Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Kąty bryłowe i wielościany  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
§ 70. Kąty bryłowe
§ 71. Równość i symetria kątów trójściennych
§ 72. Pojęcie wielościanu wypukłego. Graniastosłup, pole jego powierzchni
§ 73. Ostrosłup, pole jego powierzchni
§ 74. Wielościany foremne
§ 75. Graniastosłupy równoważne. Objętość graniastosłupa
§ 76. Ćwiczenia
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 76. Ćwiczenia

1. Podzielić kąt dwuścienny na połowy.

2. Znaleźć miejsce geometryczne punktów równo oddalonych: a) od dwóch przecinających się płaszczyzn; b) od trzech przecinających się płaszczyzn.

3. Udowodnić, że w kącie bryłowym trójściennym:

a) płaszczyzny dzielące na połowy kąty dwuścienne przecinają się wzdłuż jednej prostej;

b) płaszczyzny poprowadzone przez jego krawędzie i prostopadłe do przeciwległych ścian przecinają się wzdłuż jednej prostej.

c) płaszczyzny przechodzące przez jego krawędzie i przez dwusieczne kątów płaskich ścian przeciwległych przecinają się wzdłuż jednej prostej.

(4-8). Jaką figurę otrzymamy w przekroju, jeżeli:

4. graniastosłup trójkątny przetniemy płaszczyzną, która przechodzi przez jeden z boków podstawy i wierzchołek ostrosłupa nie położony na jednej płaszczyźnie z tym bokiem?

5. graniastosłup trójkątny przetniemy płaszczyzną, która przechodzić ma przez środki dwóch boków podstawy i przez jeden z wierzchołków drugiej podstawy?

6. graniastosłup trójkątny prosty przetniemy płaszczyzną, która przechodziłaby przez jeden z boków podstawy i była nachylona pod kątem ostrym do tej podstawy? Wskazać kąt nachylenia.

7. równoległościan przetniemy płaszczyzną, przechodzącą przez dwie krawędzie do siebie równoległe i położone na różnych ścianach graniastosłupa?

8. ostrosłup trójkątny przetniemy płaszczyzną poprowadzoną przez jedną z krawędzi bocznych i wysokość ostrosłupa?

9. Czy każdy ostrosłup, którego wysokości ścian bocznych są równe, będzie prosty?

10. Wykreślić kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

11. Ostrosłup czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jeden z boków podstawy. Jaką figurę otrzymamy w przekroju i jaki będzie jej kąt nachylenia do podstawy ostrosłupa?

12. Ostrosłup prosty ma za podstawę romb. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i równoległą do mniejszej przekątnej podstawy. Jaką figurę otrzymamy w przekroju? Zaznaczyć kąt nachylenia tej płaszczyzny do podstawy.

13. Dany jest prostopadłościan o krawędziach a, b, c. Przez pierwszą z tych krawędzi poprowadzono płaszczyznę przekątną. Obliczyć pole przekroju.

14. W prostopadłościanie, który nie jest sześcianem, przekątne ścian mają długości a, b i c. Obliczyć pole jego powierzchni.

15. Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przesuniętą przez przekątne dwóch przyległych do siebie ścian. Obliczyć pole przekroju.

16. Graniastosłup prosty ma za podstawę sześciokąt foremny o boku a. Wysokość graniastosłupa jest równa h. Obliczyć pole powierzchni (całkowitej) i objętość graniastosłupa.

17. Graniastosłup prosty o wysokości h ma za podstawę trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości b. Obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa.

18. Obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, którego krawędź boczna ma długość b, a podstawą jest dziesięciokąt foremny o boku długości a.

19. Obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, który ma wysokość h = 8 cm, a jego podstawą jest trapez równoramienny o bokach: a = 6 cm, b = 24 cm i c = 15 cm.

20. Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe 16 m2, jeden z jego wymiarów jest równy 0,4 m, a suma dwóch pozostałych wynosi 5 m. Obliczyć te wymiary i objętość.

21. W ostrosłupie podzielono jedną z krawędzi bocznych w stosunku 5 : 3 i przez punkt podziału poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa ma długość 16 cm. Na jakie części została ona podzielona przez tę płaszczyznę? W jakim stosunku będzie pole przekroju do pola podstawy?

22. Ostrosłup, którego wysokość ma długość 8 cm, przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w taki sposób, że pole przekroju jest równe połowie pola podstawy. W jakiej odległości od wierzchołka ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę?

23. Obliczyć powierzchnię ostrosłupa foremnego, którego wysokość ściany bocznej ma długość 3 cm, a jego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 8 cm.

24. Obliczyć pole powierzchni trójkątnego ostrosłupa prawidłowego o wysokości h = 85 cm i boku podstawy a = 144 cm.

25. Długość wysokości sześciokątnego ostrosłupa prawidłowego jest równa 70 m, a bok podstawy ma długość 3 m. Obliczyć jego pole powierzchni.

26. Sześciokątny ostrosłup prawidłowy ma krawędź boczną b = 5 cm, a bok podstawy a = 6 cm. Obliczyć jego powierzchnię.

27. W prawidłowym ostrosłupie ściętym czworokątnym l = 2 cm jest wysokością ściany bocznej, a boki podstaw mają długość 6 cm i 3 cm. Obliczyć powierzchnię ostrosłupa.

28. Obliczyć pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa ściętego o wysokości ściany bocznej l = 2 cm i długości boków podstaw 8 cm i 1 cm.

29. Prawidłowy ostrosłup ścięty trójkątny ma wysokość h = 3 cm, a boki podstaw mają długość 4 cm i 3 cm. Obliczyć jego pole powierzchni całkowitej.

30. Mając krawędź a, obliczyć pole powierzchni całkowitej:

a) czworościanu foremnego,

b) ośmiościanu foremnego,

c) dwudziestościanu foremnego,

d) sześcianu foremnego,

e) dwunastościanu foremnego.

37. Objętość trójkątnego graniastosłupa prawidłowego jest równa 16 cm3, a wysokość ma długość 4 cm. Obliczyć długość boku podstawy.

31. Obliczyć objętość graniastosłupa prostego o polu powierzchni całkowitej 15 cm2, którego podstawą jest kwadrat o boku 0,6 cm.

32. Obliczyć objętość graniastosłupa prostego o polu powierzchni całkowitej 20 cm2, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 2 cm.

33. Objętość graniastosłupa prostego = 10 m3, a wysokość h = 1,6 m. Obliczyć pole ściany bocznej, jeżeli wiadomo, że podstawą jest sześciokąt foremny.

34. Podać interpretację geometryczną wzorów:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

 



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach