie (porównaj § 34.).

Z powyższego wysnuć można ważny wniosek, że graniastosłupy podobnie jak wielokąty, kąty, odcinki, stanowią rodzaj wielkości geometrycznych, które mogą być ze sobą porównywane, dodawane, odejmowane itp. - mogą być mierzone (porównaj § 33.).

383. Określenia. Ażeby dokonać pomiaru graniastosłupa, należy go porównać z graniastosłupem, przyjętym za jednostkę. Liczbę, która wyraża stosunek graniastosłupa do przyjętej jednostki, nazywamy objętością.

Za jednostkę objętości uważa się najprostszy graniastosłup, mianowicie sześcian, którego każda krawędź jest równa jednostce liniowej, więc metr sześcienny (m3), tj. sześcian o krawędzi 1 metra, centymetr sześcienny (cm3), czyli sześcian o krawędzi 1 centymetra itd.

W zagadnieniu, dotyczącym obliczania objętości graniastosłupów podobnie, jak to zrobiliśmy, mówiąc o polu wielokąta, założymy, że: graniastosłupy równoważne mają objętości równe; graniastosłup, który jest sumą dwóch graniastosłupów danych, ma objętość równą sumie objętości tych graniastosłupów.

384. Ponieważ graniastosłup można przekształcić na równoważny mu prostopadłościan, więc zadaniem zasadniczym dla nas będzie obliczenie objętości prostopadłościanu.

Niech będzie dany prostopadłościan AG (rys. 354), za jednostkę objętości weźmiemy sześcian M (= 1 cm3).

Dla obliczenia objętości prostopadłościanu AG czyli obliczenia, ile razy w nim pomieści się sześcian M, musimy znaleźć stosunek każdego z trzech wymiarów: AB, AD i AE do krawędzi tego sześcianu.

Jeżeli te stosunki są liczbami całkowitymi: a, b i c, to objętością prostopadłościanu będzie

V = a × b × c.

Rys. 354

Rys. 354

Jeżeli te stosunki będą ułamkami, to znaczyć będzie, że pewna część krawędzi sześcianu pomieści się w omawianych odcinkach całkowitą liczbę razy i znowu będzie

V = k × l × m,

gdzie k, l, m oznaczają ułamkowe wartości stosunków.

Wreszcie może zajść przypadek, kiedy żaden z odcinków AB, AD i AE nie jest współmierny z krawędzią sześcianu. Wtedy wartość każdego z trzech stosunków będzie liczbą niewymierną, wyznaczoną przez przekrój dwóch klas liczb wymiernych i objętością prostopadłościanu nazwiemy liczbę niewymierną, wyznaczoną przez taki przekrój, gdzie do niższej klasy należeć będą iloczyny liczb, należących do trzech poprzednich klas niższych:

przekrój (a × b × c) = przekrój (a) × przekrój (b) × przekrój (c).

Ponieważ liczba wymiarowa odcinka AB pomnożona przez liczbę wymiarową AD daje pole podstawy prostopadłościanu, zaś AE jest jego wysokością, więc możemy powiedzieć, że:

objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości prostopadłościanu.

Ściślej należało powiedzieć: "przez liczbę wymiarową albo długość wysokości".

Ponieważ w sześcianie wszystkie trzy wymiary są sobie równe, więc będzie

V = a3

tj. objętość sześcianu jest równa trzeciej potędze jego krawędzi (długości krawędzi).

Dlatego trzecią potęgę nazywamy sześcianem.

Wniosek. Każdy równoległościan można przekształcić na równoważny mu prostopadłościan o tej samej wysokości, a podstawie równoważnej. Graniastosłup trójkątny można przekształcić na równoważny mu równoległościan, a graniastosłup wielokątny na równoważny mu trójkątny (patrz punkt 382).

Stąd wynika, że

objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości graniastosłupa, czyli

V = B × h,

gdzie B oznacza pole podstawy, zaś h wysokość graniastosłupa.



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6 [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach