Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii

§ 77. Pomiar długości okręgu i pola koła

385. Z nauki o nieskończonych ciągach liczb znamy następujące twierdzenie:

Jeżeli dany jest nieskończony ciąg liczb:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... ,

który jest rosnący i którego każdy wyraz jest mniejszy od pewnej określonej liczby (czyli ciąg monotoniczny ograniczony z góry), to taki ciąg jest zbieżny i posiada granicę.

Analogiczną własność posiadać będzie ciąg malejący ograniczony z dołu.

Stąd już wynika twierdzenie:

Jeżeli dane są dwa ciągi nieskończone:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...

b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ... ,

które mają następujące własności:

1) jeden jest rosnący, drugi zaś malejący;

2) wyrazy pierwszego są mniejsze od wyrazów drugiego;

3) różnica między dwoma odpowiednimi wyrazami obu tych ciągów (b_n - a_n) maleje i może stać się mniejsza od każdej dowolnie małej liczby, to te dwa ciągi są zbieżne i mają wspólną granicę.

W naszych zastosowaniach geometrycznych posługiwać się będziemy zarówno pierwszym, jak i drugim twierdzeniem.

386. Ustaliwszy te pojęcia, przejdziemy do zagadnienia pomiaru długości okręgu. Przedtem jednak zauważmy, że

Jeżeli AB = a_n jest bokiem wielokąta foremnego o n bokach wpisanego w dane koło (rys. 355), to pragnąc wpisać wielokąt o podwójnej liczbie boków, dzielimy łuk AB albo kąt środkowy AOB na połowy i AC = a_2n. Dzieląc następnie AOC na połowy, podwoimy jeszcze liczbę boków itd.

Łatwo zauważyć, że im więcej boków ma wielokąt, tym długość jego boku jest mniejsza.

Otóż przekonamy się, że zawsze możemy wpisać w koło taki wielokąt foremny, którego bok będzie mniejszy od dowolnego z góry danego odcinka.

Niech np. takim odcinkiem będzie KL (rys. 356), zbudujmy na nim trójkąt równoramienny KO'L o boku KO' = O'L o równym promieniowi danego koła. Odmierzmy kąt KO'L w kącie AOB. Niech on pomieści się np. m razy z pewną resztą, wtedy, dzieląc kąt AOB na 2, 4, 8 ... itd., ogolnie na 2ⁿ równych części, zawsze możemy dobrać taką liczbę n, żeby 2ⁿ > m, czyli podzielić kąt AOB na części mniejsze od kąta KO'L. Jeżeli taką właśnie cząstką będzie AOF, to będzie wtedy AF < KL (z trójkątów AOF i KO'L), o co właśnie chodziło.

A zatem, jeżeli liczba boków wpisanego wielokąta foremnego wzrasta nieograniczenie, to jego bok nieograniczenie maleje i może być mniejszy od dowolnie małego odcinka.

Wnioski. Z trójkąta ODB mamy

OB - OD < DB,

i jeśli R = OB oznacza promień koła opisanego na wielokącie, a r_n = OD oznacza promień koła wpisanego w wielokąt o n bokach i a_n = AB, to mamy

Jeżeli teraz liczbę boków wielokąta będziemy podwajali nieograniczenie, to a_n będzie nieograniczenie malało, a więc różnica R - r_n będzie nieograniczenie malała, dążąc do zera, tj.

jeżeli liczba boków wielokąta foremnego wpisanego w koło nieograniczenie wzrasta, to promienie kół wpisanych w te wielokąty będą wzrastać, dążąc do granicy, którą jest promień danego koła.

387. Wyobraźmy sobie teraz koło o promieniu R, wpiszmy w nie wielokąt foremny o n bokach (np. sześciokąt) i opiszmy na nim wielokąt foremny, o tej samej liczbie boków. Jeżeli teraz w każdym z tych wielokątów będziemy liczbę boków powiększali nieograniczenie np. przez podwajanie, to można dojść do pewnych wniosków.

