Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
§ 77. Pomiar długości okręgu i pola koła
§ 78. O sposobach obliczania liczby Rozmiar: 51 bajtów. Kwadratura koła
§ 79. Objętość ostrosłupa
§ 80. Ćwiczenia
Bryły obrotowe

Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii

§ 77. Pomiar długości okręgu i pola koła

385. Z nauki o nieskończonych ciągach liczb znamy następujące twierdzenie:

Jeżeli dany jest nieskończony ciąg liczb:

a1, a2, a3, ..., an, ... ,

który jest rosnący i którego każdy wyraz jest mniejszy od pewnej określonej liczby (czyli ciąg monotoniczny ograniczony z góry), to taki ciąg jest zbieżny i posiada granicę.

Analogiczną własność posiadać będzie ciąg malejący ograniczony z dołu.

Stąd już wynika twierdzenie:

Jeżeli dane są dwa ciągi nieskończone:

a1, a2, a3, ..., an, ...

b1, b2, b3, ..., bn, ... ,

które mają następujące własności:

1) jeden jest rosnący, drugi zaś malejący;

2) wyrazy pierwszego są mniejsze od wyrazów drugiego;

3) różnica między dwoma odpowiednimi wyrazami obu tych ciągów (bn - an) maleje i może stać się mniejsza od każdej dowolnie małej liczby, to te dwa ciągi są zbieżne i mają wspólną granicę.

W naszych zastosowaniach geometrycznych posługiwać się będziemy zarówno pierwszym, jak i drugim twierdzeniem.

386. Ustaliwszy te pojęcia, przejdziemy do zagadnienia pomiaru długości okręgu. Przedtem jednak zauważmy, że

Jeżeli AB = an jest bokiem wielokąta foremnego o n bokach wpisanego w dane koło (rys. 355), to pragnąc wpisać wielokąt o podwójnej liczbie boków, dzielimy łuk AB albo kąt środkowy AOB na połowy i AC = a2n. Dzieląc następnie Rozmiar: 50 bajtówAOC na połowy, podwoimy jeszcze liczbę boków itd.

Łatwo zauważyć, że im więcej boków ma wielokąt, tym długość jego boku jest mniejsza.

Otóż przekonamy się, że zawsze możemy wpisać w koło taki wielokąt foremny, którego bok będzie mniejszy od dowolnego z góry danego odcinka.

Rys. 355 Rys. 356
Rys. 355 Rys. 356

Niech np. takim odcinkiem będzie KL (rys. 356), zbudujmy na nim trójkąt równoramienny KO'L o boku KO' = O'L o równym promieniowi danego koła. Odmierzmy kąt KO'L w kącie AOB. Niech on pomieści się np. m razy z pewną resztą, wtedy, dzieląc kąt AOB na 2, 4, 8 ... itd., ogolnie na 2n równych części, zawsze możemy dobrać taką liczbę n, żeby 2n > m, czyli podzielić kąt AOB na części mniejsze od kąta KO'L. Jeżeli taką właśnie cząstką będzie Rozmiar: 50 bajtów AOF, to będzie wtedy AF < KL (z trójkątów AOF i KO'L), o co właśnie chodziło.

A zatem, jeżeli liczba boków wpisanego wielokąta foremnego wzrasta nieograniczenie, to jego bok nieograniczenie maleje i może być mniejszy od dowolnie małego odcinka.

Wnioski. Z trójkąta ODB mamy

OB - OD < DB,

i jeśli R = OB oznacza promień koła opisanego na wielokącie, a rn = OD oznacza promień koła wpisanego w wielokąt o n bokach i an = AB, to mamy

Rozmiar: 130 bajtów

Jeżeli teraz liczbę boków wielokąta będziemy podwajali nieograniczenie, to an będzie nieograniczenie malało, a więc różnica R - rn będzie nieograniczenie malała, dążąc do zera, tj.

jeżeli liczba boków wielokąta foremnego wpisanego w koło nieograniczenie wzrasta, to promienie kół wpisanych w te wielokąty będą wzrastać, dążąc do granicy, którą jest promień danego koła.

387. Wyobraźmy sobie teraz koło o promieniu R, wpiszmy w nie wielokąt foremny o n bokach (np. sześciokąt) i opiszmy na nim wielokąt foremny, o tej samej liczbie boków. Jeżeli teraz w każdym z tych wielokątów będziemy liczbę boków powiększali nieograniczenie np. przez podwajanie, to można dojść do pewnych wniosków.