1) obwody wielokątów foremnych wpisanych w koło wzrastają, jeżeli liczba ich boków zwiększa się.

Oznaczając długości tych obwodów przez P_n, P_2n, P_4n, ..., otrzymamy nieskończony rosnący ciąg liczb, a więc i odcinków:

P_n, P_2n, P_4n ...

Jeżeli teraz będziemy podwajali liczbę boków wielokąta opisanego, to zauważymy, że

obwody wielokątów foremnych opisanych na kole maleją, jeżeli liczba ich boków zwiększa się.

Oznaczając te obwody przez P'_n, P'_2n, P'_4n ... , otrzymamy nieskończony ciąg malejący:

P'_n, P'_2n, P'_4n ...

2) Obwody wielokątów wpisanych są mniejsze od obwodów wielokątów opisanych

3) Ponieważ wielokąty opisany i wpisany o tej samej liczbie boków są do siebie podobne, więc będzie

stąd zaś

A że, jak widzieliście, różnica (R - r_n) dąży do zera, jeżeli liczba n nieograniczenie wzrasta, wnosimy, że i lewa strona ostatniej równości, tj. różnica (P'_n - P_n) dąży również do zera, gdy n nieograniczenie wzrasta.

Z otrzymanych rezultatów wynika, że dwa nieskończone ciągi odcinków:

P_n, P_2n, P_4n ...

P'_n , P'_2n , P'_4n ...

są zbieżne i istnieje taki odcinek, który jest ich wspólną granicą.

Tę wspólną granicę nazywamy długością okręgu.

Nie będzie ona zależała od obranej dowolnie przez nas liczby n, czyli od wyboru wielokąta początkowego (np. sześciokąta).

W ten sposób za długość okręgu uważa się długość odcinka, który jest większy od obwodów wielokątów wpisanych w koło, ale mniejszy od obwodów wielokątów opisanych. Nie mogąc więc bezpośrednio wymierzyć długości okręgu jako linii krzywej, przez porównanie z jednostką liniową, którą jest odcinek prostej, doszliśmy do pojęcia tej długości jako odcinka równego, „wyprostowanemu” okręgowi.

To, co powiedzieliśmy o okręgu, dotyczyć będzie i jego części, czyli łuku, a więc za długość łuku uważać będziemy długość takiego odcinka, który jest większy od wszystkich linii łamanych wpisanych w łuk, ale mniejszy od łamanych na nim opisanych, czyli wspólną granicę dwóch nieskończonych ciągów, których wyrazami będą długości tych łamanych, gdy liczba ich odcinków będzie nieograniczenie wzrastała.

388. Twierdzenie. Długości okręgów dwóch kół tak się mają do siebie jak długości promieni lub średnic.

Wyobraźmy sobie dwa okręgi o środkach w punktach C i C' i promieniach R i R' odpowiednio. Jeżeli w każde z tych kół wpiszemy wielokąt o n bokach, to obwody tych wielokątów P_n i P'_n będą proporcjonalne do promieni:

Jeżeli teraz w każdym kole będziemy podwajali liczbę boków wpisanego wielokąta, to zawsze stosunek obwodów dwóch wielokątów o jednakowej liczbie boków pozostanie ten sam, jako zależny tylko od promieni danych kół.

Oznaczając długość pierwszego okręgu przez C, drugiego przez C', otrzymamy .

Wnioski. 1) Przestawiając wyrazy środkowe w otrzymanej proporcji, mamy

tj. w każdym kole stosunek długości okręgu do średnicy jest liczbą stałą.

Wartość tego stosunku oznacza się literą grecką (czytaj "pi"), więc

Liczba p jest niewymierna, a jej przybliżonymi wartościami będą stosunki obwodów wielokątów wpisanych lub opisanych do średnicy koła.

Archimedes (III wiek p.n.e.) znalazł

wartość przybliżoną do 0,01, a w czasach późniejszych wielu matematyków obliczyło tę wartość z coraz większą dokładnością, tak np. w wieku XVI Ludolf van Ceulen znalazł  z 35 cyframi dziesiętnymi:

 = 3,141592653589793 ...

i dlatego tę liczbę nazywają niekiedy ludolfiną.

Zwykle w rachunkach wystarcza dokładność do 0,01 czyli = 3,14.

2) Z równości

mamy

C = 2R,

tj. długość okręgu jest równa długości średnicy pomnożonej przez liczbę .

Jeżeli np. R = 8 cm, to długość okręgu będzie

C = 16 = 50,26 cm.

389. Zadanie. Obliczyć długość łuku okręgu o promieniu R, na którym oparty jest kąt środkowy o mierze n^o.

Długość łuku l będzie tyle razy mniejsza od długości całego okręgu, ile razy ilość stopni łuku jest mniejsza od 360^o:

l : 2R = n : 360,

stąd

Np. jeżeli promień koła R = 12 m, to łuk o 36^o będzie miał długość

Wniosek. Jeżeli w otrzymanym wzorze na długości łuku założymy l = R, to otrzymamy

tyle stopni zawierać będzie w sobie łuk, równy co do długości promieniowi koła.

Kąt środkowy odpowiadający takiemu łukowi nazywamy radianem, służy on za jednostkę miary kątów (teoretyczna miara kątów).

390. Powróćmy teraz do wielokątów wpisanych w koło i opisanych na nim. Jeżeli weźmiemy pod uwagę pola tych wielokątów, to bez trudu będziemy mogli zrobić następujące spostrzeżenia:

1) Pola wielokątów foremnych wpisanych w koło rosną, jeżeli liczba boków wielokątów zwiększa się.

Oznaczając liczby wymiarowe tych pól literami S_n, S_2n, S_4n, itd., otrzymamy nieskończony ciąg rosnący:

S_n, S_2n, S_4n, ...

co jest oczywiste.

Dla liczb wymiarowych pól wielokątów opisanych S'_n, S'_2n, S'_4n, itd. otrzymamy ciąg malejący:

S'_n, S'_2n, S'_4n, ...

2) Pola wielokątów wpisanych są mniejsze od pól wielokątów opisanych.

3) Biorąc stosunek

otrzymamy

Załóżmy teraz, że liczba boków tych wielokątów nieograniczenie rośnie, wtedy, jak wiemy, r_n będzie dążyło do swej granicy R, więc różnica dążyć będzie do zera, a więc i różnica S'_n - S_n.

Stąd już wnioskujemy, że dwa ciągi nieskończone:

S_n, S_2n, S_4n, ...

S'_n, S'_2n, S'_4n, ...

są zbieżne i granice mają wspólną.

Tę wspólną granicę nazywamy polem koła.

Wnioski. 1) Pole wielokąta foremnego jest równe połowie iloczynu jego obwodu i promienia koła wpisanego w ten wielokąt, więc dla wielokąta opisanego o n bokach będziemy mieli

S'_n = × P'_n × R,

a że granicą P'_n podczas kiedy n rośnie nieograniczenie, jest długość okręgu C, więc pole koła K jest równe

tj. pole koła jest równe długości jego okręgu, pomnożonej przez połowę promienia.

Podstawiając jeszcze C = 2R, mamy

K = R²,

tj. pole koła jest równe kwadratowi długości jego promienia, pomnożonemu przez liczbę .

Przykład. Promień koła R = 8 cm, wtedy

K = 64 = 201,06 cm².

Średnica koła jest równa d, wtedy

2) Pole wycinka kołowego S można obliczyć z proporcji:

S : K = n : 360,

gdzie n oznacza liczbę stopni łuku. Mianowicie

Jeżeli podstawimy długość łuku , to otrzymamy

tj. pole wycinka kołowego jest równe długości jego łuku pomnożonej przez połowę promienia.