1) obwody wielokątów foremnych wpisanych w koło wzrastają, jeżeli liczba ich boków zwiększa się.

Oznaczając długości tych obwodów przez Pn, P2n, P4n, ..., otrzymamy nieskończony rosnący ciąg liczb, a więc i odcinków:

Pn, P2n, P4n ...

Jeżeli teraz będziemy podwajali liczbę boków wielokąta opisanego, to zauważymy, że

obwody wielokątów foremnych opisanych na kole maleją, jeżeli liczba ich boków zwiększa się.

Oznaczając te obwody przez P'n, P'2n, P'4n ... , otrzymamy nieskończony ciąg malejący:

P'n, P'2n, P'4n ...

2) Obwody wielokątów wpisanych są mniejsze od obwodów wielokątów opisanych

3) Ponieważ wielokąty opisany i wpisany o tej samej liczbie boków są do siebie podobne, więc będzie

Rozmiar: 138 bajtów

stąd zaś

Rozmiar: 231 bajtów

A że, jak widzieliście, różnica (R - rn) dąży do zera, jeżeli liczba n nieograniczenie wzrasta, wnosimy, że i lewa strona ostatniej równości, tj. różnica (P'n - Pn) dąży również do zera, gdy n nieograniczenie wzrasta.

Z otrzymanych rezultatów wynika, że dwa nieskończone ciągi odcinków:

Pn, P2n, P4n ...

P'n , P'2n , P'4n ...

są zbieżne i istnieje taki odcinek, który jest ich wspólną granicą.

Tę wspólną granicę nazywamy długością okręgu.

Nie będzie ona zależała od obranej dowolnie przez nas liczby n, czyli od wyboru wielokąta początkowego (np. sześciokąta).

W ten sposób za długość okręgu uważa się długość odcinka, który jest większy od obwodów wielokątów wpisanych w koło, ale mniejszy od obwodów wielokątów opisanych. Nie mogąc więc bezpośrednio wymierzyć długości okręgu jako linii krzywej, przez porównanie z jednostką liniową, którą jest odcinek prostej, doszliśmy do pojęcia tej długości jako odcinka równego, „wyprostowanemu” okręgowi.

To, co powiedzieliśmy o okręgu, dotyczyć będzie i jego części, czyli łuku, a więc za długość łuku uważać będziemy długość takiego odcinka, który jest większy od wszystkich linii łamanych wpisanych w łuk, ale mniejszy od łamanych na nim opisanych, czyli wspólną granicę dwóch nieskończonych ciągów, których wyrazami będą długości tych łamanych, gdy liczba ich odcinków będzie nieograniczenie wzrastała.

388. Twierdzenie. Długości okręgów dwóch kół tak się mają do siebie jak długości promieni lub średnic.

Wyobraźmy sobie dwa okręgi o środkach w punktach C i C' i promieniach R i R' odpowiednio. Jeżeli w każde z tych kół wpiszemy wielokąt o n bokach, to obwody tych wielokątów Pn i P'n będą proporcjonalne do promieni:

Rozmiar: 143 bajtów

Jeżeli teraz w każdym kole będziemy podwajali liczbę boków wpisanego wielokąta, to zawsze stosunek obwodów dwóch wielokątów o jednakowej liczbie boków pozostanie ten sam, jako zależny tylko od promieni danych kół.

Oznaczając długość pierwszego okręgu przez C, drugiego przez C', otrzymamy Rozmiar: 194 bajtów.

Wnioski. 1) Przestawiając wyrazy środkowe w otrzymanej proporcji, mamy

Rozmiar: 156 bajtów

tj. w każdym kole stosunek długości okręgu do średnicy jest liczbą stałą.

Wartość tego stosunku oznacza się literą grecką (czytaj "pi"), więc

Rozmiar: 112 bajtów

Liczba p jest niewymierna, a jej przybliżonymi wartościami będą stosunki obwodów wielokątów wpisanych lub opisanych do średnicy koła.

Archimedes (III wiek p.n.e.) znalazł

Rozmiar: 109 bajtów

wartość przybliżoną do 0,01, a w czasach późniejszych wielu matematyków obliczyło tę wartość z coraz większą dokładnością, tak np. w wieku XVI Ludolf van Ceulen znalazł  z 35 cyframi dziesiętnymi:

 = 3,141592653589793 ...

i dlatego tę liczbę nazywają niekiedy ludolfiną.

Zwykle w rachunkach wystarcza dokładność do 0,01 czyli = 3,14.

2) Z równości

Rozmiar: 112 bajtów

mamy

C = 2R,

tj. długość okręgu jest równa długości średnicy pomnożonej przez liczbę .

Jeżeli np. R = 8 cm, to długość okręgu będzie

C = 16 = 50,26 cm.

389. Zadanie. Obliczyć długość łuku okręgu o promieniu R, na którym oparty jest kąt środkowy o mierze no.

Długość łuku l będzie tyle razy mniejsza od długości całego okręgu, ile razy ilość stopni łuku jest mniejsza od 360o:

l : 2R = n : 360,

stąd

Rozmiar: 140 bajtów

Np. jeżeli promień koła R = 12 m, to łuk o 36o będzie miał długość

Rozmiar: 274 bajtów

Wniosek. Jeżeli w otrzymanym wzorze na długości łuku założymy l = R, to otrzymamy

Rozmiar: 283 bajtów

tyle stopni zawierać będzie w sobie łuk, równy co do długości promieniowi koła.

Kąt środkowy odpowiadający takiemu łukowi nazywamy radianem, służy on za jednostkę miary kątów (teoretyczna miara kątów).

390. Powróćmy teraz do wielokątów wpisanych w koło i opisanych na nim. Jeżeli weźmiemy pod uwagę pola tych wielokątów, to bez trudu będziemy mogli zrobić następujące spostrzeżenia:

1) Pola wielokątów foremnych wpisanych w koło rosną, jeżeli liczba boków wielokątów zwiększa się.

Oznaczając liczby wymiarowe tych pól literami Sn, S2n, S4n, itd., otrzymamy nieskończony ciąg rosnący:

Sn, S2n, S4n, ...

co jest oczywiste.

Dla liczb wymiarowych pól wielokątów opisanych S'n, S'2n, S'4n, itd. otrzymamy ciąg malejący:

S'n, S'2n, S'4n, ...

2) Pola wielokątów wpisanych są mniejsze od pól wielokątów opisanych.

3) Biorąc stosunek

Rozmiar: 155 bajtów

otrzymamy

Rozmiar: 176 bajtów

Załóżmy teraz, że liczba boków tych wielokątów nieograniczenie rośnie, wtedy, jak wiemy, rn będzie dążyło do swej granicy R, więc różnica Rozmiar: 118 bajtów dążyć będzie do zera, a więc i różnica S'n - Sn.

Stąd już wnioskujemy, że dwa ciągi nieskończone:

Sn, S2n, S4n, ...

S'n, S'2n, S'4n, ...

są zbieżne i granice mają wspólną.

Tę wspólną granicę nazywamy polem koła.

Wnioski. 1) Pole wielokąta foremnego jest równe połowie iloczynu jego obwodu i promienia koła wpisanego w ten wielokąt, więc dla wielokąta opisanego o n bokach będziemy mieli

S'n = Rozmiar: 69 bajtów × P'n × R,

a że granicą P'n podczas kiedy n rośnie nieograniczenie, jest długość okręgu C, więc pole koła K jest równe

Rozmiar: 127 bajtów

tj. pole koła jest równe długości jego okręgu, pomnożonej przez połowę promienia.

Podstawiając jeszcze C = 2R, mamy

K = R2,

tj. pole koła jest równe kwadratowi długości jego promienia, pomnożonemu przez liczbę .

Przykład. Promień koła R = 8 cm, wtedy

K = 64 = 201,06 cm2.

Średnica koła jest równa d, wtedy

Rozmiar: 123 bajtów

2) Pole wycinka kołowego S można obliczyć z proporcji:

S : K = n : 360,

gdzie n oznacza liczbę stopni łuku. Mianowicie

Rozmiar: 152 bajtów

Jeżeli podstawimy długość łuku Rozmiar: 140 bajtów, to otrzymamy

tj. pole wycinka kołowego jest równe długości jego łuku pomnożonej przez połowę promienia.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach